专题 求函数值域的常用方法及值域的应用
三、值域的概念和常见函数的值域.................................................................................................................. - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法.............................................................................................................. - 1 -
4.1. 直接法 ................................................................................................................................................... - 1 - 4.2配方法 ................................................................................................................................................... - 2 - 4.3换元法 ................................................................................................................................................... - 3 - 4.4基本不等式法 ....................................................................................................................................... - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法.................................................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ................................................................................................................................... - 9 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 .................................................................................................................... - 11 - 五、高考真题汇编 ........................................................................................................................................... - 12 -
三、值域的概念和常见函数的值域
1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域：
一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R.
⎡4ac -b 2⎫二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)，当a >0时的值域为⎢, +∞⎪，当a
⎣4a ⎭
2
⎛4ac -b 2⎤
. ， -∞, ⎥4a ⎦⎝
反比例函数y =指数函数y =a
x
k
(k ≠0)的值域为{y ∈R y ≠0}. x
(a >0且a ≠1)的值域为{y y >0}.
对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的值域为R.
正，余弦函数的值域为[-1,1]，正，余切函数的值域为R.
四、求函数值域（最值）的常用方法 4. 1. 直接法
从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例：求函数y =2x ，x ∈[-2,2]的值域。 ⎢, 4⎥
⎣4⎦例：求函数y =-2x 2+5x +6的值域。 -∞, 例 求函数y =-x 2的值域。
解析： 0≤16-x ≤16， ∴0≤-x 2≤4
2
⎡1⎤
⎛⎝73⎤
⎥8⎦
故 所求函数的值域为 y ∈[0，4]。
练习 1
、求函数y =2
、求函数y 3
、求函数y =
(x ≥1)的值域。
+∞ [1, +∞)
1的值域。
)
4、（2013重庆理）y =
(-6≤a ≤3)的最大值为( )
A.9 B.【答案】B 4.2配方法
9
C.
32
2
对于形如y =ax +bx +c (a ≠0)或F (x )=a ⎡⎣f (x )⎤⎦+bf (x )+c (a ≠0)类的函数的值域问题，
2
均可用配方法求解.
例1：求函数y =-x +4x +2（x ∈[-1,1]）的值域。
解：y =-x +4x +2=-(x -2) +6，
∵x ∈[-1,1]，∴x -2∈[-3, -1]，∴1≤(x -2) ≤9
2
∴-3≤-(x -2) +6≤5，∴-3≤y ≤5
2
2
2
22
∴函数y =-x +4x +2（x ∈[-1,1]）的值域为[-3,5]。
例2：求函数的值域：y = 解：设μ=-x -
6x -5(μ≥0)，则原函数可化为：y =
2
. 又因为
μ=-x 2-6x -5=-(x +3)+4≤4，所以0≤μ≤4，
[0,2]，
所以，y =值域为[0,2].
2
4.3换元法
利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数， 形如y =
1
的函数，令f (x )=t ；
f x 形如y =ax +b a , b , c , d 均为常数
, ac ≠0) =t ；
x =a cos θ, θ∈[0, π]，或令
⎡ππ⎤
x =a sin θ, θ∈⎢-, ⎥.
⎣22⎦
例1. 求下列一元二次函数的值域： (1) y =x -2x +3, x ∈R ; (2) y =4-2 解析： 例
(4) 令t =x 2,
x ∈R , ∴t ≥0.
∴原函数⇔y =t 2-2t +3,
(t ≥0)
x
x +14
2
+3, x ∈[1, 2];
(3) y =-cos 2x -2sin x +4.
又 对称轴方程t =1∈[0, +∞), (5) 令t =2x ,
x ∈[1, 2],∴t ∈[2, 4].
{y |y ≥2}; ∴y ≥2. 即原函数的值域为：
∴原函数⇔y =t 2-2t +3, t ∈[2, 4].
{y |3≤y ≤11}; 与题（3）同理， 对称轴t =1∉[2, 4],∴该函数值域为：
(6) 原函数变形为y =-(1-sin 2x ) -2sin x +4=sin 2x -2sin x +3. 令t =sin x ∈[-1, 1],
∴原函数⇔y =t 2-2t +3, t ∈[-1, 1].
与题（2）类似， 对称轴t =1∈[-1, 1],
{y |2≤y ≤6}. ∴该函数值域为：
例：求函数的值域：y =x +
22
解：设t =≥0, 则x =1-t . 所以原函数可化为y =1-t +4t =-(t -2)+5(t ≥0)，所以
2
y ≤5. 所以原函数的值域为(-∞,5].
