囵盈型兰塑塑型型
浅析数列递推关系的几种求法
于
烨
７２３０００）
（陕西理工学院数学系，陕西汉中
摘要：数列是高中数学中一个重要的内容，也是高考
的热点和难点之一。涉及数列方面的题在每年的高考中都会
出现．而且占的分数比较多、作者对２０１０年全国统一招生考试
陕西卷分析得出：与数列有关的题接近占全卷分数的１５％，可见数列在整个试卷中占的比重之巨大。在高中新教材中编者并未明确提出数列的递推关系．但在考试中往往都包含了数列递推的思想。据此．作者就求数列递推关系的几种常用方法进行浅析，希望能对同学们有所帮助。
关键词：数列
递推关系
求法
一、赋值法剖析递推关系
１．在数列（ａ。ｌ中，ａｔ＝ｌ，ａ。＋ａ。＝ａ…（ｎ，ｍ∈Ｎ＋），求ａ。．
分析：在已知条件中给出Ｙａ．＝１，且在等式中，由于ｎ、ｍ的任意性，因此我们可以考虑用赋值的方法求ａ。．
不妨设：
ｎ＝ｍ＝ｌ＝争ａ，＝ａＩ＋ａ，＝２ｎ＝２，ｍ＝ｌ＝争ａｆａｌ＋ａ２＝３ｎ＝３，ｍ＝ｌ＝争ａ４＝ａＩ＋ａ产４
由以上关系，我们可以归纳猜想出：ａ。－－ｎ（ｎ∈Ｎ＋）．用数学归纳法证明：
①当ｎ＝１时，ａｔ＝１显然成立；
②假设ｎ＝ｋｌｊ寸，ａｋ＝ｋ成立，那么当ｎ＝ｋ＋ｌ时，ａｋ＋ｌ＝ａｋ＋ａｌ＝ｋ＋
ｌ也成立．则猜想正确．
二、迭代法求递推关系
２．在数列｛ａｎ｝ａｎ中＾。一。＋了—之＿，求ａ。．
分析：ａ。。～，Ｆ而１一＼［丽１一｛１，令ｒｃｎ，一（击一｛），则
ａｎ＋Ｉ－－ａ。＝ｆ（ｎ）是以ｎ为自变量的函数，所以我们可以联想采用迭
代的思想求递推关系．
解
志
ｍ
，
百可面西’…漕ｓ—ａ２２丽’８ｚ咱・２丽‘
赤。
将上述所有等式左边相加，右边相加得：
８ｎ＋－～８ｎ＋８ｎ一８ｎ一－＋８ｎ一・一８ｎ—ｚ＋’‘＋＋８，一８ｚ＋８。一８ｔ２１ｉ：而＋—ｎ（ｎ—－１）
１
１
ｌ
１
１（ｎ一１）（ｎ－２）
３ｘ２２ｘ１
，１
１
１
１１
１
１１１．＼
・。～一ｔ—ｌ鬲一ｎ＋ｉ—百＋百一面＋‘‘’＋了一ｒｉ＿１产１一上ｎ＋１
又‘．’ａ．＝１
．・～。＝２一击（ｎ∈Ｎ÷Ⅲｐａ。＝２－｛（ｎ
ｏ
Ｎ＋）．
６８
万方数据
三、累乘法求递推关系
３．在数列｛ａ。Ｊ中，ａ，：１，ａ。：ｎ＋ｌａ。（ｎＥＮ＋），求ａ。
ｎ
分析：．．＿氐＝ｉｎ＋１１１
ａ。，．．．一ａ．＋ｌａ＝者龠（ｎ）＝者ｎ
ｎ十Ｊ
十ｌ
则塑：ｆ（。）是以ｎ为自变量的函数，由此我们可以联想用
ａ“
累乘法求递推关系．
解：一ａａ＋Ｉ：一ｎ，则蔓：堕．塑：里，…，！：三，兰：土
ｎ＋ｌ。
ｎ
ｎ一１
ａ。
ａ。，Ｉ
ａｎ．２
ａ２
３
ａｌ
２
将上述所有等式左边相乘，右边相乘得：
ａ×塑×．．．×一ａ３×兰：盟×—ｎ－—２”．×一２×！
ａ。一Ｉ
ａ。。２
ａ２
ａＩ
ｎ
ｎ一１３２
．．．！×塑ר．×兰×皇：堕×—ｎ－—２”．×三×一１
ａ。一Ｉ
ａ。一２
ａ２
ａ
ｎ
ｎ—ｌ３２
．・．墨：一１．又・．＿ａ：１
１
．‘．ａｎ＝二（ｎ∈Ｎ．）
四、利用转化、归纳的思想方法将一些递推关系复杂的数
列。通过构造、变换为我们比较熟悉的类型
（一）转化为迭加型求解．
４．已知数列｛ａ。｝的前６项为１、３、６、１０、１５、２１，求ａｎ．
分析：通过观察，前一项减后一项：ａ２一ａｌ＝２，ａ３－ａ＿２＝３，ａ４－ａ产
４，ａｓ－ａ４＝５，ａ６－ａ５＝６．．・
我们可以发现，相减的差都等于前项下标的值．
．・．我们可以归纳出：ａｎ—ａ。＝ｎ，之后用迭加法即可求出ａ。＝
堕竺旦（ｎ∈Ｎ）．
２
（二）转化为累乘型求解．
