导数概念与运算知识清单
1．导数的概念
∆y
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数y 相应地有增量∆y =f（x 0+∆x ）－f （x 0），比值∆x 叫做函数
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆y y=f（x ）在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，即∆x =∆x 。如果当∆x →0时，∆x 有极限，我们就
说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|x =x 0。
∆y
f (x 0+∆x ) -f (x 0) 即f （x 0）=∆lim x →0∆x =∆lim
x →0∆x 。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指∆x →0∆y ∆y 时，
∆x
有极限。如果
∆x
不存在极限，就说函数在点x 0处不可
导，或说无导数。
（2）∆x 是自变量x 在x 0处的改变量，∆x ≠0时，而∆y 是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量∆y =f（x 0+∆x ）－f （x 0）；
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
（2）求平均变化率∆x =∆x ；
lim
∆y
（3）取极限，得导数f’(x0)=∆x →0∆x 。
2．导数的几何意义
函数y=f（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x ）在点
p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是
f’（x 0）。相应地，切线方程为
y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:
①C '=0; ②(x n )
'=nx n -1; ③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ;
⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x
) '=a x
ln a '; ⑦
(ln x )=
1x ; ⑧(l o g x )'=1
a x log a e
.
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) ，即： (
u ±v ) ' =u ' ±v '
. 法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个 '
'
'
函数乘以第二个函数的导数，即：(uv ) =u v +uv .
若C 为常数, 则(Cu ) ' =C ' u +Cu ' =0+Cu ' =Cu ' ' '
. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cu ) =Cu . 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
⎛u ⎫u ' v -uv ' ⎝v ⎪
⎭‘=
v 2（v ≠0）。
形如y=f[ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y＇|U ·u ＇|X
导数应用
1. 单调性
单调区间：一般地，设函数
y =f (x ) 在某个区间可导，
如果f ' (x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '
(x )
(x ) =0，则f (x ) 为常数；
2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f (x ) 在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ(x ) 在(a，b) 内的极值； ②求函数ƒ(x ) 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ (x ) 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
课前预习
1．求下列函数导数
y =x (x 2+
111（1）
x +x 3) y =(x +1)( （2）x -1) y =x -sin x cos
x （3）
22 x 2
3x 2-x x +5x -9（4）y=sin x （5）y ＝x
2．若曲线y =x 4
的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为（ ）
A ．4x -y -3=0 B ．x +4y -5=0 C ．4x -y +3=0 D ．x +4y +3=0
3．过点（－1，0）作抛物线
y =x 2
+x +1的切线，则其中一条切线为（ ） （A ）2x +y +2=0 （B ）3x -y +3=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x -y +1=0
4．半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2, 周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞) 上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用
语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞) 上的变量，请你写出类似于 ○1的式子： ； ○2式可以用语言叙述为： 。
y =
1
5．曲线
x 和y =x 2
在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。
6．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f '（x ）≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）2f （1）
7．函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极
小值点（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个
f +x 1-x e -ax
8．已知函数
(x )=
1。（Ⅰ）设a >0，讨论y =f (x )的单调性；（Ⅱ）若对任意x ∈(0,1)恒有f (x )>1，求
a 的取值范围。
9．f (x ) =x 3-3x 2
+2在区间
[-1,1]上的最大值是（ ）
(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4
10．设函数f(x)=
2x 3-3(a -1) x 2
+1, 其中a ≥1. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心o 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
14．（1）一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功。
（2）抛物线y=ax2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求Smax ． 典型例题
一 导数的概念与运算
EG ：如果质点A 按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式：定义在D 上的函数f (x ) ，如果满足：∀x ∈D ，∃常数M >0， 都有|f (x ) |≤M 成立，则称f (x ) 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.