练习
第 I 条
求函数y =2x
（2） 求函数 答案
的值域。
1-t 21252
（1
）令t =t ≥0），则x =，∴y =-t +t +1=-(t -) +
242
135
，即x =时，y max =，无最小值。
284
5
∴函数y =2x (-∞, ]。
4
∵当t =
（2）令，则，（1）当时，，当且仅当t=1，
即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
4.4基本不等式法
利用a +b ≥，
应满足三个条件①a >0, b >0; ②a +b 或ab 为定值；③取等号成立的条件a =b . 三个条件缺一不可. 例1 求函数y =解答:
x +1的值域.
()
y =
x +2x +1
=x +1+
x +1
≥2, 当且仅当x =1时" =" 成立. 故函数的值域为y ∈[2, +∞) .
例2 求函数
y =
2x +1的值域.
分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出
" (x +1)" 项来, 可运用的方法是
第 II 条
待定系数法：
2
2
设: (x +1)(x +b ) +c =x +2x +2, 将左边展开是x +(b +1) x +(b +c ) ,
故而b +1=2, b +c =2.
解得b =1, c =1. 从而原函数y =第 III 条
(x +1)(x +1) +1
; =(x +1) +1换元法：
设x +1=t ，则原式化为f (t ) =t +接下类怎么办？
1 t
因为x +1的符号不确定，因此需要分类讨论： ⅰ) 当x >-1时, x +1>0,
1>0, 此时y ≥2, 等号成立, 当且仅当x =0.
1ⅱ) 当x 0, ->0, 此时有
y =
(x +1)(x +1) +111⎤⎡
=(x +1) +=-⎢-(x +1) -≤-2, ⎥x +1x +1x +1⎣⎦
等号成立, 当且仅当x =-2.
综上, 原函数的值域为: y ∈(-∞, -2]⋃[2, +∞) .
2x 2-x +1⎛1⎫
例：求函数的值域：y =x > ⎪.
2x -1⎝2⎭
1
111
解： x >, ∴t =x ->0，则原函数化为f (t ) =t ++
22t 2
11
∴t +≥=t =
时，即x =
t t ∴y ≥
1⎡1⎫
，所以元函数的值域为⎢+∞⎪. 2⎣2⎭
错误！未指定书签。．（2012年上海春）函数y =log 2x +
4
(x ∈[2,4])的最大值是______. log 2x
4.5函数的单调性（导数）法
利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握
例如，f (x )=ax +题.
b
(a >0, b >0). 当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解x
1
在区间x ∈(4, +∞)上的值域。 x 1
分析与解答：y ' =1-2>0，所以该函数在此区间上单调递增
x 117
于是：函数y =x +在区间x ∈(4, +∞)上的值域为[, +∞) 。
4x
例．求函数y =x +
例： 求函数f (x ) =x 3-3x 在(-5, 1) 内的值域.
分析:f '(x ) =3x 2-3. 由f '(x ) =0得f 的极值点为x =1, x =-1.
f (-1) =2, f (1-0) =-2. f (-5+0) =140.
所以, 函数f 的值域为(-2, 140) . 例4. 求下列函数的最值：
（1）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 且f (x ) 在区间[－2，2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值.
1+x ) -x 2在[0，2]上的最大值和最小值. （2）求函数f (x ) =ln(
1
4
解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.
(1) 对原函数求导得：f '(x ) ＝－3x 2＋6x ＋9．令f '(x ) =0，解得x =－1，或x =3（舍）， 因为f (－1)=－5+ a ，f (－2) ＝8＋12－18＋a =2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)> f(－1) ．
因此f (2)和f (－1) 分别是f (x ) 在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． 故f (－1)=－5+ a＝－7，
即函数f (x ) 在区间[－2，2]上的最小值为－7． (2) 对原函数求导得：f '(x ) =
1111
-x , 令 -x =0, 1+x 21+x 2
化简为x 2+x -2=0, 解得x 1=-2(舍), x 2=1. 又因为f (1) =ln 2-
1
，f (0) =0, f (2) =ln 3-1>0, f (1) >f (2), 4
所以f (0) =0为函数f (x ) 在[0，2]上的最小值，
f (1) =ln 2-
1
为函数f (x ) 在[0，2]上的最大值. 4
总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错. 因为如果只需要求函数的最值，那么
我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了. 4x 2-7
练习 求函数f (x ) =, x ∈[0, 1]的值域.
2-x
答案：对原函数f (x ) 求导，得f '(x ) =
-4x 2+16x -7
(2-x ) 2
=
-(2x -1)(2x -7)
(2-x ) 2
令f '(x ) =0解得 x =又因为
7
f (0) =-,
2
17
，或x =（舍） 22
1
f (=-4, 2
f (1) =-3.
