5函数图像的切线
一、知识网络构建
1．导数的几何意义 ．
2．函数的切线方程
对于函数f(x)(可导函数) ，其在点P(x0，f(x0)) 处的切线方程为 ，其中切线斜率k ＝f′(x0) ．
3．曲线的切线与函数图像的切线的区别与联系
二、考纲要求及考试方向．
理解导数的几何意义； 高考在考查函数切线问题时，主要是以切线为背景函数的其他知识，常与数列、不等式、解析几何等结合，综合性较强．
三、基本概念检测
1. 函数y =f (x ) 的图像在点M (1, f (1)) 方程是y =1x +2, f (1) +f /(1) 2
1x 2e 在(4, e 2) 2. 曲线y =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
3. 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A ．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B ．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
C ．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
D ．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
24. 点P 是曲线y =x -ln x 上任一点，则点P 到直线y =x -2的距离的最小值
是 ．
5. 已知直线y=kx与y=lnx有公共点, 则k 的最大值为 ．
6. 已知曲线y=1．求： (1)曲线在P(1,1)处的切线方程； (2)曲线过点Q(1,0)的切线方程； x
1的切线的方程．. 3(3)满足斜率为-
四、典型例题分析
例1．设函数f(x)＝x ＋2ax ＋bx ＋a ，g(x)＝x －3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l ．求a 、b 的值，并写出切线l 的方程．
例2．已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m) 可作曲线y ＝f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围．
例3．如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分) ，边缘线OC 是以直线AD 为对32322
称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
五、反馈练习
1. 已知函数f (x ) =cos x ，则函数f (x ) 在点(0, f (0)) 处切线方程为（ ） e x
B ．x +y -1=0
x A ．x -y +1=0 C. cos x ⋅x +y -1=0 D．e ⋅x +cos x ⋅y +1=0
22. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)P 、Q 两点，x
则线段PQ 长的最小值是________．
x x 3. 设a>0，f(x)，g(x)＝e f(x)(其中e 是自然对数的底数) ，若曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)x －a
在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．
4. 设曲线y ＝(ax－1)e 在点A(x0，y 1) 处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x)e 在点B(x0，y 2) 处的切x －x
⎡3⎤线为l 2，若存在x 0∈⎢0，⎥，使得l 1⊥l 2，求实数a 的取值范围． ⎣2⎦
5. 如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2. 再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；x P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(xk, 0)(k＝1,2，…，n) ．
(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k≤n)；
(2)求S n ＝|P1Q 1|＋|P2Q 2|＋|P3Q 3|＋…＋|Pn Q n |的值．
六、自我反思与总结