函数的概念
教学目标：
了解映射的概念, 在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是
否为同一函数；理解分段函数的意义．
教学重点：
函数是一种特殊的映射, 而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义
域是灵魂．
知识要点
1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，
在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个
函数。记作：y=f(x)，x ∈A 。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x
的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
3、映射：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意
一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合
A 到集合B 的一个映射。对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；
课前练习
1、（2011·福建文8） 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
2. 若对应关系f:A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ）
A.A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 B.A 中两个元素在B 中的对应元素
必定不同
C.B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同 D.B 中的元素在A 中可能没有对应
元素
3. 如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y 的对应关系，则有 （ ）
A. 都表示映射，且①③表示y 为x 的函数 B. 都表示y 是x 的函数
C. 仅②③表示y 是x 的函数 D. 都不能表示y 是x 的函数
4. 已知函数f （x ）＝若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .
典型例题
例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=，g （x ）=；
（2）f （x ）=，g （x ）=
（3）f （x ）=，g （x ）=（）2n －1（n ∈N*）；
（4）f （x ）=，g （x ）=；
（5）f （x ）=x2－2x －1，g （t ）=t2－2t －1。
提示：当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．
例题2．（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三个对应（2）是到的映射．
例题3、 函数的图象是（ C ）
例题4给出下列两个条件：
f(+1)=x+2;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
变式训练：
（1）已知f （）=lgx，求f （x ）；
（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；
（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f（）=3x，求f （x ）.
课后作业：
1、（2011·广东文4）函数f(x)＝＋lg(1＋x) 的定义域是( )
A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)
C ．(－1,1) ∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)
2．下列函数中，与函数相同的函数是 （ ）
3、[2011·安徽卷] 函数y ＝的定义域是________．
4、（2011·陕西文11）设f(x)＝则f(f(－2)) ＝________.
5、已知函数f(x)=
（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.
解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.
（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.
审核：
例题4解：（1）令t=+1,∴t ≥1，x=（t-1）2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).
（2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴， ∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.
变式训练解：(1)令+1=t，则x=，
∴f （t ）=lg，∴f（x ）=lg,x∈(1,+∞).
（2）设f （x ）=ax+b，则
3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.
（3）2f （x ）+f（）=3x， ①
把①中的x 换成，得2f （）+f（x ）= ②
①×2-②得3f （x ）=6x-，∴f（x ）=2x-.