二次根式
二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以等是二次根式，而知识点二：取值范围
，
是
为二次根式的前提条件，如等都不是二次根式。
，
，
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，
所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a 的算术平方根，也就是说，（
（
）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是
方根是0，所以非负数（
非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可
以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简本身，即
时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a
；若a 是负数，则等于a 的相反数-a, 即
；
2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1 不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而中，
，而
中a 可以是正实数，0，负
表示一个实数a 的平方的算术平方根；在实数。但
与
都是非负数，即
。因而它的运算的结果是有差别的，
，而
1、2、相同点：当被开方数都是非负数，即
.
时，=；时，无意义，而
二次根式测试题（一）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A ．-x -2 B ．x C ．x +2 D ．x -2
2
2．若(3-b ) =3-b ，则（ ）
22
A ．b>3 B ．b
x -x 2
4．若x
x
A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ． B ．48 C ．6．如果x ⋅x -6=
a
D ．4a +4 b
x (x -6) ，那么（ ）
4
2
A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数
7．小明的作业本上有以下四题：①a =4a ；②5a ⨯a =52a ； ③a
11
=a 2⋅=a ；④a -2a =a 。做错的题是（ ） a a
A ．① B．② C．③ D．④
11+的结果为（ ）A ． B ．30330 C ． D ．30 563030
9．若最简二次根式+a 与4-2a 的被开方数相同，则a 的值为（ ）
34
A ．a =- B ．a = C ．a=1 D ．a= —1
34
10．化简-2(+2) 得（ ）A ．—2 B ．2-2 C ．2 D ． 42-2
8．化简
2
11．①(-0. 3) =；②(2-) =
2
12．二次根式
1x -3
有意义的条件是 。
2
13．若m
m 3。
x 2-1成立的条件是
15．比较大小：
16．2xy ⋅y =⋅27=。 17．计算a 18．
33a +a -。 a 13-2
与3+2的关系是 。
19．若x =
5-3，则x 2+6x +5的值为
20．化简+
⎛1⎫
⎪的结果是 45- - 3⎪
⎝⎭
21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）x -4 （2）22．化简：
（1）(-144) ⨯(-169) （2）-23．计算：
11
-8a （3）m 2+4 （4）-
x 3
11
225 （3）-⨯5 （4）m 2n 32
2
⎛
（1） -7
⎝⎛（4） -7
⎝
⎛233⎫24⎫
⎪ （2） --⎪ （3）3⨯(-945)
3414⎪25⎪⎭⎝⎭
331⎫⎛1⎫⎪ --3 （5）45+45-+42 （6）6-2 ⎪
28⎪322⎭⎭⎝
|1-y |1
24．若x ，y 是实数，且y
y -12
2
二次根式测试题（二）
1．下列说法正确的是（ ）
2
A ．若a =-a ，则a0 C a b =a b D ． 5的平方根是5
24824
2．二次根式
m
+13
2(m +3) 的值是（ ）
2
A ．32 B ．2 C ．22 D ．0 3．化简|x -y |-x (x
A ．y -2x B ．y C ．2x -y D ．-y 4．若
a
是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） b
A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．5．已知a
3
a ≥0 b
A ．-a -ab B ．-a ab C ．a ab D ．a -ab
1
根号外的因式移到根号内，得（ ） m
A ．m B ．-m C ．--m D ．-m
6．把m -
7．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．(-2. 5) 2=(2. 5) 2 B．a 2=(a ) 2 C ．x 2-2x +1=x -1 D．x 2-9=8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
222
A ．x -y =0 B ．x +y =0 C ．x -
x -3⋅
x +3
y 2=0 D ．x +y =0
9．当x =-3时，二次根m 2x 2+5x +7式的值为5，则m 等于（ ） A ．2 B ．
x
2
25 C ． D ．5
52
10．已知x 2+2x +x =10，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 11．若x -5不是二次根式，则x 的取值范围是12．已知a
13．当时，二次根式x +1取最小值，其最小值为14．计算：÷27⨯=(348-427÷2) = 15．若一个正方体的长为2cm ，宽为
3cm ，高为2cm ，则它的体积为cm
3
16．若y =x -3+3-x +4，则x +y =
17．若的整数部分是a ，小数部分是b ，则a -b = 18．若m (m -3) =19．若x =
2
,
m ⋅m -3，则m 的取值范围是1⎛⎫3
⎪x -= 1-, 则y = ⎪2⎭43-1y ⎝
222
