线性方程组解的判定与解的结构

重庆三峡学院数学分析课程论文

线性方程组解的判定与解的结构

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 ******* 年 级 2009级 学 号 200906034*** 指导教师 刘学飞

2011年6月

线性方程组解的判定与解的结构

姓名******

（重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）

摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解

引言

通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式．

1 基本性质

下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2

 (1)

as1x1as2x2asnxnbs

引入向量

1n1112b1

b

222n21，，…，2 12n



s2s1bssn

方程（1）可以表示为

x11x22xnn

性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn的线性组合.

定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵

a11a21

A

as1

与增广矩阵

a12a22as2

a1n



a2n



asn

a11a12a1nb1

ab2aa21222n

A





baaass1s2sn

有相同的秩.

证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就说说，可以经过向量组1，2，n

线性表出．由此立即推出，向量组1，2，n与向量组1，2，n，等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵A与A的列向量组．因此矩阵A与A有相同的秩． 再证充分性，设矩阵A与A有相同的秩，就是说，它们的列向量1，2，n与1，

2，n，有相同的秩，令它们的秩为r. 1，2，n中的极大线性无关组是由r

个向量组成，无妨设1，2，r是它的一个极大线性无关组．显然1，2，r也是向量组1，2，n，的一个极大线性无关组，因此向量可以经1，2，r线性表出，既然可以经1，2，r线性表出，当然它可以经1，2，n线性表出．因此，方程组（1）有解．

证毕

定理2 对于线性方程组⑴，若R(A)R(A)r，则当r= n时，有唯一解；当r

证明 设D是矩阵A的一个不为零的r级子式（当然它也是的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D位于A的左上角.显然， 的前r行就是一个极大线性无关组，第

r+1，…，s行都可以经它们线性表出.因此，方程组⑴与

a11x1a12x2a1nxnb1

axaxaxb2112222nn2

 (2)

ar1x1ar2x2arnxnbr

同解.

当r=n时，由克兰姆法则，方程组(2)有唯一解，即方程组⑴有唯一解.

当r﹤n时，将方程组(2)改写为

a11x1a12x2a1rxrb1a1,r1xr1a1nxn

a21x1a22x2a2rxrb2a2,r1xr1a2nxn

 （3）



ar1x1ar2x2arrxrbrar,r1xr1arnxn

(3)作为x1,x2xr的一个方程组，它的系数行列式D≠0.由克兰姆法则，对于x1,x2xr的任意一组值，方程组(3),也就是方程组⑴,都有唯一的解.由于自由未知量x1,x2xr可任意取值，所以方程组（1）有无穷多个解． 证毕

在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构．所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题．

上面我们提到，n元线性方程组的解是n维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些问题之间有什么关系呢?我们先看齐次方程组的情形．设

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn

 （4）

as1x1as2x2asnxn0

是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质:

性质1 两个解的和还是方程组的解．

设k1,k2,,kn与l1,l2,,ln是方程组（4）的两个解．这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即

ak

ijj1n

n

j

， 0 （i=1,2,...,s）

al

j1

ijj

， 0 （i=1,2,...,s）

把两个就解的和

k1l1,k2l2,,knln

代入方程组，得

（5）

a(ck)cak

ij

j

ij

j1

j1

nn

j

c00 （i=1,2,...,s）

这说明（5）也是方程组的解． 证毕

性质2 一个解的倍数还是方程组的解．

设k1,k2,,kn是（4）的一个解，不难看出ck1,ck2,,ckn还是方程组的解，因为

a(ck)cak

ij

j

ij

j1

j1

nn

j

c00 （i=1,2,...,s）

由性质1和性质2得：

性质3 方程组（4）的解的任一线性组合还是（4）的解．

2 基础解系

定义 齐次线性方程组（4）的一组解，若满足 1) 1,2,,r线性无关；

2)（4）的任一解可由1,2,,r线性表出． 则称1,2,,r为（4）的一个基础解系．

3 基础解系的存在性

定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr，其中rR(A)rR(A)．

a11

证：若R(A)rn，不防设

a12a22ar2

a1ra2rarr

02，则方程组（4）与方程组

a21ar1

a11x1a12x2a1rxra1,r1xr1a1nxn

a21x1a22x2a2rxra2,r1xr1a2nxn

（6） 



ar1x1ar2x2arrxrar,r1xr1arnxn

同解,用

nr组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量

(xr1,xr1,,xn)，就得到（6）的解，也就是（4）的nr个解

1c11,c12,,c1r,1,0,,0

2c21,c22,,c2r,0,1,,0  

c,c

nr,1nr,2,,cnr,r,0,0,,1nr

则1,2,,nr为方程组(4)的一个基础解系. ⅰ) 1,2,,nr线性无关

事实上，若k11k22knrnr0，即

k11k22knrnr*,,*,k1,k2,,knr0,,0,0,0,,0

比较最后nr个分量，得 k1k2knr0. 因此, 1,2,,nr线性无关.

