例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1) ＝ －2求f (x ) 在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）
分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号.
例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1].
（1）
（2）
（3） 判断f （x ）的奇偶性； 判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； 若a ≥0且f （a ＋1）≤9，求a 的取值范围.
分析：（1）令y ＝－1；
（2）利用f （x 1）＝f （
（3）0≤a ≤2.
例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立. 求：
（1）
（2） f （0）； 对任意值x ，判断f （x ）值的符号. x 1x ·x 2）＝f （1）f （x 2）； x 2x 2
分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0.
例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝ f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4. 同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出f （x ）＝2x ；再用数学归纳法证明.
例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求：
（1）
（2） f （1）； 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y ＝ f （x ）的反函数是y ＝g （x ）. 如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由.
分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ，进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝ f （a b ）＝f [g （m ）g （n ）]….
例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①
②
③ x 1、x 2是定义域中的数时，有f （x 1－x 2）＝f (x 1) f (x 2) +1； f (x 2) -f (x 1) f （a ）＝ －1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； 当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0.
试问：
（1）
（2） f （x ）的奇偶性如何？说明理由； 在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝ －f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数；
（3）
上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），
（1）
（2） 求证：f （1）＝f （－1）＝0； 求证：f （x ）为偶函数； 先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）
（3）
≤0. 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －1）2
分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0）
（1）
（2）
（3）
例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：
（1）
（2） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1； f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝ －1； 令y ＝ －1； 由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）. y ＝－x ；受指数函数单调性的启发：由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝f (x ) ，f (y ) 进而由x 1＜x 2，有
练习题： f (x 1) ＝f （x 1－x 2）＞1. f (x 2)
1. 已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（ ）
（A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1
（C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对
2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ ）
（A ）f （1）＝0 （B ）f （1）＝ f （x ） x
（C ）f （x ）＝ f （x ）－f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ） y
3. 已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（ ）
（A ）（1，＋∞） （B ）（－∞，1）
（C ）（0，1） （D ）（－1，＋∞）
4. 函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有
f （x 1－x 2）＝f (x 1) -f (x 2) ，则f （x ）为（ ） 1+f (x 1) f (x 2)
（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数
（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数
5. 已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（ ）
（A ）奇函数非偶函数
（C ）既是奇函数又是偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C （B ）偶函数非奇函数 （D ）非奇非偶函数 4．A
5．B