20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则(a +b -c ) +(b -c -a ) +(b +c -a )
2123(6
22-1
+-4
12
22
(548-627+4) ÷3
x 1
-2x ) ÷3x 4x
-1
24+(2+1) 26已知：x =
+(-2) -2 25
2
2-1
+27-(3-1) 0
23-1
，求x -x +1的值。
27已知：y =-8x +x -1+28. 阅读下面问题：
1
, 求代数式2x y
++2-y x x y
+-2的值。 y x
11+2
=
1⨯(2-1) (2+1)(2-1) =3-;
=2-1； 15+2
=
5-2
=5-2
1+2
(+2)(-2) 111试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n 为正整数）的值。 n +1+n 32+7+6
=
3-2
(+2)(-2)
二次根式（一）
1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．①0.3 ②16．4y
5-2 12．x ≥0且x ≠9 13．—m 14．x ≥1 15．
+3+
16
3 3
x 18 17．3a 18．相等 19．1 20．≥
21．（1）x
41 （2）a
⨯=12⨯13=156；（2）原式=-1⨯15=-5；
3
22．解：（1）原式=⨯169=（3）原式=-
1122
322⨯5=-⨯325=-16；（4）原式=3⨯m ⨯2n =3m 2n 。 22
3
=21；（2）原式=1-24=1；（3）原式142525
；；
（（
45
））
原原
式式
23．解：（1）原式=49³===4
2
3⨯(-27) =-⨯27=-4543
49⨯28
126
=9
7⨯4
=
72⨯27
=42
2
+35-22+42=8+22；（6）原式=6-6-
3656
。 =6-
22
24．解：∵x —1≥0, 1—x ≥0, ∴x=1，∴y
1
. ∴|1-y |=1-y =-1. 二次根式（二） 2y -1y -1
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．x
2；12-6 15．12
20．a +b +c
2
=22+2+32-22=2+32； 2
22．解：原式=(5⨯4-6⨯33+4) ÷23．解：原式=(3x -2x ) ÷3x =1；
3
12+1
14
=(2+4) ÷=2+4；
32++=32+2-1+=42-24．解：原式1
4
25．解：原式=+1+3-1=4； 26．解: x =
2(3+1) (3-1)(3+1)
3=3+1,
∴原式=(3+1) 2-(-1) +1=4-23-+1+1=6-3
27．解： 1-8x 原式=
≥0, 8x -1≥0, ∴1-8x =8x -1=0∴x =
11
8+2-2=28
1
+4+2-4
4+
1
-2=4
1
，∴y =1。∴ 82
25
-4
11
8+2+2-28
953
=-=1422
28．解：登山者看到的原水平线的距离为d 1
88
n
5
=2n 5
=8
n 5
，现在的水平线的距离为d 2
=8
2n 5
d 1
=d 2
22
29 ⑴
17+=-6 ⑵
132+=32- ⑶
1n +1+n
=n +1-n
勾股定理复习
一．知识归纳 １．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２. 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
1
方法一：4S ∆+S 正方形EFGH =S 正方形ABCD ，4⨯ab +(b -a ) 2=c 2，化简可证．
2
D
E
b
A
c
B C
方法二：
b a
c
a
b
b
c
c b
a
a
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯ab +c 2=2ab +c 2
2大正方形面积为S =(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 所以a 2+b 2=c 2
111
方法三：S 梯形=(a +b ) ⋅(a +b ) ，S 梯形=2S ∆ADE +S ∆ABE =2⋅ab +c 2，化简得证
222
A
a
D b
B
b
E a C
３. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在∆ABC 中，∠C =90︒
，则c
b =
，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５. 勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a 2+b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2+b 2c 2，时，以a ，b ，
c 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a ，b ，c 及a 2+b 2=c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+c 2=b 2，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
n 2-1,2n , n 2+1（n ≥2, n 为正整数）； 2n +1,2n 2+2n ,2n 2+2n +1（n 为正整数） m 2-n 2,2mn , m 2+n 2（m >n , m ，n 为正整数）
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８. ．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：
C
C
A
B
A D B B D
A
C
B D
A
题型一：直接考查勾股定理 例１. 在∆ABC 中，∠C =90︒． ⑴已知AC =6，BC =8．求AB 的长 ⑵已知AB =17，AC =15，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理a 2+b 2=c 2
解：⑴AB =10
⑵BC 8 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.
