线段的定比分点与平移
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点 （1）定义
设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使
p 1p =λpp 2，λ叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比。
λ>0；当点P 在线段P λ
（2）定比分点的向量表达式：
λ，点P 分有向线段P 则OP =1P 2所成的比是
（3）定比分点的坐标形式
1λ
OP 1+OP 2（O 为平面内任意点） 1+λ1+λ
⎧
⎪x =⎨⎪y =⎩
x 1+λx 2
1+λ, 其中P 1(x1,y 1), P2(x2,y 2), P (x,y) y 1+λy 21+λ
（4）中点坐标公式
x 1+x 2⎧x =⎪2 当λ=1时，分点P 为线段P 的中点，即有P ⎨12
y +y 2
⎪y =1
2⎩
x A +x B +x C ⎧x =⎪3∆ABC （5）的重心坐标公式：⎨
y A +y B +y C
⎪y =
3⎩
2、平移
（1）图形平移的定义
设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。 （2）平移公式
设P(x,y)是图形F 上任意一点，它在平移后图形上的对应点P ’(x’,y ’’) ，且PP ' 的坐标为
⎧x ' =x +h
(h,k)，则有⎨' ，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平
⎩y =y +k
移后的新坐标与原坐标间的关系。 二、题型剖析
[定比分点坐标公式]
例1. 已知点A (-1, -4), B (5, 2) ，线段AB 上的三等分点依次为P 1、P 2，求P 1、P 2，点的
坐标以及A 、B 分P 1P 2所成的比λ。 解：设P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ，
则AP 1=
1
P 1AP 2=2P 2 21-1+⨯5
-2+5∴x 1===1
131+21-4+⨯2
-8+2y 1===-2，即P 1(1, -2) 13
1+2
-1+2⨯59-4+2⨯2x 2===3，y 2==0，即P 2(3, 0)
1+231+2
由P 1A =λ1AP 2，得：-1=
1+λ1⨯31
，∴λ1=-；
21+λ1
由P 1B =λ2BP 2，得：5=
1+λ2⨯3
，∴λ2=-2；
1+λ2
思维点拨:定比是根据=λ求得的, 必须搞清起点、分点、终点。顺序不可搞错。 练习：在∆ABC 中，已知顶点A 的坐标为(3,1)，AB 的中点为D(2,4)，∆ABC 的重心为G(3,4)，求顶点B 、C 的坐标。
利用中点坐标公式，及重心坐标公式易得B(1,7)、C(5,4).
例2：已知∆ABC 的三个顶点坐标分别是A (4, 1), B (3, 4), C (-1, 2) ，BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长。
解答过程请参考课本。
变式一：若BD 把∆ABC 分成面积相等的两部分，求点D 的坐标及BD 的长。
变式二：直线L//AC，且交AB 、CB 于E 、F 两点，若∆BEF 的面积与∆ABC 的面积之比为求E 、F 两点的坐标。
4
，9
提示：
S ∆BEF S ∆ABC
1
BE ⋅BF ⋅sin ∠B
BE 24===。
1BA 29⋅BC ⋅sin ∠B 2
[平移公式]
例3、（1）把点A(3,5)按向量=(4, 5)平移，求平移后对应点A 的坐标。
’
（2）把函数y =2x 2的图象按向量a =(2, -2)平移得F ，求F 的函数解析式。
’
’
⎧x ' =3+4’解：（1）设A (x,y)，根据平移坐标公式得，得⎨' 得A (7,10)
⎩y =5+5
’
⎧x ' =x +2⎧x =x ' -2
（2）设P (x,y)为F 上的任意一点，它在F 上的对应点P (x,y ) ，则⎨' ，即⎨'
⎩y =y -2⎩y =y +2
’
’’’
代入y =2x 2中，得到y ' +2=2x ' -2即y ' =2x ' -2所以F 的函数解析式为y =2x 2-8x +6
’
()
2
()
2
-2
思维点拨：正确选择平移公式，强化代入转移去思想。
例4：已知在平行四边形ABCD 中，点A （1,1）、B （2,3），CD 的中点为E （4,1），将平行四边形ABCD 按向量平移，使C 点移到原点O 。（1）求向量；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标。
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量=(-1, -2)平移后与圆C ：x 2+y 2+2x -4y =0相切，则实数m 的值等于（D ）
A 、3或13 B 、3或-13 C 、-3或7 D 、-3或-13 简解：平移后的直线方程x+2y+m+5=0，由几何意义得=[利用平移研究函数的性质]
例3．是否存在这样的平移，使抛物线：y =-x 平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x 轴的两个交点构成的三角形面积为1，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。
解：假设存在这样的平移=(h , k ) ，由平移公式⎨
2
2
-1+4+m +5
得m=-3或-13
⎧x '=x +h ⎧x =x '-h
即⎨代入y =-x 2
⎩y '=y +k ⎩y =y '-k
得y '-k =-(x '-h ) ，即平称后的抛物线为y =-(x -h ) 2+k ，顶点为(h , k ) 。 由已知它过原点得：k =h ①。令y =0，求得x =h ±k 。因此它在x 轴上截得的弦长为2k 。据题意：得h =±1。
故存在这样的平移=(1, 1) 或=(-1, 1)
2
1
⋅2k ⋅k =1，∴k =1代入① 2
当=(1, 1) 时，平移后解析式为y =-(x -1) 2+1； 当a =(-1, 1) 时，平移后解析式y =-(x +1) 2+1
思维点拨：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法。 例4．设函数f (x ) =
x -11
。（1）试根据函数y =的图象 x -2x
(1) 作出f (x ) 的图象，并写出变换过程； （2）f (x ) 的图象是中心对称图形吗？
（3）写出f (x ) 的单调区间。
x -11，化简得y =1+， x -2x -21
即y -1=。又令
x -2
解：令y =
⎧x '=x -21x -1
'y =f (x ) =得，由平移公式知，由的图象按向量a =(-2, -1) 平移，⎨
''x x -2y =y -1⎩
11x -1
的图象，反之，由y =的图象按向量=-=(2, 1) 平移，可得到f (x ) =
x -2x x
1
的图象，即：将y =的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到
x
x -1
f (x ) =的图象。
x -2
可得y =
（2）由图知，f (x ) 的图象是中心对称图形，其对称中心为(2, 1) 。 （1） 单调减区间为(-∞, 2) 和(2, +∞) 。
【思维点拨】利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质。 一．课堂小结：
（1） 定比分点坐标公式时，一定要分清起点、终点和分点，在学习中不仅学会利用
结论解决问题，也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪，为今后的学习打下思想方法的基础。
（2） 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式
⎧x '=x +h ⎧x =x '-h
；由新标求旧标用公式⎨。图形平移时，给定平称向量，⎨
''⎩y =y +k ⎩y =y -k ⎧x =x '-h 由旧解析式求新解析式，用式子⎨代入旧式整理得到；由新解析式求
'y =y -k ⎩
旧解析式，用公式⎨
⎧x '=x +h
代入新式整理得到。
'⎩y =y +k
（3）直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变。曲线的形状大小不变，变化
的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式。某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便。