第一节 集合的概念和表示
一、引入课题
思考1、新生入学，学校通知全体高一新生在体育馆举行开学典礼，思考通知的对象是什么？是全体高一新生还是个别的学生呢？
思考2、在这个教师里面有老师和学生，思考这里面的对象是什么？
思考3、你的家庭里的成员，这里面的对象是什么？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（例如：例1中是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。
小知识：研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
二、课程讲解
1、集合的概念
在小学和初中阶段我们接触过一些集合，例如，实数集（R ），那么究竟集合是什么样的概念呢？接下来我们开始讲解集合的概念。
思考下面两个例题：
例：自然数的集合 0，1，2，3，„„
例：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
上面的两个例题就是我们所要学习的集合，一般地，研究对象统称为元素（element ），我们通常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，d ，„„表示，这些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大些的拉丁字母A ，B ，C ，D ，„„表示。
注：集合判定要注意判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。 例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？在题目后面注明‘是’或者‘否’。
（1）小于10的质数
（2）中国的小河流
（3）‘maths ’中的字母
（4）所有的偶数
（5）满足3x-2>x+3的全体实数
2（6）方程x +x +1=0的实数解
2、元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a∈A ，
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a∉A
例2、在下面的括号内填入‘∈’和‘∉’
（1） 集合A={1, 2,3, 4, 5}，那么2（ ）A 。
（2） 集合B=所有小于10的偶数，那么5( )B。
（3） {}集合C={世界四大洋}，那么印度洋（ ）C 。
3、集合中元素的三个特性
1. 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，
2. 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合，
3. 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合
4、数的集简称数集，下面介绍一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
有理数集Q
正整数集 N*或 N+
实数集R
整数集Z
5、集合的分类
分类原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N ，有理数
③空 集 不含任何元素，如方程x +1=0实数解集。专用标记：Φ 2 {1, 2,3, 4, 5}和集合{5,4,3,2,1}是相同的集合。
6、集合常用的表示方法
①列举法——把集合的元素一一列举出来写在大括号内的方法，例如方程(x +1)(x -1) =0的解集可以表示为{-1, 1}。
例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京, 天津, 上海, 重庆}
由“maths 中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}
由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}
注：
（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，„，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，„}
（2） a与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
比如：∅与 {∅}不同，∅∈{∅}
（3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
2、描述法--用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x ）}
含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。
例:不等式x +1
“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}；
“maths 中的字母” 构成的集合，写成{x x 为maths 中的字母}；
“平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y ）| x0}
“方程x +5x-6=0的实数解” {x∈R| x+5x-6=0}={-6，1}
注：（1）写清楚该集合代表的元素符号，如，集合{x |x
（2）集合与它的代表元素所采用的字母符号没有关系，只能与代表元素的形式有关，如{x ∈R /x
（3）所描述的所有内容都要写在大括号内，如集合{x ∈Z /x =2k . k ∈Z }不能写成{x ∈Z /x =2k }. k ∈Z 。
（4）集合{x ∈R /x
{x /x
三、课堂练习
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1（2（3）中国的著名科学家．
（4）1，2，3，4，5，6
2、用‘∈’和‘∉’填空
（1）0 N；（2
；（3）-1.5 R
a
a +b
b 3．设a,b 是非零实数，那么
4．由实数x, －x, ｜x ｜, x 2, -x 3所组成的集合，最多含（ （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素
5．下列结论不正确的是( )
A.O ∈N B. 2∉Q C.O∉Q D.-1∈Z
26．下列结论中，不正确的是( ) A. 若a ∈N ，则-a ∉N B.若a ∈Z ，则a ∈Z
C. 若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q D.若a ∈R ，则a ∈R
7. 用列举法表示下列给定的集合：
⑴大于1且小于6的整数 ⑵A={x (x -1)(x +2) =0} ⑶B= {x ∈Z -3
8．试选择适当的方法表示下列集合：
⑴．不等式3x ≥4-2x 的解集 ⑵．绝对值不大于3的整数的集合
⑶．所有偶数的集合 ⑷．一次函数y=x+6图象上所有点的集合
四、作业
1. 集合元素的三个性质：＿＿_______、＿＿_______、＿＿______.
2. 用符号“∈”或“∉”填空
-3＿N ；π＿Q ；14＿Q ；13＿Z ；-1
2＿R ；0＿N
Q ；π＿R.
3. 下列条件中能构成集合的是 .
A. 世界著名的数学家; B. 在数轴上与原点非常近的点;
C. 所有的等腰三角形; D. 全年级成绩优异的同学;
E．2009年全国经济百强县;
4. 给出下列关系： ①12∈
R Q ；③-3∉
N *；④N . 其中正确的个数为 ( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 下列正确的是 ( )
A. 0∈N * B. π∉R C. 1∉Q D. 0∈Z
6. 集合A 只含有元素a , 则下列格式正确的是 ( )
A. 0∈A B. a ∉A C. a ∈A D. a =A
7. 下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( )
A. {x | x =1} B. {x | x 2=1} C. {1} D. {x| (x-1) 2=0}
8．用合适的方法表示下列集合：
(1) A={(x , y )x +y =6, x ∈N *, y ∈N *}, 用列举法表示(2) m =a
a +b
b (ab ≠0) ，则由数m 组成的集合为.
(3) 二次函数y =2x 2+x -3图像上所有点组成的集合：______________.
(4) 坐标平面内, 两坐标轴上的点的集合:_______________________
9. 集合⎨⎧6
⎩x ∈Z y =x +1, y ∈Z ⎫⎬中的元素有 .
⎭
10．求数集{1，x ，x 2}中的元素x 应满足的条件
11. 已知集合M={0, 2, 4}, 定义集合P={x | x =ab , a ∈M, b ∈M}, 求集合P.