1.1 函数定义域
通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。
一、常规型
其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。
注：
1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x 的集合称为函数的定义域。
2、求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
类型1、含分式的函数
在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：
（1）分式的分母一定不能为0； （2）绝对不能先化简后求函数定义域。 例1、求下列函数的定义域
（1）f (x ) =
1
x -2
解：要使函数有意义，必须：x -2≠0, 即x ≠2. ∴函数f (x ) =
1
的定义域是： {x |x ≠2} x -2
x 2-1
（2）f (x ) =
x +1
类型2、含偶次根式的函数
（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.
例2、求函数f (x ) =
x +2的定义域？
解：要使函数有意义，必须：3x +2≥0, 即x ≥-. ∴函数f (x ) =
23
2⎫⎧
x +2的定义域是⎨x |x ≥-⎬.
3⎭⎩
类型3、复合型函数
函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.
例3、f (x ) =
x +1+
1
2-x
⎧x +1≥0⎧x ≥-1
⇒. 解：要使函数有意义，必须：⎨⎨
⎩2-x ≠0⎩x ≠2
∴函数的定义域是： {x |x ≥-1且x ≠2} 练习：求函数f (x ) =
x 2-3x -4
的定义域？
x +1-2
解：要使函数有意义，必须：
⎧x 2-3x -4≥0⎧x ≥-4或x ≤-1⎪
⇒⎨⇒x >-3或-3
x +1-2≠0⎪⎩x ≠-3且x ≠1⎩
∴函数的定义域为：{x |x >-3或-3
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有四种情况。
类型1：已知f (x ) 的定义域，求复合函数f (g (x )) 的定义域
解法：若f (x ) 的定义域为[a , b ], 则f (g (x )) 中a ≤g (x ) ≤b ，从中解出x 的取值范围即为f (g (x )) 的定义域。
，5]，求f (3x -5) 的定义域． 例4、已知函数f (x ) 的定义域为[-1
分析：若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ，则在f [g (x ) ]中，a ≤g (x ) ≤b ，从中解得x 的取值范围即为
f [g (x ) ]的定义域．本题该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，
由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数，因此这里是已知-1≤u ≤5，即-1≤3x -5≤5，求x 的取值范围．
解： f (x ) 的定义域为[-1，5], ∴-1≤3x -5≤5, ∴故函数f (3x -5) 的定义域为⎢⎥．
33
练习：
1、若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，求f (log2x ) 的定义域？
2
410≤x ≤. 33
⎡410⎤
⎣⎦
⎡1⎤
⎣⎦
2、已知y =f (x ) 的定义域为[-2,2]，求y =f (x 2-1) 的定义域？ 3、已知y =f (x ) 的定义域为[1,3], 求y =f (x -1) 的定义域？ 4、已知函数f (x ) 的定义域为(0,1),求函数f (x -1) 的定义域？
12
x 2
5、设函数y =f (x ) 的定义域为A =[4, +∞) ，给出下列函数：y =f (2x -4), y =f () ，
4
16
y =f (2x ), y =f (-) ，其定义域仍是A 的有（ ）
x
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6、若函数y =f (x ) 的定义域是[0,2]，则函数g (x ) =
f (2x )
的定义域是 x -1
A ．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D．(0,1) 7、已知函数f (x ) 的定义域为[-1,2]，求函数y =f (1-2x ) 的定义域？
类型2：已知复合函数f (g (x )) 的定义域，求f (x ) 的定义域
解法：若f (g (x )) 的定义域为[a , b ], ，则由a ≤x ≤b 确定g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域。
3]，求函数f (x ) 的定义域． 例5、已知函数f (x -2x +2) 的定义域为[0，
2
