一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1. 设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n 的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它, 即“设而不求”） 3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）
⇔OA ⊥OB ⇔K 1∙K 2=-1 ⇔OA ∙OB =0 ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔
x 1x 2+y 1y 2>0>0；
； +K 2=0或K 1=K 2）
③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（K 1 ④“共线问题”
（如：AQ =λQB ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6. 化简与计算； 7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题
x x x 2
+y 2=1上任意一点，直线l 的方程为0+y 0y =1， 直线l 0过P 点与直线l 垂1、已知点P (x 0, y 0) 是椭圆E :
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直，点M （-1，0）关于直线l 0的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
2、已知椭圆两焦点F 1、F 2在y
轴上，短轴长为
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且
PF 1⋅PF 2=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭
证直线AB 的斜率为定值；
圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求
7x 2y 2
+=1相交于A 、B 两点, 已知点 M (-,0) ， 求证：MA ⋅MB 为3、已知动直线y =k (x +1) 与椭圆C :
535
3
定值.
x 2
+y 2=1. 如图所示，斜率为k (k ＞0) 且不 过原点的直线l 交椭4、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :3
圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x =-3于点D (-3, m ) . （Ⅰ）
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求m +k 的最小值；（Ⅱ）若OG =OD ·OE ，求证：直线l 过定点；
2
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
5、已知直线l 与y 轴交于点P (0,m ) ，与椭圆C :2x +y =1交于相异两点A 、B , 且AP =3PB ，求m 的取值范
2
2
围．
（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式, 确定参数的取值范围.
6、已知点M (4, 0)，N (1, 0)，若动点P 满足MN ⋅MP =6|PN |．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
18 12
（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若-≤NA ⋅NB ≤-，求直线l 的斜率的取值范围.
75
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
x 2y 2
Q (3,1)7、已知点为椭圆E ：+，求AP ⋅AQ 的取值范围． =1上的一动点，点A 的坐标为
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8. 已知椭圆的一个顶点为A (0,-1) ，焦点在x 轴上.
若右焦点到直线x -y +0的距离为3. （1）求椭圆的方程.
（2）设直线y =kx +m (k ≠0) 与椭圆相交于不同的两点M , N . 当|AM |=|AN |时，求m 的取值范围.
9. 如图所示，已知圆C :(x +1) 2+y 2=8, 定点A (1, 0), M 为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足=2, ⋅=0, 点N 的轨迹为曲线E .
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两
点G , H （点G 在点F , H 之间），且满足=λ， 求λ的取值范围.
10、. 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (-1, 0) 、B (1, 0) ，一个顶点为H (2, 0) .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）对于x 轴上的点P (t , 0) ，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求t 的取值范围.
x 2y 211. 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
为半径的圆与直线
a b
x -y =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点M (2，0) 的直线与椭圆C 相交于两点A , B ，设P 为椭圆上一点，且满 足+=t （O 为坐标原点）
时，求实数t 取值范围．
椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
12、已知椭圆两焦点F 1、F 2在y
轴上，短轴长为
，离心率为
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且2
PF 1⋅PF 2=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
（2）利用函数求最值，
22
13. 如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |=2|DP |．当点P 在圆x +y =1
上运动时。
（I ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点T (0,t ) 作圆x +y =1的切线l 交曲线 C于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。
2
2
x 2
+y 2=1. 过点(m ,0) 作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 14、已知椭圆G :4
将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.
选做
x 2y 2
1、已知A 、B 、C 是椭圆m :2+2=1(a >b >0) 上的三点，其中点A 的坐标为 (23, 0) ，BC 过椭圆m 的中
a b
心，且.
（1）求椭圆m 的方程；
（2）过点M (0, t ) 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||=||. 求实数t 的取值范围．
2. 已知圆M ：(x -m ) 2
+(y -n ) 2
=r 2
及定点N (1,0)，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，且满足 NP ＝2 NQ ， GQ ·
NP ＝0．
（1）若m =-1, n =0, r =4，求点G 的轨迹C 的方程；
（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点A , B ，是否存在一组正实数m , n , r ，分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
上，点G 在MP
使得直线MN 垂直平
3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标
4. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。
（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围； （3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
直线与椭圆的位置关系专题学生版
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