所以当x ∈[0, 1]时，f (x ) 的值域为[-4, -3].
4.6数形结合法
如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由
y 1-y 2
可联想到两点(x 1, y 1)与
x 2-x 1
(x 2, y 2)连线的斜率.
例1：求函数y =|x +3|+|x -5|的值域。
⎧-2x +2(x
解：∵y =|x +3|+|x -5|=⎨8 (-3≤x
⎪2x -2(x ≥5) ⎩
∴y =|x +3|+|x -5|的图像如图所示，
由图像知：函数y =|x +3|+|x -5|的值域为[8,+∞)
更简单的方法是：该函数的几何意义是，动点到定点（-3,0），（5,0）的距离之和，从图上易见最小值是8
例2
：求函数y =
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f (x ) =
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位
正方形。设HK=x , 则EK=2-x ,KF=2+
x
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A 、K 、C 三点共 线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y≥5｝。
例3．如例4求函数y =+x +-x 的值域。
22
分析与解答：令u =+x ，v =-x ，则u ≥0, v ≥0，u +v =2，u +v =y ，
22
原问题转化为 ：当直线u +v =y 与圆u +v =2在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直
线的截距的取值范围。
由图1知：当u +v =y 经过点(0, 2) 时，y min =当直线与圆相切时，y max =OD =所以：值域为2≤y ≤2
2；
2OC =
2)
2
=2。
例4. 求函数
解：将函数变形为：
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点即：
，则构成
，根据三
的值域。
到点
的距离之差。
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
练习
求函数的值域：y =x -+x +4
⎧-2x -3(x ≤-4)⎪
解：y =x -1+x +4=⎨5(-4
⎪2x +3(x ≥1)⎩
∴y ≥5 ∴函数的值域为：[5, +∞).
4.7函数的有界性法
分式型的含sin x 或cos x 的函数，常用此法，再根据-1
2cos x +1
的值域。
3cos x -2
1⎤⎛-∞, ⋃[3, +∞) ⎥5⎝⎦
例4：求函数y =
2-sin x ⎡1⎤
的值域。 ⎢,3⎥
2+sin x ⎣3⎦
4.8分离常数法
分离常数法往往用于解决分子分母都含变量的分式函数问题，设函数f (x ) =法：
h 1(x )
，包括两种方h 2(x )
（1）经过恒等变形，使f (x ) 变形为只在分子或分母中含有变量的形式，如
f (x ) =mg (x ) +
n
(m , n ∈R ) ； h 2(x )
（2）将f (x ) 变形为f (x ) =m +
g (x )
(m ∈R ) 形式的函数， h 2(x )
这两种处理的结果，往往会使新函数的性态（如单调性、奇偶性等）比较容易判断. 例：求函数y =
1-x
的值域。 2x +5
177-(2x +5) +
1-x =-1+， 解：∵y ==2x +52x +522x +57
1
∵≠0，∴y ≠-，
22x +5
1-x 1
∴函数y =的值域为{y |y ≠-。
2x +52
3x
例、求函数y =x 的值域
3+1
3x +1-111x
=1-=1-解：则y =，设3+1=t >1 ， x x
3+13+1t
1 t >1∴0
t
∴0
∴原函数的值域为(01)
x 2+6x +7
(x >-1) 的值域 例 求函数f (x ) =
x +1
x 2+6x +7(x +1) 2+4(x +1) +22
==(x +1) ++4，由x >-1，得x +1>
0，则解：f (x ) =
x +1x +1x +1
(x +1) +
22，即x =1时，等号
+4≥4=4，当且仅当x +1=
x +
1x +1成立，所以当x =1时，函数f (x
) 的最小值是4.
x 4+kx 2+1
例 设k ∈R ，f (x ) =4，若对任意实数a , b , c ，都存在以f (a ), f (b ), f (c ) 为边的三角形，则实
x +x 2+1
数k 的取值范围是（ ）
11
A . (-,1] B . [1,4) C . (-,4) D . 以上都不对
22
(k -1) x 2x 2
解：第一次分离常数将函数f (x ) 变形为f (x ) =1+4，令g (x ) =4，再次分离常数得22
x +x +1x +x +1
11
g (x ) =，易知g (x ) ∈(0,]，下面分类讨论：
3x 2++1x
第 IV 条
当k ≥1时，f (x ) max =
k +2
，f (x ) min =1，若f (a ), f (b ), f (c ) 构成三角形3
的三边，则有2f (x ) min =1>f (x ) max ，即2>第 V 条
当k
k +2
，得1≤k
k +2
=1，f (x ) min =，则由2f (x ) min =1>f (x ) max 得
3
1
-
综上可知实数k 的取值范围是(-,4) ，选C
使用分离常数法往往要对分子（分母）进行配凑，要构造出含有分母（分子）的形式，这需要较强的代数变形能力，降低难度的一个策略是用换元法，如例1，可设t =x +1(t >0) ，则原函数改写为
12
(t -1) 2+6(t -1) +72f (t ) ==t ++4.
t t
4.8 三角函数中的值域问题
利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函
数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值）.
