函数的值域及其求法

函数值域及其求法

一 相关概念 1、值域：函数y

f(x)，xA，我们把函数值的集合{f(x)/xA}称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二 确定函数值域的原则

1、当函数

用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；

则值域为{1，2，3，4}

2、数yf(x)的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； 3、数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域

1、一次函数ykxb（a0）的值域为R； 2、二次函数yax2bxc（a0）；

4acb24acb2 3、反比例函数ka0时，值域是[，);a0时，值域是(]y(k0)的值域为

4a4ax

x

{y/y0}；4、数函数ya(a0且a1)的值域为{y/y0}；5、对数函数

ylogax(a0且a1)的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是 1,1

四 求函数值域的方法

1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. 求函数y3x2x2

x(3，5]的值域；

123

解：求函数y3x2x2＝3(x)2

612

画出图像（图略）从图可知, x1时，y

6

min



23

;x5时，y12

max

3(5

1223)72. 612

所以此函数的值域为[例2. 求函数y解：设

23

，72]. 12



x26x5 的值域；

x26x5，则0; x26x5(x3)244;

[0,2],值域为[0,2].

又0，04.

３、换元法： 形如yaxbd(a、b、c、d为常数，且a0)的函数；

常用换元法求值域例3. 求函数y2x4x的值域

解：设tx0则x1t2,y2t4t22(t1)44, 值域为,4.

2

2

2

axb1xc114、判别式法：形如y(a1，a2不同时为零)的函数用判别式法求值域； 2

a2xb2xc2

例4 求函数yx

1

的值域； x

2

解：yx1x1x2yx10 要上面的方程有实数根，(y)2411y240

xx

求出y2或y1,所以函数的值域为(,2][2,).

５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

cxd3x4值域。 形如y(a0)的函数用反函数法求值域；例 求函数y=axb5x6

cxd

(a0)的函数也可用此法求值域； axb

3x1

例5求函数y的值域；

x2

６、分离常数法：形如y

2x13x1y解：方法一：（反函数法）求出函数y的反函数为，其定义域为{x/xR且x3}，x3x2

所以原函数的值域为{y/yR且y3} 方法二：（分离常数法）y



3x13(x2)77

3, x2x2x2

3x177

的值域为{y/yR且y3}. 0,33. y

x2x2x2

７、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就

x

是三角函数的单调性。例 求函数y=e1，y2sin1，的值域

1sinex1

８、数形结合法。例6求函数y|x1||x4|的值域 （方法一可用到图象法） 方法二：（单调性）

时,y2x3为增函数x4时,y2x3为减函数y2(4)35;当x1

y2135; 当4x1时，y5;所以此函数的值域为5，



注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。

一．回顾与应用

1．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是 （ ） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2．函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是3．函数f(x)

4x24x8的值域为

4．定义域为R的函数y = f(x)的值域为[a，b]，则f(x+a)的值域为 （ ） A．[2a，a+b] B．[0，b-a] C．[a，b] D．[-a，a+b] 5．若函数f(x)=2log1x的值域是[-1，1]，则函数f –1(x)的值域是（ ）

2

A [

122

,2] B [-1,1] C [,2] D (,][2,)

222

6．函数y=x2x-1的值域是 （ ）

11

A．{y|y≥} B．{y|y≤} C．{y|y≥0} D．{y|y≤0}

22二．题型举例

1．求下列函数的值域：

x2x

（1）y2 （2）yx2x

xx1

2．已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。

3．已知函数ymx26mxm8的定义域为R.

(1) 求实数m的取值范围。 （2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。

三．课后练习 1．函数y

3x3x

(x0)的值域是 的值域是；．函数y

2x52x5

2

2．函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是

3．若函数ylog1(x2kxk)的值域为R，则k的取值范围是（ ）

2

A 0

25

,4]，则m的取值范围是（ ） 4

333

A (0,4] B [,4] C [,3] D (,)

222

4．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为[

x

5．求下列函数的值域：（1） ye1 （2）yx42x

x

e1

6．若函数y

123

xx的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b的值。 22

7．已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a>1)。

（1）求f(x)的值域。 （2）若x[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。

答案参考 1．D 2.(,0] 3. [0，3 ] 4. C 5. A提示：反函数的值域是原函数的定义域；令

12log1x1，求x。 6．A

2

二．1．求下列函数的值域：

1233114

，而 (x) ，所以0

13133244(x)2(x)2

2424

111

11 ； 所以函数的值域是[,1)

1333

(x)2

24111

（2）y(12x)2x[(12x)22x1]1

222

11112

=(2x1)11，所以函数的值域是(,]。

2222

4

2． 解：令 =（k-2）2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-160，得 4k 。

3

解：（1）y1

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19因为 4k

4

，所以 3

121

；-(k+5)2+1919-1=18。 故x12+x22的最大值是18。 9

3． 解：（1） m=0满足条件。当m0时，令 1(k5)2

m0 解得 0

36m4m(m8)0

（2）ym(x26x9)88mm(x3)288m

所以 f(m)=8m(0m1) ； 0f(m)22。故f(m)的值域为[0，22]。

三．课后练习

131

1. {y|yR,y(,](,0] 4．C 解：f(0)= -4，f(3)=25，f(3)=f(0)，

25224所以 m[,3]