⑴在∆ABC 中，∠ACB =90︒，AB =5cm ，BC =3cm ，CD ⊥AB 于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：
⑴AC 4，CD =
AC ⋅BC
AB
=2.4 A
D
B
C
⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴(3k ) 2+(4k ) 2=152，∴k =3，S =54
⑶设两直角边分别为a ，b ，则a +b =17，a 2+b 2=289，ab =60∴S =1
2ab =30
cm 2 例３. 如图∆ABC 中，∠C =90︒，∠1=∠2，CD =1.5，BD =2.5，求AC 的长
C
D
1A
E
B
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE ⊥AB 于E ，
∠1=∠2，∠C =90︒
∴DE =CD =1.5 在∆BDE 中
∠BED =90︒, BE =2
Rt ∆ACD ≅Rt ∆AED ∴AC =AE
在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒
可得
∴AB 2=AC 2+BC 2，(AE +EB ) 2=AC 2+42∴AC =3
例4. 如图Rt ∆ABC ，∠C =90︒AC =3, BC =4, 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
答案：6
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5. 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
E B
D C
分析：根据题意建立数学模型，如图AB =8m ，CD =2m ，BC =8m ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则AE =6m ，DE =8m
在Rt ∆
ADE 中，由勾股定理得AD 10 答案：10m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6. 已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定∆ABC 是否为Rt ∆
52
①a =1.5，b =2，c =2.5 ②a =，b =1，c =
43解：① a 2+b 2=1.52+22=6.25，c 2=2.52=6.25
∴∆ABC 是直角三角形且∠C =90︒
2513
② b 2+c 2=，a 2=，b 2+c 2≠a 2∴∆ABC 不是直角三角形
169
例7. 三边长为a ，b ，c 满足a +b =10，ab =18，c =8的三角形是什么形状？
解：此三角形是直角三角形
理由： a 2+b 2=(a +b ) 2-2ab =64，且c 2=64 ∴a 2+b 2=c 2 所以此三角形是直角三角形
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8. 已知∆ABC 中，AB =13cm ，BC =10cm ，BC 边上的中线AD =12cm ，求证：AB =AC
证明：
A
B
D C
AD 为中线，∴BD =DC =5cm
在∆ABD 中， AD 2+BD 2=169，AB 2=169∴AD 2+BD 2=AB 2，
∴∠ADB =90︒，∴AC 2=AD 2+DC 2=169，AC =13cm ，∴AB =AC
四边形知识点（请记熟第一页）
1、平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。 3.
有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
B
3、菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 菱形的性质：菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理： 1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3. 四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线）
4、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。 正方形判定定理： 1. 邻边相等的矩形是正方形。2. 有一个角是直角的菱形是正方形。
5、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题
常用的辅助线：如图
四边形练习
ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，
则ABCD 的周长为 ． 2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．
1．
（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，
则 (2)已知在(3)在（4）在
C
ABCD 周长= ;
A
E
B
3．(1)在平行四边形ABCD 中，若∠C=∠B+∠D ，则∠.
ABCD , ∠A 比∠B 小20º，则∠C 的度数是．
ABCD 中，周长为100cm ，AB-BC=20cm，则 ,
.
ABCD 中，周长为30cm ，且AB ：BC=3：2，则AB= cm.
