利用导数求函数最值
高二 苏庭
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面：
①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x ) 在x=x0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：
（1）求出函数y=f(x)的导函数
（2）在函数定义域内解不等式
区间；解不等式
例题剖析
例1、 求函数
分析：
求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解.
解答： 的值域. ； 得函数y=f(x)的单调增得函数y=f(x)的单调减区间。
函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴ 所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评：
（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.
（2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数 在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值.
例2、把长度为16cm 的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？
分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值． 解答：设一段长为xcm ，则另一段长(16－x)cm ．
∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x ＝8．
列表：
∴当x ＝8时，
S 有最小值8cm 2．
点评： 这是解实际应用题的一般方法．先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值．
例3、如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x 轴所围成图形中有个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值。
解析：设点B 的坐标为(x,0)且0
∵f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, ∴点C 的坐标为(4-x,0), ∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。
∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)
令y'=0，解得，∵ 0
∵极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值