3

2

22

,02；所以-1

1yx

法二：y(ex+1)=ex-1， ex(y-1)= -y-1；e，又ex>0；从而解得。

1y

5. 解：（1）y1

（2）y(2x)42x26(2x2)22；函数的值域是(,2]。

法二：y1结论。

'

22x

〉0，所以函数y是(,2]上的增函数，当x=2时，y有最大值2，从而得

1

(x1)21，y在[1，b]上为增函数，f(1)=1，f(b)=b； 212

所以 (b1)1b；解得：b=1(舍去)、b=3。所以 b=3

2

7．解：（1）f(x)= -(ax+1)2+2

6．解：y

（2）f /(x)

77

。所以a=2，f(x)的最大值是 。 1616

必修1复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) ----------答案

【你会做哪些】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 6．B 7. 解析：本题路程S

52t,

与时间t的关系有3种情况，应分3个时间段处理．答案：S260,

26065(t6.5),

0t5,5t6.5,6.5t10.5.

8. 18 4或－6 9. a 10. V＝x(a－2x)2｛x｜0＜x＜a/2｝

【训练反馈】 1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x|-1≤x＜8} 8．（0，5] 9． y=

x,0x1,

2

x2x2,1x2,2

x6x10,2x3,

4x,3x4.

10．提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3

33

≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜．从而所求k的取值范围为{k|0≤k＜}． 12．（1）f(1) =0，f(4)=2；

44（2）增函数；（3）3＜x≤4．

补充专题1----如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。



已知（答：a，a）复合函数定义域的求法：



yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，

可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

例 若函数yf(x)的定义域为1,2，则f(log2x)的定义域为

2

分析：由函数yf(x)的定义域为1,2可知：1x2；所以yf(log2x)中有

2

2

1

log2x2。 2

解：依题意知： 1log2x2 解之，得

2

x4 ∴

f(log2x)的定义域为x|2x4

补充专题二-----映射的扩展

【知识在线】

1．对于映射f：A→B，下列说法正确的是 （ ）

A．A中某一元素的象可以不止一个 B．B中某一元素的原象可以不止一个 C．A中两个不同元素的象必不相同 D．B中两个不同元素的原象可能相同

2．设集合A={a，b，c}，B={m，n，p}，那么从集合A到B可以建立个一一映射．

3．已知A=B=R，x∈A，y∈B，且f：x→y=ax+b，若5和20的原象分别是5和10，则7在f下的象为 ．

4．下列函数中，表示同一函数的是 （ ）

x2-1

A．f(x)=1，g(x)=x°B．f(x)=x+1，g(x)= C．f(x)= x，g(x)=|x| D．f(x)=x，g(xx)2

x-1【讲练平台】例1 在对应法则“f”下，给出下列从集合A到集合B的对应： （1）A=N，B=R，f：x→y=

1；（2）A=N，B=Z，f：x→y=(1)x； x

（3）A={x∣x是平面内的三角形}，B={y∣y是平面内的圆}，f：x→y是x的外接圆． 其中能构成映射的是（ ）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（2）

分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任一元素．．在B中是否都有唯一的象． ．．

解 在（1）中，元素“0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．在（2）中，当x为偶数时，其象为1；当x为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B，即A中任一元素在B中都有唯一的象． 在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射．答案选C．

点评 ①判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义．②在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射．③在映射f：A→B中，A、B的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一．一般地，若A中元素的象的集合为C，则CB．如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个．④映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形．

变题 设集合A={x∣x是平面内的圆}，B={y∣y是平面内的矩形}，f：x→y是x的内接矩形．试问它能否构成映射？ 答案：不能 例2（1999年全国高考） 已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7

分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解．解本题应抓住：①对应法则f是什么？②集合B中的具体元素是什么？而②的解决由①来决定．

解 依题意，由A→B的对应法则为f：a→|a|．于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A． 点评 ①准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键． ②不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用．本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D．

例3 设A={(x，y)∣x∈R，y∈R }．如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y-1，x+2)和原象集合中的元素(x，y)对应，那么象(3，-4)的原象是 （ ） A．（-5，5） B．（4，-6） C．（2，-2） D．（-6，4）

分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)→(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由

x6，即象（-3，4）的原象是（-6，4）y13，选D． 

y4x24

点评 ①已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决．②在映射f：A→B中，A是原象集合，B是象的集合，对应法则是f：原象→象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对，x，y的顺序不能搞错，否则将误选B．

例4 设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的函数是

分析 可根据映

射观点下的函数

定义直接求解．首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2} B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D．

点评 函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合M叫函数的值域，且MB．

【知能集成】1．理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：①任意性；②唯一性．2．判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．3．深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件． 【知识在线】1．B 2．6 3． 11 4． C