S (t ) =
1
【文】（1）若已知质点的运动方程为t +1+at ，要使在t ∈[0, +∞) 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界
的有界函数，求实数a 的取值范围. 【理】（2）若已知质点的运动方程为S (t ) =2t +1-at ，要使在t ∈[0, +∞) 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上
界的有界函数，求实数a 的取值范围.
f (x ) =1f (2+∆x ) -f EG ：已知x , 则(2) ∆lim
x →0∆x 的值是（ ）
-
11
A. 4 B. 2 C. 4 D. －2
设f '(3)=4, 则lim
f (3-h )-f (3)变式1：
h →0
2h 为
（ ）
A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1
设则f (x 0+∆x )-f (x 0-3∆x )
变式2：f (x )在x 0可导, ∆lim
x →0
∆x 等于
（ ）
A ．
2f '(x 0) B ．f '(x 0) C ．3f '(x 0) D ．4f '(x 0)
根据所给的函数图像比较
曲线h (t ) 在t 0, t 1, t 2附近得变化情况。
变式：函数f (x ) 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A.
0
(3)
B.
0
0
0
y =x 3
+log x ; y =x n e x
; y =
x 3-1
2sin x
(理科）y =(x +1) 99; y =2e -x ; y =2x sin (2x +5)
。
变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当x ＜0时, f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ＞0. 且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是
A ．(－3,0) ∪(3,+∞) B ．(－3,0) ∪(0, 3)
C ．(－∞, － 3) ∪(3,+∞)
D ．(－∞, － 3) ∪(0, 3)
EG ：已知函数y =x ln x .(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点x =1处的切线的方程.
变式1：已知函数y =e x
.
（1）求这个函数在点x =e 处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y ＝ex 的切线，求切线的方程.
变式2：函数y ＝ax2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )
111
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
EG ：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
(1)f (x ) =x 3+3x ; (2) f (x ) =x 2-2x -3; (3) f (x ) =sin x -x , x ∈(0,π); (4)f (x ) =2x 3+3x 2-24x +1.
变式1：函数f (x ) =x ⋅e -x
的一个单调递增区间是
A. [-1, 0] B. [2, 8] C. [1, 2] D. [0, 2]
y =
13x 3
+x 2+ax -5变式2：已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 . (2)若函数在[1, +∞) 上是单调增函数，则a 的取值范围是 .
（文科）
变式3： 设t ≠0，点P （t ，0）是函数
f (x ) =x 3+ax 与g (x ) =bx 2
+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.
（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；
（Ⅱ）若函数y =f (x ) -g (x ) 在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.
f (x ) =
13x 3
-4x +4EG ：求函数
的极值.
f (x ) =
13x 3
-4x +4
求函数
在
[0,3]上的最大值与最小值.. 变式1： 函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内
的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点（ ） A ．1个
B ．2个 C ．3个 D ．4个
变式2：已知函数
f (x ) =ax 3+bx 2
+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函
数y =f '(x ) 的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示. 求： （Ⅰ）
x 0的值；
（Ⅱ）a , b , c 的值. f (x ) =ax 3
-bx +4-4变式3：若函数，当x =2时，函数f (x ) 极值3，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数f (x ) =k 有3个解，求实数k 的取值范围．
f (x ) =x 3-
1变式42x 2
-2x +c ：已知函数
，对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
EG ：利用函数的单调性，证明：ln x
, x >0
1-
1
x +1≤ln (x +1)≤x 变式1：证明：
，x >-1
变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a
的取值范围.
EG ： 函数f (x ) =x 3+3x (x ∈R ), 若
f (mx 2
)
+f (1-mx )>0恒成立, 求实数m 的取值范围 f (m sin θ)+f (1-m )>0⎛
0≤θπ⎫变式1:设函数f (x ) =x 3
+3x (x ∈R ), ≤⎪若
⎝2⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 变式2:如图, 曲线段OMB 是函数f (x ) =x 2
(0≤x ≤6) 的图象, BA ⊥x 轴于点A, 曲线段OMB 上一点M
(t , t 2) 处的切线PQ 交x 轴于点P, 交线段AB 于点Q ，
(1)若t 已知, 求切线PQ 的方程 (2)求∆QAP 的面积的最大值
变式3:用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折
900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？ c (x ) =1200+
23
变式4:某厂生产某种产品x 件的总成本
75x
（万元），已知产品单价
的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
实战训练
1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f '(x)的图象可能为( )
2. 已知曲线S:y=3x－x3及点P (2,-2) , 则过点P 可向S 引切线的条数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3. C设S 上的切点(x 0, y 0) 求导数得斜率，过点P 可求得:(x 0
+1)(x 2
0-2) =0. 4. 函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）.