５．在数列｛ａ。Ｊ中，ａｌ＝２，ｎａｎ＋Ｉ＝（ｎ＋１）ａ。＋２，（ｎ∈Ｎ＋），求ａ。．分析：通过观察．等式两边可同时加上２ｎ，则等式左边变
为衄。＋２ｎ＿（ｎ＋１）ａ。＋２＋２ｎ，．’．ｎ（ａ。＋２）＝（ｎ＋１）（ａ。＋２），等＝
一ｎ＋ｌ，之后用累乘法可求出：ａ＝４ｎ一２（ｎ∈Ｎ．）．
（三）类似于一次函数ａ。－ｍａ。＋ｃ的数列往往可变形为ａ。＋
ｐ＝ｍ（ａ。＋ｐ）的形式，只需要令ａ。十ｐ＝Ａ。∥ａ。＋ｐ＝Ａ。得二！｝＝ｍ
几ｎ
（ｍ≠Ｏ）即可转化为我们熟悉的等比数列．然后用累乘的方法，
即可求出ａｎ．
６．若数列｛ａ。）满足ａ．＝３，ａ…＝÷ａ。＋ｌ，求ａｎ．
分析：将ａ。：ｉ１
ａｎ＋】变形为ａ。＋ｔ＿妻（ａ＋ｔ）
如何培养高职学生学习数学的兴趣
金玉强
（江苏联合职业技术学院徐州机电工程分院．江苏徐州２２１０１１）
摘要：兴趣是学习活动中重要的动力．是学习获得良好效果的重要条件。本文通过以下几个方面说明了如何培养学生学习数学的兴趣：巧设疑问，培养兴趣：运用多媒体网络技术，培养兴趣；语言生动幽默，培养兴趣；利用口诀，培养兴趣；利用数学典故，培养兴趣；从“需要”中，培养兴趣；利用成功的喜悦。培养兴趣；建立良好的师生关系。培养兴趣。
关键词：高职生数学教学
活力。实践证明，以多媒体计算机为核心的辅助教学有利于激发学生的学习兴趣。计算机极强的交互性，使学生有了参与的
机会，使学生的想象力得到了充分的发挥，也极大地调动了学
生的积极性、学习兴趣。
３．语言生动幽默．培养兴趣
数学具有高度的“抽象性”。教师的语言艺术修养，直接影响教学的趣昧性。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化，深刻的道理通俗化，难懂的理论形象化，易于诱发学习兴趣。特别是在高职数学教学中。应尽量用学生较为熟
学习兴趣
现在的高职学生提到数学就头疼．究其原因．首先教材内容“繁、难、偏、旧”，与学生生活和经验，以及现代社会的联系
悉、容易理解，而且具有诱惑力的语言。这对引发学生学习兴
趣和积极思维有良好的作用。
例如。在解析几何中讲授参数法求轨迹方程过程中，介绍参数主要起一个桥梁作用，它可以建立起ｘ与ｖ之间的间接关系．但最终我们要求的是Ｘ与Ｙ之间的直接关系。所以我们就要
不够。其次是教师照本宣科的讲授。高职学生学数学的目的
就是为了解决现实生活中的问题，学以致用。教师应让学生
真正感受到数学就是身边的数学，使学生对数学产生兴趣。兴趣是最好的老师，是认识和从事活动的巨大动力。因此，教师一定要千方百计地从教学的方方面面，激发和培养学生的
学习兴趣。如何培养高职学生学习数学的兴趣呢？下面我谈谈
“过河拆桥”，消掉参数，进而建立起ｘ与ｙ的普通方程。我们通过
这种生动、幽默的表述，使学生很快掌握了参数法求轨迹的本质，极大调动了自主学习的积极性，引发了学生的学习兴趣。
几点体会。
１．巧设疑问．培养兴趣
４．利用口诀．培养兴趣
苏霍姆林斯基说：“如果想使你的知识不变成僵死的静止
在数学教学中，教师要善于利用问题创设疑问来鼓励和激发学生独立思考、积极探索，点燃其智慧的火花。同时青少
年对事物充满着兴趣和好奇心，这也是开创思维的开端。在
的学问．就要把语言变成一个最重要的工具。”为了帮助学生
理解、消化、加深记忆、巩固所学知识，教师可以编制一些口诀。这样往往能提高学生的学习兴趣，收到良好的教学效果。
例如．复合函数的教学，分解复合函数Ｅｌ诀：
分解复合如脱衣．由外到里去分离．遇到函数设进去．如此去做很顺利。