例3. 求下列三角函数的值域：
(1) y =3sin(2x -
π4
) +5, x ∈R ; (2) y =2cos(2x -
π
) -1, x ∈[0, ]；32
π
(3) y =sin 2x +cos 2x , x ∈(0, ) ；(4) y =sin 2x -2sin 2x , x ∈(0, ) ；
32(5) 已知圆的标准方程为：(x -1) 2+(y +1) 2=4, 求2x +y 的取值范围.
ππ
解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，
只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做. （5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型.
(1) x ∈R , ∴2x -
π
4
∈R , ∴sin(2x -
π
4
) ∈[-1, 1],∴y ∈[2, 8];
(2) x ∈[0, ]∴2x -∈[-, ]∴sin(2x -) ∈[-, 1]
233332
πππ2ππ
∴y ∈[--1, 1];
(3) 原函数利用辅助角公式得y =2sin(2x +
π
), x ∈(0, ). 以下与（2）做法类似. ∴y =(-3, 2];
33
π
（4）利用三角函数的降次公式得原函数等价于y =sin 2x -(1-cos 2x )
=sin 2x +cos 2x -1=sin(2x +以下做法与题（2）类似.
π
) -1, x ∈(0, ). 42
π
∴y ∈(-2, 2-1];
⎧x =1+2cos θ
(5) 由圆的标准方程得它的参数方程：(其中θ为参数). ⎨
y =-1+2sin θ, ⎩所以2x +y =4cos θ+2sin θ+1=2sin(θ+Φ) +1(其中tan Φ=2). 所以2x +y ∈[-2+1, 25+1].
总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式, 如：
y =A sin(ωx +ϕ) +m , 或y =A cos(ωx +ϕ) +m (其中A , ω, ϕ, m 为常数，且A , ω≠0) 的形式. 然后再由所限制的自
变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围. 如果没有限制自变量的范围，则易得sin(ωx +ϕ) 或cos(ωx +ϕ) ∈[-1, 1].从而得y 的范围.
练习3. 求下列三角函数的最值： （1）函数y =sin x -
1
cos x (x ∈R ) 的最大值为； 2
⎢⎣2⎥⎦
（2）函数y =sin x +3cos x 在区间⎡0, π⎤上的最小值为 ； （3） 求函数y ＝2cos(x +
π
44
ππ
（4）已知向量a =(sinθ,1), b =(1,cosθ), -
22
（I ）若a ⊥b , 求θ; （II ）求a +b 的最大值.
参考答案：（1）
) cos(x -
π
) ＋3sin 2x 的最值．
π； （2） 1； （3）y max =2, y min =-2; （4
）-1. 24
五、高考真题汇编 较容易的基础题：
1. 函数f (x ) =sin x -cos x 的最大值为（ ）A ．1 B ．
2 C ．3
D ．2
2. 若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1
B
C
D ．2
ππ
3. 函数y =2-x ) -+x )(x ∈R ) 的最小值等于（ ）
36
A ．－3
B ．－2
C．－1
D ．－5
4. 设a >1，函数f (x ) =log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为则a =（
Ｂ．2
Ｃ．
1
， 2
Ｄ．4
5. 在函数f (x ) =ax 2+bx +c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0) =-4，则f (x ) 有最值（填“大”或“小”），且该值为 . 6.
函数f (x ) =x +sin 7. 函数f (x ) =cos x -
⎛π⎫
+x ⎪的最大值是________________. ⎝2⎭
1
cos 2x (x ∈R ) 的最大值等于. 2
8. 函数f (x ) =2cos 2x +sin 2x 的最小值是9. 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的离乘积的最
大值是 . 中等难度的提高题：
1. 已知函数f (x ) =a sin x -b cos x （a 、b 为常数，a ≠0，x ∈R ）在x =小值，则函数y =f (
π
4
处取得最
3π
-x ) 是（ ） 4
3π
, 0) 对称 2
A ．偶函数且它的图像关于点(π, 0) 对称 B ．偶函数且它的图像关于点(C ．奇函数且它的图像关于点(
3π
, 0) 对称 D ．奇函数且它的图像关于点(π, 0) 对称 2
2. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接, 但不允许折 断), 能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）
A. 8cm 2 B. 6cm 2
19
C. 3cm 2
D. 20cm 2
3. 函数f (x ) =
∑x -n 的最小值为（ ）
n =1
A. 190 B. 171 C. 90 D. 45
11
4. 设x , y ∈R , a >1, b >1, 若a x =b y =3, a +b =23, 则+的最大值为( )