分析：若f [g (x ) ]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域．这
2
种情况下，f (x ) 的定义域即为复合函数f [g (x ) ]的内函数的值域。本题中令u =x -2x +2，则
f (x 2-2x +2) =f (u ) ，由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域．
解：由0≤x ≤3，得1≤x -2x +2≤5．
2
，5]． 令u =x -2x +2，则f (x -2x +2) =f (u ),1≤u ≤5. 故f (x ) 的定义域为[1
2
2
练习：
1、若函数f (3-2x ) 的定义域为[-1,2],则函数f (x ) 的定义域是（ ） A .[-, -1]
5
2
B .[-1,2]C .[-1,5]
1
D .[,2]
2
2、已知函数y =f (x +1) 的定义域为[0,9],求y =f (x ) 的定义域？ 3、已知函数y =f [lg(x +1)]的定义域为[0,9],求y =f (x ) 的定义域为 4、已知y =f (2x +1) 的定义域为[1,2],求f (x ) 的定义域。
类型3、已知复合函数f (g (x )) 的定义域，求f (h (x )) 的定义域
可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。 例6、函数y =f (x +1) 定义域是[-2,3],则y =f (2x -1) 的定义域是（ ）
5A .[0,]
2
B .[-1,4]C .[-5,5]D .[-3,7]
解：先求f (x ) 的定义域，因为
y =f (x +1) 的定义域是[-2,3],所以-2≤x ≤3, 所以1≤x ≤4,
即y =f (x ) 的定义域是[-1,4],再求f [h (x )]的定义域 -1≤2x ≤4, ∴0≤x ≤所以y =f (2x -1) 的定义域是[0,]，故应选A 练习：
1、函数y =f (2) 的定义域为[1, 2], 则函数y =f (log2x ) 的定义域为（ ）
x
5. 2
52
A . [0,1]
2
B . [1,2]C . [2,4]
x
D . [4,16]
2、已知f (x ) 的定义域为[-1,1]，则f (2) 的定义域为__________。
1
, 2],求f (x 2) 的定义域． 2111
分析：已知f (x +1) 的定义域为[-, 2],x 满足-≤x ≤2, 于是
222
3、若函数y =f (x +1) 的定义域为[-然后f (x ) 的定义域由f (x )的定义域可得．
2
解：先求f (x )的定义域：由题意知-
111
≤x ≤2, 则
f (h (x )) 的定义域：∴
1
, 或
3, 解得
或
∴f (x
2) 的定义域是{x |
类型四、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
5]，求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域． 例7、若f (x ) 的定义域为[-3，
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，
然后再求交集．
5]，则ϕ(x ) 必有⎨解：由f (x ) 的定义域为[-3，0]． 所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4，
练习：
⎧-3≤-x ≤5，
解得-4≤x ≤0．
⎩-3≤2x +5≤5，
已知函数f (x )的定义域是(0,1],求g (x ) =f (x +a ) ⋅f (x -a ), -分析：分别求f (x +a ) 与f (x -a ) 的定义域，再取交集。
1
解：由已知，有⎨
⎧0
，即⎨
0
函数的定义域由
确定
函数g (x )
1
-
a .
2
的定义域是(-a ,1+a ].
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R , 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例8、
已知函数y =
R , 求实数m 的取值范围。
2
2
分析：函数的定义域为R , 表明mx -6mx +m +8≥0使一切x ∈R 都成立，因为x 项的系数是m , 所以应分m =0或m ≠0进行讨论。
解：当m =0时，函数的定义域为R ;
当m ≠0时，m x -6m x +m +8≥0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是
2
m >0, ⎧
⇒0≤m ≤1. 综上可知0≤m ≤1. ⎨2
∆=(-6m ) -4m (m +8) ≤0, ⎩
练习：
例6 已知函数f (x ) =
kx +7
的定义域是R , 求实数k 的取值范围。 2
kx +4kx +3
2
解：要使函数有意义，则必须kx +4kx +3≠0(*)恒成立，因为f (x ) 的定义域为R , 即kx +4kx +3≠0无实数根。
2
3
; 43
②当k =0时，方程(*)恒成立。综上k 的取值范围是0
4
①当k ≠0时，∆=16k 2-4⨯3k