函数周期性
一、例题讲解
１、常见结论 (约定a>0)
（１）、 f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a；
f (x +a ) =－f (x ) ；（２）、f (x +a ) =f (x －a ) ；f (x +a ) =1(f (x ) ≠0) f (x )
f (x +a ) =-1(f (x ) ≠0) , 则f (x ) 的周期T=2a； f (x )
（３）若f(a + x)=f(a－x) 且f(x) 是偶函数, 则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；
（４）若f(a + x)=f(a－x) 且f(x) 是奇函数, 则y=f(x)是周期为4a 的周期函数。
（５）若f(a + x)=－f(a－x) 且f(x) 是偶函数, 则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；
（６）若f(a + x)=－f(a－x) 且f(x) 是奇函数, 则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
２、设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，f (x +4) =－f (x )
f (2005)=______________
f (x ) 是定义在且f (3)=5，则f (－21) =______________，３、设R 上的偶函数，且满足f (x +2) =1
f (x ) ，当0≤x ≤1，f (x ) =2x ，则
f (7. 5=) ______________
４、设
f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x -2) =f (x +2) ， f (1)=2，则f (2)+f (7)=______________
二、习题训练
1、已知函数
2、知
3、在A ．0 y =f (x ) 是一个以4为最小正周期的奇函数，则f (2) =（ ） B ．－4 C ．4 D ．不能确定 f (x ) 是定义在R 上的函数，f (10+x ) =f (10-x ) 且f (20-x ) =-f (20+x ) ，则f (x ) 是（ ） A. 周期为20的奇函数 B.周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D.周期为40的偶函数 R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) =f (2-x ) ，若f (x ) 在区间[1, 2]上是减函数，则f (x )
A. 在区间[-2,
B. 在区间[-2,
C. 在区间[-2,
D. 在区间[-2,
-1]上是增函数，在区间[3, 4]上是增函数 -1]上是增函数，在区间[3, 4]上是减函数 -1]上是减函数，在区间[3, 4]上是增函数 -1]上是减函数，在区间[3, 4]上是减函数
4、已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2)
A. =-f (x ) ，则f (6) 的值为（ ） -1 B. 0 C. 1 D. 2
x 满足条件f (x +2) =1
f (x ) ，若f (1) 5、函数f (x ) 对于任意实数=-5，则f (f (5) ) 等于（ ）
A.
6、
5 B. -5 C. 11 D. - 55
7、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=-f（x ），则f （-6）的值为__________
8、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=-f（x ），则f （2008）的值是___________
9、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （x+1）=-f（x ），则f （2011）____________
10、定义在R 上的奇函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f （x+6）=f（x ），且f （4）=-2008，则f （f （2008））=___________
11、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意x∈R有f （x ）=f（2-x ）成立，则f （2010）的值为____________
参考答案：
题1、解析：f (2) =f (2-4) =f (-2), 又 f (-2) =-f (2), ∴f (2) =0，选A
题2、解析：选
C
题3、解析：函数图像关于x
正周期为2，结合=1对称，又因为f (x ) 是偶函数，图像关于y 轴对称，可得到f (x ) 为周期函数且最小f (x ) 在区间[1, 2]上是减函数，可得如下草图：选
B
题4、解析：f (x +4) =-f (x +2) =-[-f (x )]=f (x ), ∴T =4，f (2) =-f (0) =0, ∴f (6) =f (2+4) = f (2) =0, 选B
题5、解析：f (x +4) =1=f (x +2) 1=f (x ), ∴T =4，f (5) =f (1+4) =f (1) =-5, f (x )
1
5，选D f (-5) =f (-5+4) =f (-1) ，令x =-1, ∴f (1) f (-1) =1, ∴f (-1) =-
题6、解析：
题7、解析：
题8、解析：
题9、解析：f (x ) =f (x +5), ∴T =5, f (2008) =f (3) ，f (3) =f (3-5) =f (-2) =-f (2) =-1 f (x +4) =-f (x +2) =-[-f (x )]=f (x ) ，∴T =4, f (-6) =f (-2) =-f (2) =f (0) =0 f (x +4) =-f (x +2) =-[-f (x )]=f (x ) ，∴T =4, ∴f (2008) =f (0) =0 f (x +2) =-f (x +1) =-[-f (x )]=f (x ), ∴T =2, f (2011) =f (1) ，令x =0,
∴f (1) =-f (0) ，∴f (2011) =0。
题10、解析：T
题11、解析：
=6, f (2008) =f (4) =-2008, ∴f (-2008) =-f (2008) =-f (4) =2008 f (x ) =-f (-x ), ∴f (x +2) =-f (x ), ∴T =4, f (2010) =f (2) =f (0) =0