课堂教学中，教师还应不断提出新问题．使学生始终处于探
索之中。激发学生的思维与灵感，增加他们的求知欲望，促使
他们寻找解决问题的办法。亚里士多德说：“思维自疑问和惊奇开始。”疑问是思维的开端，是创造的基础，是产生求知欲望
和兴趣的源泉。
例如在讲概率时．我提出问题：美、韩航母编队联合军演，
区域选定黄海，他触及中国的核心利益，直接威胁国家的安
例如．复合函数的求导法则教学，复合函数的求导法则１：３诀：
分解复合如脱衣．由外到里去分离。各个导数作乘积．
换回变量自然喜。
再有三角函数中的诱导公式共有九组，对这些公式，我们
全。若中国人民解放军导弹部队（二炮）奉命将其击沉，导弹的命中率３０％．需要同时发射多少枚导弹？学生对这个问题产生了极大的兴趣，产生了强烈的求知欲望。
２．运用多媒体网络技术。培养兴趣
多媒体计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的到来给教育带来深刻的变化。以多媒体计算机为核心的辅助教学
的研究正在日益兴起。计算机的运用给数学教学增添了新的
可以用一句话加以概括，即：“奇变偶不变，符号看象限。”经过
分析．学生自己体会到了这句话的奥妙，感到记这些公式原来
．．～ｎ＋ｌ：＿１ａ。＋＿１・。～“２ｉ８ｎ＋了
妻：，．．２ｉ‘２，‘一’
，
＿‘。１：ｖ一２ｊｌｙ＝２或｛ｙ：ｌ
当ｘ：一ｌ，ｙ：２时，ａ
贝Ｉ］ａ．ｔ－２＝｛－（ａ。＿２），百ａｎ＋Ｉ－２＝｛≠ｏ
又‘．‘ａ，＝３，即数列｛ａｎ－－２ｌ是以ｌ为首项，—２Ｌ为公比的等比数
列．然后用等比数列的性质可求出ａｎ＝＿１ｉ＋２（ｎＥＮ＋）．
（四）形如ａｌ＝ｍ，ａ２＝ｎ，ａｎ＋２－－ｐａｌ＋ｑａ。可变形为ａ叶２＋ｘａＤ＋ｌ＝ｙ（ａ。ｌ＋
ｎ＋ｌ—ａ。：２（ａ。一ａ。一１），—ａｎ＋ｌ—－ａｎ：２，可用累乘法
ａｎ—ａ。一１
得出ａ。～。一。＝２ｎ－２，然后用迭代法可求出ａ＝２”１（ｎ∈Ｎ＋）．
当Ｘ－－＝一２，ｖ＝１时，不成立．
对于此题用这种方法求解可能显得有点麻烦，但可以培养学生在探索中体验一题多解的思维方式，进一步使同学们在研究中学习，在学习过程中培养观察问题、分析问题、解决问题的能力和后继学习的能力．
ｘａｎ）（ｙ≠ｏ）’其中接署，舭可解出ｘ、ｙ，则¨ｘａｎ｝是以ａ２＋ｘａ・
为首项，ｙ为公比的等比数列，即可用等比数列的性质求Ｘ，ａ。．
参考文献：
［１］新教材完全解读．陕西科学技术出版社．
［２１２０１０年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学能力测试．
７．数列｛ａｎｌ满足ａ。＝１，ａ２＝２，ａｎ＋ｌ＝３ａ。－２ａ。－Ｉ’求ａ。．
解：通过构造，可得ａ。＋ｘａ。＝ｙ（ａ。＋ｘａ．，）
万方数据
浅析数列递推关系的几种求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
于烨
陕西理工学院,数学系,陕西,汉中,723000考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2011(34)
参考文献(2条)1. 新教材完全解读
2. 2010年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学能力测试
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