x y
A. 2 B.
31 C. 1 D. 22
1+cos 2x +8sin 2x
5. 当0
2sin 2x
π
A. 2
2
B. 2
C. 4
D. 4
6. 抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )
A ．
478
B． C． D．3
535
x 2y 2
-=1的左焦点，A (1,4), P 是双曲线右支上的动点，则PF +PA 的最小值7. 已知F 是双曲线
412
为 .
22
8. 已知AC 、BD 为圆O :x +y =
4的两条相互垂直的弦，垂足为M , 则四边形ABCD 的面积
(的最大值为 . 9. 若
π
4
π
2
，则函数y =tan 2x tan x 的最大值为3
10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
11. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A ．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos A +sin C 的取值范围．
12
．已知函数f (x ) =sin 2ωx +ωx sin ωx +（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢0⎥上的取值范围．
313. ∆ABC 的三个内角为A 、B 、C, 求当A 为何值时,cosA+cos14. 在△ABC 中，已知内角A =
⎛⎝
π⎫
⎪（ω>0）的最小正周期为π． 2⎭
⎡2π⎤⎣⎦
B +C
取得最大值, 并求出这个最大值. 2
π
，边BC =B =x ，周长为y ． 3
（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．
sin 4x +cos 4x +sin 2x cos 2x
15. 求函数f (x ) =的最大值和最小值.
2-sin 2x
16. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长
分别为x 、y (单位：m) 的矩形, 上部是等腰直角三角形.
要求框架围成的总面积8m .
问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
17．某村计划建造一个室内面积为800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧
内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
18. 用长为90cm, 宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器, 先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转90°角, 再焊接而成(如图), 问该容器的高为多少时, 容器的容积最大? 最大容积是多少?
较难的综合题：
1. 用min{a 、b 、c}表示a 、b 、c 三个数中的最小值.
x
设f (x ) =min 2, x +2,10-x (x ≥0), 则f (x )的最大值为( )
2
2
{}
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 有两个相同的直三棱柱, 高为
2
, 底面三角形 a
的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0).用它们 拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱柱, 则a 的取值范围 是 ．
3. 已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
1) 时，求直线AC 的方程； （Ⅰ）当直线BD 过点(0，
（Ⅱ）当∠ABC =60时，求菱形ABCD 面积的最大值．
x 22
4. 设P 为椭圆2+y =1(a >1)短轴上的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点, 求|PQ|的最大值
a
x 2y 2
+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线5. 已知椭圆32
交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．
x 02y 02
+
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
0) B (01)，是它的两个顶点，直线y =kx (k >0) 与AB 相交于点D ，6. 设椭圆中心在坐标原点，A (2，，
与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若ED =6DF ，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
7. 已知点M (-2,0), N (2,0)，动点P
满足条件|PM |-|PN |=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若A , B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ⋅OB 的最小值.
较容易的基础题的参考答案：
1. B
2. B
3. C
4. D
5. 大，-3;
6. 2;
37. ; 4
8. 1-2;
9. 3
π
第2题解析：由条件知|MN |=|sin a -cos a |=|sin(a -) |∴2.
4第3题解析：
方法一：利用三角函数的和差角公式展开、化简和辅助角公式得：y =-x ) ∴y min =-1.
3方法二 (
π
π3
-x ) +(
π6
+x ) =
π
, 由诱导公式知-x ) =+x ) ∴y =-x ) ∴y min =-1. 2363
πππ
第4题解析：
a >1,
∴函数f (x ) 在区间[a , 2a ]上为增函数.
1
, 2
⇒a =4.
∴f (2a ) -f (a ) =log a 2a -log a a =log a 2=
第5题解析：
a , b , c 成等比数列且f (0) =-4, ∴b
2
=ac , 且c =-4
4a
=3b 2-b
2
⇒a
b 24
.
∴开口向下. 则f (x ) 有最大值. y max =
,
ππ
第6题解析： +x ) =cos x , ∴函数f (x ) =sin x +cos x =2sin(x +).
