品味平面向量与三角形中线的交汇
纵观近年全国和各省市的高考卷不难发现，高考在不断加大对平面向量与三角形中线交汇问题的考查力度. 下面介绍几例, 供参考.
1、判断向量关系
例1已知O 是∆ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA +OB +OC =0，那么（ ）
A ．AO =OD B．AO =2OD C．AO =3OD D．2AO =OD 解析：因为D 为BC 边中点，所以AD =
12
(AB +AC ) ，即2AD =AB +AC
①
又2OA +OB +OC =0, 即2OA =-OB -OC ②
①+②得, 2AD +2OA =AB -OB +AC -OC , 即2OD =AO +AO ,
2OD =2AO , 因此AO =OD
. 故选A.
12
(AB +AC ) 出发, 与已知的向量等
点评：这里从三角形中线向量公式AD =
式进行加减运算, 立即获得AO 与OD 的关系, 快速实现解题目标.
2、求向量的数量积
例2在△A B C 中，A B =2，A C =3，D 是边B C 的中点，则AD ⋅BC = 解析：AD ⋅BC =
12
(AB +AC )(AC -AB ) =
1212(AC
2
-AB ) =
2
12
(9-4) =
52
.
点评：这里将三角形中线向量公式AD =(AB +AC ) 与BC =AC -AB 代入
数量积AD ⋅BC 之中，迅速求出数量积的值.
3、求向量数量积的最值
例3在∆ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA ⋅(OB +OC ) 的最小值是_______
解析：设OM =x , 则OA =2-x .
1 / 2
因为M 为BC 边中点，所以OM =
12
(OB +OC ) ，即OB +OC =2OM .
于是OA ⋅(OB +OC ) =OA ⋅2OM =-2x (2-x ) =2x 2-4x =2(x -1) 2-2. 当x =1时, OA ⋅(OB +OC ) 取得最小值-2.
点评：这里引进自变量x ，并运用三角形中线向量公式OM =
12
(OB +OC ) 进
行代换，建立数量积OA ⋅(OB +OC ) 关于x 的目标函数，求这个目标函数的最小值即可.
4、求代数式的值
例4如图，在△A B C 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，
A C 于不同的两点M ，N ，若AB =m AM ，AC =n AN ，求m +n 的值.
解析：连结AO , 则AO =在∆AMO 中,
MO =MA +AO =(
12
12
(AB +AC ) =
12
(m AM +n AN ) .
m -1) AM +
12
n AN ;
在∆ANO 中,
ON =NA +AO =
12
m AM +(
12
n -1) AN ;
1
14mn =0
) n -1）-因为MO 与ON 共线，所以(m -1（
2
2
1
，m +
2
112
n -1=0
，因
此m +n =2.
点评：这里选择AM 与AN 为一组基向量，将共线向量MO 与ON 表示为
AM 和AN
的线性组合，利用共线向量的坐标式充要条件得到关于m , n 的等式，
进而求出代数式m +n 的值.
以上介绍了平面向量与三角形中线交汇问题的四种类型, 解题中主要涉及到三角形中线的向量公式、向量数量积的运算、向量的和、差、模、数乘运算、向量共线、共面定理以及与问题相关的其他知识，大家要认真体会，切实掌握.
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