ⅱ) 任取方程组（4）的一个解c1,c2,,cn，可由1,2,,nr线性表出． 事实上，由1,2,,nr是方程组（4）的解知：

cr11cr22cnnr

也为（4）的解，又cr11cr22cnnr=（

*,,*,cr1,,cn）

它与的最后nr个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为 同一个解，即

cr11……cnnr．

由ⅰ) ⅱ)知，1,2,,nr为（4）的一个基础解系． 证毕

推论 任一与方程组（4）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（4）的基础解系．

证明：1,2,,t为（4）的一个基础解系，

1,2,,s线性无关，且与1,2,,t等价，

则st，且i可由1,2,,t线性表出，即i也为（4）的解向量．

任取方程组（4）的一个解向量，则可由1,2,,t线性表出，从而可由

1,2,,t线性表出．

又1,2,,t线性无关，所以1,2,,t也是基础解系． 证毕

4 基础解系的求法

我们只要找到齐次线性方程组的nr个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余nr个未知量移到等式右端，再令右端nr个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到nr个解向量

1,2,,nr，这nr个解向量1,2,,nr构成了方程组的基础解系. 方程组（4）的任

一解即通解可表为 k11k,

例1 求齐次线性方程组

k1,k2,,ktP

x1x23x4x50xx2xx01234



4x2x6x3x4x0234512x14x22x34x47x50

的一个基础解系．

解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：

110311

11210042634024247010312221， 0031



0000

于是r(A)3，基础解系中有nr=5-3=2个向量． ＂于是r(A)3，基础解系中有nr532个向量．＂ 阶梯形矩阵所对应的方程组为

x1x23x4x50

2x22x32x4x50 3xx045

移项，得

x1x23x4x5

x52x3 2x22x4x5

3xx

54

取

x31,x50，得一个解向量 1(1,1,1,0,0)； x30,x51，得另一解向量

7566

取

2(,,0,,1)

756613

.

取x31,x50得一个解向量1(1,1,1,0,0)； 取x30,x51得一个解向量1(,,0,,1)．

13

1,2即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为

k12k22(k1k2P)

对于非齐次线性方程组解

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2  （7）

ar1x1ar2x2arnxnbr

令i0,i1,,s,得

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn

（8） 

as1x1as2x2asnxn0

称（8）为（7）的导出组．

5 解的性质

性质1 设1,2为方程组（7）的两个解，则12为其导出组（8） 的解．

证明 1k1,k2,,kn，2l1,l2,,ln是方程组（7）的两个 解，即

ak

ijj1

n

j

bi,aijljbi, i1,2,...,s

j1

n

它们的差是

12 ＝k1l1,k2l2,,knln， 显然有

a(k

ijj1

n

j

lj)aijkjaijljbibi0, i1,2,...,s

j1

j1

nn

即12=k1l1,k2l2,,knln是导出组(8)的一个解. 证毕

性质2 设为方程组（7）的一个解，为其导出组（8）的解，则仍为方程组（7）的解．

证明 设=k1,k2,,kn是方程组(7)的一个解，即

ak

ijj1

n

j

bi(i1,2,s)

又设=l1,l2,,ln是导出组(8)的一个解, 即

al

j1

n

ijj

0(i1,2,s)

n

n

显然

a(k

ijj1

n

j

lj)aijkjaijljbi0bi(i1,2,s)．

j1

j1

证毕

6 解的结构

定理 若0为（7）的一个特解，则方程组（7）的任一解皆可表成0，其中为其导出组（8）的一个解.从而有：方程组（7）的一般解为

0k11knrnr

其中0为（7）的一个特解，1,2,,nr为导出组（8）的一个基础解系．

证明 显然

0(0),

有性质１知，0是导出组(4)的一个解，令

0,

则 0.

证毕

推论 方程组（7）在有解的条件下，有唯一解（7）的导出组（8）只有零解．

7 求非齐次线性方程组（7）的一般解的步骤

1）求出其导出组的基础解系1,2,,t 2）求出其一个特解0

3）方程组（7）的一般解为0k11ktt． 例２ 求解方程组



x1x2x3x40

x1x2x33x41

1x1x22x33x42

解：

r2.0.50rr11110r111111011/2r21

r3r1r13r22A111310024100021/2

11231/200121/200000

可见R(A)R()，方程组有解，并有

x1x2x42



x32x42

取x2x40，则x1x31/2 ，即得原方程组的一个特解0(1/2,0,1/2,0)

0(20,12,0)．

下面求导出组的基础解系： 导出组与 

x1x2x4

同解．

x32x4

取x21,x40，得1(1,1,0,0)； 取x20,x41，得2(1,0,2,1)． 于是原方程组的通解为

0k11k22,(k1,k2R)．

参考文献

1 北京大学数学系几何与代数小组教研室.高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1964

2 同济大学数学教研室编.线性代数[M].第三版,北京：高等教育出版社,1999 3 谢帮杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社，1978.

4 北京大学力学系．高等代数[M]．北京：人民教育出版社，1979 5 邓建中,刘之行．计算方法[M].西安：西安交通大学出版社,2001

6 赵德修, 孙清华．线性代数题解精选[M]．武汉：华中科技大学出版社，2001

The Determinant and Structure of Solution of

Linear equations

Xingming ****

(Class one of Grand 2009, Mathematics and Application Mathematics, College of

Maths and Computering Science, Chongqing Three Goreges University )

Abstract：Making use of the rank of coefficient matrix and augmented matrix to judge the solution of linear equations. The equations have to solve and a number of cases, the solution of the structure is to understand the relationship between work and solutions.

Keywords：matrix; rank ; linear equations; solvement

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