26第7题解析： cos 2x =2cos 2x -1
∴函数f (x ) =-cos 2x +cos x +
1
, 2
令t =cos x ∈[-1, 1],
∴y max =2.
13
∴原函数等价于f (t ) =-t 2+t +. 再利用一元二次函数求.
24
第8题解析：
2cos 2x =1+cos 2x , ∴f (x ) =1+cos 2x +sin 2x =1+2sin(2x +
π4
) ∴最小值是1-2.
第9题解析：
设P 点到BC 的距离PD 为x (0
BD PD 33
=⇒BD =x ⇒CD =3-x . BC AC 44
3
x ) (0
中等难度题的参考答案：
1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A 7. 9 8. 5 9. -8 10. 20
第1题解析： f (x ) 在x =
π
43π
则函数y =f (-x ) =-a 2+b 2sin x .
4
处取得最小值，可以看作y =sin x 右移
因此选D .
3π3π
∴不妨设f (x ) =a 2+b 2sin(x -) 44
第2题解析：
可以大胆猜想：三角形的周长越大，形状越接近正三角形时面积就越大. 所以，当三角形的边长为7，7，6时，最接近正三角形，此时面积最大. 最大面积为6. 所以选B .
第3题解析：
f (x ) =|x -1|+|x -2|+⋅⋅⋅+|x -18|+|x -19|,因此我们知道当x 取1~19的中间数字，或接近中间的数字时f (x ) 取最小. 因此最小值为f (10) =2(1+2+3+⋅⋅⋅+9) =90. 所以选C .
第4题解析：
因为a x =b y =3, x =log a 3, y =log b 3，所以第5题解析：
2cos 2x +8sin 2x π
原式f (x ) ==cot x +4tan x . 0
2sin x cos x 2∴f (x ) ≥4,
当且仅当tan x =cot x ，即x =
∴tan x >0, cot x >0.
11a +b 2
+=log 3ab ≤log 3() =1 x y 2
π
∈(0, ) 时, f (x ) 取得最小值4. ∴选C .
42
π
第6题解析：
由直线和抛物线的图像知，当一条直线与已知直线平行且与抛物线相切时，这时两直线间的距离即为所求的最小值. 所以，可以设与直线4x +3y -8=0平行的直线的方程为：4x +3y +c =0(c 为常数). ⎧4x +3y +c =0又因为该直线与抛物线相切，所以由⎨联立，消去y 得：-3x 2+4x +c =0, 2
⎩y =-x
4|-8+|
43=4. 再令∆=0，得c =-. 所以最小距离为因此A 选项正确.
22334+3
第7题解析：
因为P 点在双曲线的两只之间, 且双曲线右焦点为F '(4,0), 于是根据双曲线第一定义（距离定义）知：
|PF|－|PF '|＝2a ＝4，并且|PA|＋|PF '|≥|AF '|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9, 当且仅当A 、P 、F '三点共线时等号成立. 第8题解析：
设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2, 则d 12+d 22=OM 2=3. 四边形ABCD
的面积S =第9题解析： 令tan x =t ,
1
|AB |⋅|CD |=≤8-(d 12+d 22) =5 2
π
4
3
π
2
∴t >1,
2tan 4x 2t 4222
∴y =tan 2x tan x ====≤=-8 22
1-tan x 1-t -2(2-) 2--4t t t 244
第10题解析：
设一年的总运费与总存储费用之和为y , 则由题目条件知y =
400
⨯4+4x ≥160(万元). x
1600
当且仅当=4x , 即x =20(吨) 时，等号成立, y min =160(万元).
x
第11题解析：
（Ⅰ）由a =2b sin A ，根据正弦定理得sin A =2sin B sin A ，所以sin B =
由△ABC 为锐角三角形得B =
1， 2
π． 6
（Ⅱ）cos A +sin C =cos A +sin π-
⎛⎝π⎫-A ⎪ 6⎭
1π⎫⎛π⎫⎛
A
=s i =cos A +sin +A ⎪
=cos A +cos A +n A +⎪．
3⎭22⎝6⎭⎝
由△ABC 为锐角三角形，且B =
πππ
知，
326
所以
2ππ7π1π⎫⎛
所以
π⎫⎛
3⎫
． ⎪⎪2⎭⎝
所以，cos A +
sin C 的取值范围为第12题解析：
（Ⅰ）f (x ) =
1-cos 2ωx 11
2ωx =2ωx -cos 2ωx +
222
π⎫1⎛
=sin 2ωx -⎪+．
6⎭2⎝
因为函数f (x ) 的最小正周期为π，且ω>0， 所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x ) =sin 2x -
2π
=π， 解得ω=1． 2ω
⎛⎝
π⎫1⎪+． 6⎭2
因为0≤x ≤
2πππ7π1π⎫⎛，所以-≤2x -≤，所以-≤sin 2x -⎪≤1， 366626⎭⎝
因此0≤sin 2x -第13题解析：
⎛⎝
π⎫13⎡3⎤
f (x ) 0⎥． ， 即的取值范围为+≤⎪⎢6⎭22⎣2⎦
A π
A 、B 、C 为三角形的内角，∴B +C =π-A , 且0
∴cos A +cos
B +C A A A
=1-2sin 2+sin (0
A 1B +C 1当sin =∈(0, 1) 时，cos A +cos 取得最大值1.
