八年级数学上册 实数教案
平方根与算术平方根
1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个
正数x 叫做a 的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，22=4，正数2是4的算术平方根。虽然(2) 2=4，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“
”是算术平方根的符号）
2. 平方根：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二
次方根) 。就是说，如果x 2＝a, 那么x 就叫做a 的平方根。例如，22 4，2是4的平方根，(2) 2=4，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
知识点概括
概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本
身；负数没有平方根。
概括2：求一个数a(a≥0) 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。
概括3：“
”是算术平方根的符号，a 就表示a 的算术平方根。
的意义有两点：
（1）被开方数a 表示非负数，即a ≥0；
（2）a 也表示非负数，即a ≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a ＜0时，a 无意义。
概括4：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的
平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
概括5：如果x 2＝a, 那么x 就叫做a 的平方根，用±a 来表示。
当a ＞0时，a 有两个平方根，
当a ＝0时，a 有一个平方根，就是它本身； 当a ＜0时，a 没有平方根。
正数a 有两个平方根(表示为a ) ，我们把其中正的平方根，叫做a 的算术平方根，表示为a 。0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0=0。
平方根与算术平方根的区别在于：
①定义不同；
②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a 的平方根表示为 a , 正数a 的算术平方根表示为a ； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0．
立方根
立方根概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次
方根) 。
表示法：用式子表示，就是，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根。数a 的立方
根用符号“a ”表示，读作“三次根号a ，其中a 是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略) 。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
立方根性质：(1)正数的立方根是正数 (2)负数的立方根是负数
(3)0的立方根是0．
平方根与立方根的区别与联系
区别：（1）根指数不同： 平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
（2） 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。（3） 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。 联系： 二者都是与乘方运算互为逆运算
实数
概括：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
（1）实数的定义：有理数与无理数统称为实数。 （2）实数的相反数： （3）实数的绝对值： （4）实数的运算
知识拓展
有理数中，数轴的概念。规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 每一个有理数在数轴都有一个对应的位置，反过来，数轴上所有的点都表示有理数吗？
画出数轴，并画出2，可见数轴上的数，不仅有表示有理数的点，还有表示无理数的点，所以实数与数轴上的点是一一对应的。 ．．．．
实数的大小比较。数轴上右边的数总比左边的数大。不过有时我们还要将无理数取近似值，用有限小数来代替无理数进行比较。
八年级上学期 实数知识点对照练习
一、填空题
1. 下列各数：① 3.141、② 0.33333„„、③ 7、④ π、⑤ 25、⑥
2
、⑦ 0.[1**********]03„„(相邻两个3之间0的个数逐次增加2) 中，其中3
是有理数的有 ；是无理数的有 。(填序号) 2. 的平方根是 ；0.216的立方根是 。
3.算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。
4.比较大小：①
3.2；②。
5.一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 倍。 6.有理数和无理数统称 ；数轴上的点与
一一对应。
49
7.①当x 时，式子2x +3有意义；②满足
8. 化简：3π= ；21. 4= 。 9. —3的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 10. 若(a +2) 2+b 3=0，则a b ＝。 11、3π+4π＝ _____________。
12、若m 1+(n 2) 2＝0，则m ＝________，n ＝_________。 13、若 a 2=a ，则a______0。
二、选择题
1. 196的算术平方根是( )
A. 14 B. 16 C. ±14 D. 2.无理数是( )
A. 无限循环小数 B. 带根号的数 C. 除有限小数以外的所有实数 D.除有理数以外的所有实数
3.64的平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. ±4 D. 不存在 4.在下列各式中，正确的是( )
A. (±2) 2=±2 B. 0. 064=0. 4 C. (2) 3=2 D.
(
2) 2+(2) 3=0
5. x是() 2的平方根，y 是64的立方根，则x ＋y 的值为( ) A. 3 B. 7 C. 3，7 D. 1，7 6.当a 2=a 时，实数a 在数轴上的对应点在( )
A. 原点右侧 B. 原点左侧 C. 原点或原点右侧 D. 原点或原点左侧 7、代数式x+1，x ，y , (m 1) 2, x 3中一定是正数的有（ ）。 A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、若A 、x ＞
3x 7有意义，则x 的取值范围是（ ）。
7
B、x ≥ 3
777 C、x ＞ D、x ≥
333
9、若x ，y 都是实数，且2x 1+2x +y =4，则xy 的值（ ）。
1
C、2 D、不能确定 2
10、下列说法中，错误的是（ ）。
A 、0 B、
A 、4的算术平方根是2 B、的平方根是±3
C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１
11、64的立方根是（ ）。
A 、±4 B、4 C、－4 D、16 12、已知(a —3) +b —4=0，则
2
a
的值是（ ）。 b
1133A 、 B、－ C、 D、
4444
13、计算27++4
。 的值是（ ）
A 、1 B、±1 C、2 D、7
14、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B、1 C、0 D、±1 15、下列命题中，正确的是（ ）。
A 、无理数包括正无理数、0和负无理数 B、无理数不是实数
C 、无理数是带根号的数 D、无理数是无限不循环小数 26、下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数 B、两个无理数的积是实数
C 、无理数是开方开不尽的数 D、两个有理数的商有可能是无理数
三、计算
1.请在数轴上作出的对应点。
2. 如图所示，要在离地面5米处的电线杆上的两侧引拉线AB 和AC 固定电线杆。生活经验表明，当拉线的固定点B (或C ) 与电线杆底端点D 的距
1
离为其一侧长度的时，电线杆比较稳定。现要使电线杆稳定，问拉线至
3
少需要多长才能符合要求？试用你学过的知识进行解答。(精确到1米)
P C
3、国庆佳节，李老师乔迁新居。一大早他就赶到家具城购买家具，当卡车装满家具后高4米、宽2.8米。这辆卡车能否通过如图所示的住宅社区大门。
4．用“＜”号把下列各组数连接起来：（1）－0.2，（2）
5、若a 、b 、c 满足a 3+(5+b ) 2+c 1=0，求代数式 6、已知
参考答案：
y 2x +x 2+25
x
b a
，3.14， ；
；（3）
c
的值。
=0，求7（x ＋y ）－20的立方根。
2
一、1. ①、②、⑤、⑥，③、④、⑦；2. ,0.6；3. 0，1、－1、0；4. ①＞，
3
②＞；5. 3；6. 实数，一一；7. ①>9. 3
，3
5，
13
=
3
，②－1、0、1、2；8. π－3，21. 4；2
+3
；10. (2) 3=8。 4
二、1. A；2. D；3. B；4. B；5. D；6. D。
712+52
三、1. 16；2. ；3. ＜；2.(1)2；(2)；(3)0；(4)10。
102
四、1. 略；2. 2米。
五、能通过。1.4²＋(4－2.6) ²＝3.92＜2²。