D
（5）如图，若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称，∠ABE ＝90°，则∠F ＝ °．
B
C
E
F
4．下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等
D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5. 在下列命题中，正确的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6. 下列错误的是( )
A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形 C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 7. 下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为．
9. 如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.
第9题图 第10题图
F
10. 如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm， BC=8cm，则EC 的长为________.
11、如图，AD 是△ABC 的角平分线. DE ∥AC 交
AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F .
四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）
12
、如图，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .
13、如图，等腰△ABC 中，AB=AC, D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，通过观察分析线段DE ，DF ，AB 三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，
你可以做出来吗？试试看）
14、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且AE ∥CF ，AE 与CF 相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）
15、四边形ABCD 是等腰梯形，其中AD =BC ，若AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 面积. （关键是会画出正确的图形）
16、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连
结BE 、CF ，（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由.
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角
.
一次函数知识点总结 基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式s vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间t 内所走的路程, 则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应
1-12
例题：下列函数（1）y=π-3x (5)y=x-1中，是一次
x 函数的有（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x 的取值范围） 一 次 函 数
1. ．自变量x 和因变量y 有如下关系：
y=kx+b （k 为任意不为零实数，b 为任意实数） 则此时称y 是x 的一次函数。 特别的，当b=0时，y 是x 的正比例函数。 即：y=kx （k 为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。
2. 当x=0时，b 为函数在y 轴上的截距。
一次函数性质：
1 在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
2 一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b) ，与x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
特别地，当b=0时，直线通过原点O （0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k ＞0时，直线只通过一、三象限；当k ＜0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1） 应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大；（2）当k
例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y 随x 的增大而减小。 解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y 随x 的增大而增大”，得x1>x2。故选A 。 判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k 、b 同号。因为y 随x 的增大而减小，所以k
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm, 挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例. 如果挂上3kg 物体后，弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式. 如果弹簧最大总长为23cm ，求自变量x 的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12 则13.5=3k+12，得k=0.5 ∴所求函数解析式为y=0.5x+12 由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x 的取值范围是0≤x≤22
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．
．
．
．
函数y =x 的取值范围是___________.
1
x +2，当-1
53353535A. -
22222222
已知函数y =-5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
解析式：y=kx（k 是常数，k ≠0） 必过点：（0，0）、（1，k ）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y 随x 的增大而增大；k
例题：. 正比例函数y =(3m +5) x ，当m 时，y 随x 的增大而增大. 若y =x +2-3b 是正比例函数，则b 的值是 （ ） A.0 B.
223 C.- D.- 332
. 函数y =(k -1) x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A. k 1 C.k ≤1 D.k
东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是_______________．
平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是__________． 10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0时，y=kx＋b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x 指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b ）和（-
b
，0）两点的一条直线，我们称它为直k
线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. （当b>0时，向上平移；当b
（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-
b
，0） k
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b
⎧k >0⎧k >0
⇔直线经过第一、二、三象限 ⎨⇔直线经过第一、三、四象限 ⎨b >0b
⇔⇔直线经过第二、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 ⎨⎨⎩b >0⎩b
（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位； 当b
例题：若关于x 的函数y =(n +1) x
m -1
是一次函数，则m = ，n .
. 函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 .
若直线y =-x +a 和直线y =x +b 的交点坐标为(m , 8), 则a +b =____________. 已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1 11、一次函数y=kx＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与
两坐标轴的交点：（0，b ），
. 即横坐标或纵坐标为0的点.
若m ＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 确定一次函数的表达式
已知点A （x1，y1）；B （x2，y2），请确定过点A 、B 的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个
方程：y1=kx1+b „„ ① 和 y2=kx2+b „„ ② （3）解这个二元一次方程，得到k ，b 的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x 轴的交点的横坐标的值.