2428
第14题解析：
（Ⅰ）△ABC 的内角和A +B +C =π，由A =
应用正弦定理，知
AC =
π2π
，B >0，C >0得0
BC BC ⎛2π⎫
sin B =sin x =4sin x ，AB =sin C =4sin -x ⎪．
sin A sin A ⎝3⎭sin 3
因为y =AB +BC +AC ，
所以y =4sin x +4sin
⎛2π⎫
-x ⎪+⎝3⎭2π⎫⎛
0
3⎝⎭
（Ⅱ）因为y =4 sin x +
⎛
⎝⎫1
x +sin x ⎪+⎪22⎭
=s i n x +
⎛
⎝π⎫⎪+6⎭
3
π5π⎫⎛π
所以，当x +
πππ
=，即x =时，y
取得最大值
362
第15题解析：
(sin2x +cos 2x ) 2-sin 2x cos 2x
因为f (x ) =
2-2sin x cos x
1-sin 2x cos 2x =
2(1-sin x cos x )
=
1
(1+sin x cos x ) 2
=
11sin 2x +. 42
所以函数f (x ) 的最大值是, 最小值是. 第16题解析：
x 2
8-12
=8-x ( x 、y >0，∴0
3414
2).
于是, 框架用料长度为
L =2x +2y +2(
当(
3+2
16323
x ) =(+2) x +≥2(+2) =46+42.
2x 22
2) x =
16
, 即x =8－42时等号成立. x
此时, x ≈2.343, y =22≈2.828. 故当x 为2.343m, y 为2.828m 时, 用料最省. 第17题解析：
设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab =800.
蔬菜的种植面积 S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a +8=808-2(a +2b ). 所以S ≤808-42ab =648(m 2).
当a =2b , 即a =40(m ), b =20(m ) 时, S max =648(m 2).
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m . 第18题解析：
设容器的高为x ，容器的体积为V ，
则V=(90－2x )(48－2x ) x =4x 3－276x 2+4320x (0
由V ′=12x 2－552x +4320=0得 x 1=10，x 2=36（舍去）
因为在开区间x ∈(0, 24) 上，只有一个极值点，所以, 当x =10,V有极（最）大值V(10)=1960.
较难的综合题的参考答案： 1. C 2. 0
3. （Ⅰ）x +y +2=0; （Ⅱ）4. 3
a 2a 2-1a
2
2
4. 当a ≥2时，|PQ |取得最大值; 当1
-1
5. （Ⅰ）证明参考解析；（Ⅱ）四边形ABCD 的面积的最小值为6. （Ⅰ）k =
96
. 25
23
, 或k =; （Ⅱ）四边形AEBF 面积的最大值为22. 38
x 2y 2
7. （Ⅰ） W 的方程为-=1,
22
第1题解析：
(x ≥2) ; （Ⅱ）最小值为2.
画出三个函数的图像，利用图像知当y =x +2与y =10-x 相交时，即x =4, 也即y =6时成立.
第2题解析：
由实际情况知，当两个大面重合时，所构成的四棱柱在所有四棱柱中全面积最小. 最小面积为：2
+3a ⨯4a ⨯2=28+24a 2. a
当这两个直三棱柱叠在一起时，所构成的三棱柱的全面积为：
4
（3a +4a +5a ）⨯+3a ⨯4a =48+12a 2.
a （3a +4a ）⨯2⨯
所以，28+24a 2
5
⇒a 2
3
⇒-
a 0. 33
所以0
. 3
第3题解析：
（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1．
因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x -6nx +3n -4=0． ⎩y =-x +n
因为A ，C 在椭圆上，所以∆=-12n +64>
0，解得-设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
2
3n 3n 2-4
则x 1+x 2=，x 1x 2=， 又因为y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．
24
所以y 1+y 2=
n ⎛3n n ⎫
，所以AC 的中点坐标为 ⎪． 2⎝44⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点 所以
⎛3n n ⎫
⎪在直线y =x +1上， ⎝44⎭
n 3n =+1，解得n =-2．所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0． 44
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60，
所以AB =BC =CA ．所以菱形ABCD
的面积S =
2
． -3n 2+16
由（Ⅰ）可得AC =(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =，
2
2
2
2
-3n 2+16) 所以S =⎛
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值 第4题解析：
根据题目条件可设点P (0, 1), Q (x , y ), 则|PQ |=x 2+(y -1) 2. 又因为Q 在椭圆上，所以x 2=a 2(1-y 2).