(A )(π3π32, 2) (B ) π(, π2(C )(π2, 5π
2)
) (D )(2π,3π)
5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a 等于( )
(A)6 (B)0 (C)5 (D)1
6. 函数f(x)＝x 3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19
π
7. 设l1为曲线y1=sinx在点(0，0) 处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(2,0) 处的切线，则l1与l2的夹角为___________. 8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .
1
9．（07湖北）已知函数y =f (x ) 的图象在点M (1
，f (1))y =
处的切线方程是2x +2
，则f (1)+f '(1)= 10．（07湖南）函数f (x ) =12x -x 3
在区间[-3，
3]上的最小值是 11．（07浙江）曲线y =x 3-2x 2-4x +2在点(1，-3) 处的切线方程是 9．. 已知函数
f (x ) =-x 3+ax 2+b (a , b ∈R ) （Ⅰ）若函数f (x ) 图像上任意一点处的切线的斜率小于1
，求证：
x ∈[0,1]
，函数y =f (x ) 图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论k ≤1
的充要条件。
x x
12．(07安徽) 设函数f （x ）=-cos2x-4tsin2cos 2+4t2+t2-3t+4,x∈R, 其中t
≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ) 求g(t)的表达式；(Ⅱ) 诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
实战训练B
1．（07福建）已知对任意实数x ，有f (-x ) =-f (x ) ，
g (-x ) =g (x ) ，且x >0时，f '(x ) >0，g '(x ) >0，则x
A ．f '(x ) >0，g '(x ) >0 B ．f '(x ) >0，g '(x ) 0
D ．f '(x )
1
2．（07海南）曲线y =e
2
x 在点(4，e 2
) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
9e 2Ａ．2
Ｂ．4e 2
Ｃ．2e 2
Ｄ．e 2
3．（07海南）曲线y =e x 在点
(2，e 2
) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 9e 2
e 2
Ａ．4
Ｂ．2e 2
Ｃ．e 2
Ｄ．2
f (1)
4．（07江苏）已知二次函数
f (x ) =ax 2
+bx +c 的导数为f '(x ) ，f '(0)>0，对于任意实数x 都有f (x ) ≥0，则f (' 0) 的最小值为（ ）
53
A ．3 B ．2 C ．2 D ．2 0
π
5．（07江西）5．若
2，则下列命题中正确的是（ ） sin x
3x sin x >3πx sin x
A ．
C ．π2x 2sin x >2π B ． D．π2x
0
π
6．（07江西）若
2，则下列命题正确的是（ ） sin x
2
sin x >
2A ．
πx sin x
3sin x >
3 B ．
πx
C ．
πx πx
D ．
7．（07辽宁）已知f (x ) 与g (x ) 是定义在R 上的连续函数，如果f (x ) 与g (x ) 仅当x =0时的函数值为0，且
f (x ) ≥g (x ) ，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A ．0是f (x ) 的极大值，也是g (x ) 的极大值 B ．0是f (x ) 的极小值，也是g (x ) 的极小值
C ．0是f (x ) 的极大值，但不是g (x ) 的极值 D ．0是f (x ) 的极小值，但不是g (x ) 的极值 18．（073x 3+x ⎛4⎫全国一）曲线
y =
在点
⎝1
3⎪⎭处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 1
212A ．9 B ．9 C ．3 D ．3
9．（07全国二）已知曲线
=
x 2
y 14的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．（07浙江）设f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数，将y =f (x ) 和y =f '(x ) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确
的是（ ）
x ) =
13x 3
+2x +1
11． (07北京) f '(x ) f (是
的导函数，则f '(-1) 的值是
12．（07广东）函数f (x ) =x ln x (x >0) 的单调递增区间是
13．（07江苏）已知函数f (x ) =x 3
-12x +8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M , m ，则M -m = 14．（07福建）设函数
f (x ) =tx 2+2t 2
x +t -1(x ∈R ，t >0) ． （Ⅰ）求f (x ) 的最小值h (t ) ；
（Ⅱ）若h (t )
2) 恒成立，求实数m 的取值范围． 15．(07广东) 已知a 是实数，函数
f (x ) =2ax 2
+2x -3-a ．如果函数y =f (x ) 在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围．