数据的分析知识点
1. 加权平均数：
若在一组数字中，出现次，
出现次，…，出现次，那么
叫做、它们的权
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。
、…、的加权平均数。。其中，、
、…、
分别是、
、…、
2. 中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 4. 平均数中位数众数的区别与联系 相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 不同点
它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1）、定义不同
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2）、求法不同
平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数, 需要计算才得求出。
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3）、个数不同
在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4）、代表不同
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 5）、特点不同
平均数：与每一个数据都有关, 其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响, 其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。 6）、作用不同
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
5. 极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
，x n ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是6. 方差：设有n 个数据x 1，x 2，
，(x 1-) 2，(x 2-) 2，…，(x n -) 2，我们用它们的平均数，即用
1
S 2=[(x 1-) 2+(x 2-) 2+ +(x n -) 2]
n
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 当一组数据比较小时可以用公式s
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 标准差：方差的算术平方根，即
2
21
[(x 12+x 22+... +x n 2) -nx ]计算。 n
=
S =
1
(x 1-)2+(x 2-)2+ +(x n -)2 n
[]
并把它叫做这组数据的标准差. 它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 7. 极差、方差和标准差的区别与联系：
联系：极差、方差和标准差都是用来衡量 （或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
8. 数据的收集与整理的步骤：
1. 收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 9. 平均数、方差的三个运算性质
如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数是x ，方差是s 2。
那么（1）一组新数据x 1+b ，x 2+b ，x 3+b ，……，x n +b 的平均数是x +b ，方差是s 2。 （2）一组新数据ax 1，ax 2，ax 3，……，ax n 的平均数是a x ，方差是a 2s 2。
（3）一组新数据ax 1+b ，ax 2+b ，ax 3+b ，……，ax n +b 的平均数是a x +b ，方差是a 2s 2。
习题：一、填空题
1．数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为________。
2．在一次测验中，某学习小组的5名学生的成绩如下（单位：分）
68 、75、67、66、99。这组成绩的平均分x M= ；若去
掉一个最高分后的平均分x ' = ；那么所求的x ，M ，x ' 这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 。 3．从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm ）都减去165.0cm ，其结果如下：
−1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0。这6名男生中最高身高与最低身高的差是 6名男生的平均身高约为（结果保留到小数点后第一位）
4．已知一个样本：1，3，5，x ，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是。 5．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大. 上述结论正确的是 _________ （把你认为正确结论的序号都填上）。 6．若样本x 1＋1，x 2＋1，…，x n ＋1的平均数为10，方差为2，则另一样本x 1＋2，x 2
＋2，…，x n ＋2，的平均数为 ，方差为 。
7．已知一组数据-2，-2，3，-2，-x ，-1的平均数是-0.5，•那么这组数据的众数为，中位数是 。
8．小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图20-1所示，•通常新手的成绩不太稳定，那么根据图的信息，估计小张和小李两人中新手是___ _____． 9．某日天气预报说今天最高气温为8℃，气温的极差为10℃，则该日最低气温为___℃．
10．一班级组织一批学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费
用不变，于是每人可以少分摊3元，原来参加春游的学生人数是 。 11．当五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么
这组数据可能的最大的和是__ ___。
12
．甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88
分和90分，若90
分以上为优秀，则优秀人数多的班级是______________．
13．甲、乙、丙三台机床生产直径为60 mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床
生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60 mm，它们的方差依次为s 甲2=0.162，s 乙2=0.058，s 丙2=0.149．根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是_____________机床． 14．根据某市去年7月份中某21天的各天最高气温（℃）记录，制作了