所以|PQ |2=a 2(1-y 2) +y 2-2y +1=(1-a 2) y 2-2y +1+a 2
(-1≤y ≤1)
因为a >1, 所以1-a 2
11-a 2
11-a
2
11-a 2
11-a 2
时，|PQ |取得最大值
a 2a 2-1a 2-1
;
∈[-1, 1],即a ≥2时，y =
第5题解析：
证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距c ==1， 由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，
2222
x 0y 0x 0y 01+≤+=
2
020
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且k ≠0时，BD 的方程为y =k (x +1) ，
x 2y 2
+=1，并化简得(3k 2+2) x 2+6k 2x +3k 2-6=0． 代入椭圆方程326k 23k 2-6
设B (x 1，y 1) ，D (x 2，y 2) ， 则x 1+x 2=-2，x 1x 2=2，
3k +23k +2
BD =1-x 2==
因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为-
1
． k
专题 函数的值域的求解 第 - 21 - 页 共 24 页
1⎫2+1⎪
k 2+1) k ⎭所以，AC =． =2
2k +33⨯2+2k
四边形ABCD 的面积
124(k 2+1) 224(k 2+1) 296S =BD ⋅AC =≥=. 222225(3k 2+2)(2k 2+3) ⎡(3k +2) +(2k +3) ⎤
⎢⎥2⎣⎦
当k =1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率k =0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S =4． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为第6题解析：
2
96． 25
x 2
+y 2=1， 依题设得椭圆的方程为4
直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0) ． 如图，设D (x 0，kx 0) ，E (x 1，kx 1) ，F (x 2，kx 2) ，其中x 1
x 2且x 1，x 2满足方程(1+4k ) x =4， 故x 2=-x 1=
2
2
．①
15由ED =6DF 知x 0-x 1=6(x 2-x 0) ，得x 0=(6x 2+x 1) =x 2=；
77由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2， 得x 0=所以
2
． 1+2k
2232
=，化简得24k -25k +6=0，解得k =, 或k =．
381+2k （Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为
h 1=
=
h 2=
又
=
，
所
AB ==以四边形
AEBF
的面积为
专题 函数的值域的求解 第 - 22 - 页 共 24 页
11S =
AB (h 1+h 2) =
≤， =
=
22当2k =1，即当k =
第7题解析： 解法一：
（Ⅰ）由PM -PN =22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，
1
时，上式取等号．所以S
的最大值为 2
实半轴长a =
2，又半焦距c=2，故虚半轴长b =c 2-a 2=2
(x ≥2)
x 2y 2
所以W 的方程为-=1,
22
（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1），（x 2, y 2）
22
当AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, y 1=-y 2, 从而, =x 1x 2+y 1y 2=x 1-y 1=2
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得：
(
2km m 2+2
, x 1x 2=2 1-k x -2kmx -m -2=0 故 x 1+x 2=2
1-k k -1
2
)
22
所以 ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=1+k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2
()
(1+k )(m
=
2
2
+2
k 2-1
)+2k
2
m 2
1-k 2
+m
2
=
2k 2+2k 2-1
=2+
4k 2-1
.
又因为x 1x 2>0, 所以k 2-1>0,
从而0A ⋅0B >2.
综上，当AB ⊥x 轴时, OA ⋅OB 取得最小值2. 解法二：
（Ⅰ） 同解法一. （Ⅱ） 设A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则
x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i =1, 2)
令s i =x i +y i , t i =x i -y i 则s i t i =2, 且s i >0, t i >0(i =1, 2)，
所以⋅=x 1x 2+y 1y 2
专题 函数的值域的求解 第 - 23 - 页 共 24 页
=
1
(s 1+t 1)(s 2+t 2)+1(s 1-t 1)(s 2-t 2) =1s 1s 2+1t 1t 2≥s 1s 2t 1t 2=2. 4422
⎧x 1=x 2
时，“=”成立. 所以⋅的最小值是2.
当且仅当s 1s 2=t 1t 2, 即⎨⎩y 1=-y 2
专题 函数的值域的求解 第 - 24 - 页 共 24 页