如图20-2的统计图，由图中信息可知，记录的这些最高气温的众数是_____________，其中最高气温达到35以上（包括35）的天数有_____________天．
图20-2 图20-1
15．某次考试A 、B 、C 、D 、E 这5名学生的平均分为62分，若学生A 除外，其余学
生的平均得分为60分，那么学生A 的得分是_____________．
16．某班同学进行知识竞赛，将所得成绩进行整理后，如图20-3竞赛成绩的平均数为
。
图20-4
（分） 图20-3
对
17．物理老师布置了10道选择题作为课堂练习，如图20-4是全班解题情况的统计，平均每个学生做对了 ______ 道题；做对题数的中位数为 ；众数为
。
18．现有A 、B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测试，每名参加者
可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图20-5所示． （1）由观察可知，______班的方差较大；
（2）若两班合计共有60人及格，问参加者最少获______分才可以及格．
二、选择题
19．为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成
绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②800名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
0 1 2 3 4 5 6
图20-5
20．人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：
22
x 甲=x 乙=80，s 甲=240，s 乙=180，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A ．甲班 B ．乙班 C ．两班成绩一样稳定 D ．无法确定 21
这组数据的中位数和众数别是（ ）
A ．24，25 B ．24．5，25 C ．25，24 D ．23．5，24
22．在学校对学生进行的晨检体温测量中，学生甲连续10天的体温与36℃的上下波动
数据为0．2，0．3，0．1，0．1，0，0．2，0．1，0．1，0, 0．1，则在这10天中该学生的体温波动数据中不正确的是（ ）
A ．平均数为0．12 B ．众数为0．1 C ．中位数为0．1 D ． 方差为0．02 23．甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x 分、80分，若这组数
据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（ ） A ．100分 B ．95分 C ．90分 D ．85分
24．已知三年四班全班35人身高的算术平均数与中位数都是150厘米，但后来发现其
中有一位同学的身高登记错误，误将160厘米写成166厘米，正确的平均数为a 厘米，中位 数为b 厘米关于平均数a 的叙述，下列何者正确（ ） A ．大于158 B ．小于158 C ．等于158 D ．无法确定 25．在统计里，样本方差可以近似地反映总体的（ ）
A ．平均水平 B ．波动大小 C ．分布规律 D ．最大值、最小值 26．对于一组数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．
①这组数据的众数和中位数不等；②这组数据的中位数与平均数的数值相等；③这组数据的众数是3；④这组数据的平均数与众数数值相等；⑤这组数据的极差是8． 其中正确的结论有（ ）
A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 27．甲、乙两个小组各10名同学，在同一次英语口语测验中，两组成绩的平均数相等，
但方差不等，s 甲2=13．2，s 乙2=26．36，则这次测验中成绩比较整齐的是（ ） A ．甲组 B ．乙组 C ．甲、乙一样 D ．无法判断
28
对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的（ ）
A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．极差
29．国家统计局发布的统计公报显示：2004到2008年，我国GDP 增长率分别为8.3%，
9.1%，10.0%，10.1%，9.9%．经济学家评论说：这五年的年度GDP 增长率之间相当平稳．从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的___________较小．（ ）
A ．中位数 B ．方差（标准差） C ．平均数 D ．众数 30．班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他
们在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是
A ．4小时和4.5小时 B ．4.5小时和4小时 C ．4小时和3.5小时 D ．3.5小时和4小时 31．某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ） A ．服装型号的平均数 B ．服装型号的众数
C ．服装型号的中位数 D ．最小的服装型号
32．人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如
22
=240，s 乙=180，则成绩较为稳定的班级是（ ） 下：x 甲=x 乙=80，s 甲
A ．甲班 B ．乙班 C ．两班成绩一样稳定 D ．无法确定
33．期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M ，如果把M •当
成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均值为N ，那么M ：•N 为（ ） A ．
56
B ．1 C ． D ．2 65
34．为了筹备班级联欢会，班长对全班50名同学喜欢吃哪几种水果作了
民意调查，小明将班长的统计结果绘制成统计图（如图20-6），并得出以下四个结论，其中错误的是（ ） A ．一人可以喜欢吃几种水果 B ．喜欢吃葡萄的人数最多
C ．喜欢吃苹果的人数是喜欢吃梨人数的3倍 D ．喜欢吃香蕉的人数占全班人数的20% 三、解答题
35．某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：期末统考卷面成绩（占
70%）、•
平时测验成绩（占20%）、上课表现成绩（占10%），若学生董方的三部分得分依次是92分、80分、•84分，则她这学期期末数学总评成绩是多少？
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图20-6
（1）求全体参赛选手年龄的众数，中位数．
（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%，你认为小明是哪
个年龄组的选手？请说明理由．