第一章 三角函数（初等函数二）
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
{}
第二象限角的集合为{αk ⋅360+90
第三象限角的集合为{αk ⋅360+180
终边在y 轴上的角的集合为{α=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{α=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
第一象限角的集合为αk ⋅360
4、已知α是第几象限角，确定
α
(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等n
*
份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来
α
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
l
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=．
r
⎛180⎫
7、弧度制与角度制的换算公式：2π=360，1=，1= ≈57.3 ． ⎪180⎝π⎭
π
8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
11
则l =r α，C =2r +l ，S =lr =r 2．
22
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(x , y )，它与原点
的距离是r r =>0，则sin α=
()
y x y
，cos α=，tan α=(x ≠0)． r r x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin α=MP，cos α=OM，tan α=AT． 12、同角三角函数的基本关系：(1)sin α+cos α=1
2
2
(sin
2
α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)；(2)
sin α
=tan α cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎭⎝
13、三角函数的诱导公式：
(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α(k ∈Z)． (2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α． (4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
(5)sin ⎛
⎫⎛π⎫
-α⎪=cos α，cos -α⎪=sin α． ⎝2⎭⎝2⎭⎫⎛π⎫
+α⎪=cos α，cos +α⎪=-sin α． ⎝2⎭⎝2⎭
π
(6)sin ⎛
π
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数
y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数
y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移
1
ω
倍（纵坐标不变），
ϕ
个单ω
位长度，得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所
有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数
y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=相：ϕ．
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得
11T
(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1
222
2π
ω
；③频率：f =
1ω
=；④相位：ωx +ϕ；⑤初T2π
最大值为y max ，则A=
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β； ⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β； ⑶sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β； ⑷sin (α+β)
=sin αcos β+cos αsin β； ⑸tan (α-β)=
tan α-tan β
（tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β)）；
1+tan αtan β
tan α+tan β
（tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)）．
1-tan αtan β
⑹tan (α+β)=
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2α=2sin αcos α． ⑵
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
1-cos 2α
）． 2
（cos 2α=
cos 2α+1
2
，
sin 2α=
⑶tan 2α=
2tan α
． 2
1-tan α
B． A
26、Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=
高中数学必修4测试题2
一、选择题（每题4分，共40分）：
1、已知平面向量a =，b =， 则向量a +b （x ,1）（－x , x 2）
A. 平行于x 轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于y 轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线
2、已知向量a =(1,2) ，b =(2,-3) . 若向量c 满足(c +a ) //b ，c ⊥(a +b ) ，则c =777777
, -) C. (, ) D. (-, -) 393993
3、已知向量a =(1,0), b =(0,1),c =ka +b (k ∈R ), d =a -b ，如果c //d ，那么 A. k =1且c 与d 同向 B. k =1且c 与d 反向 C. k =-1且c 与d 同向 D. k =-1且c 与d 反向
A. (, )
B. (-
*4、已知O ，N ，P 在
∆ABC 所在平面内，且OA =OB =OC , NA +NB +NC =0，且PA ∙PB =PB ∙PC =PC ∙PA ，则点O ，N ，P 依次是∆ABC 的 A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
2
5、函数y =2cos (x -
7793
π
4
) -1是
B. 最小正周期为π的偶函数
A. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为
ππ
的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
22
12
6、已知△ABC 中，cot A =-，则cos A =
5
125512A. B. C. - D.- 13131313
ππ
7、若将函数y =tan(ωx +)(ω>0) 的图像向右平移个单位长度后，与函数
46
π
y =tan(ωx +) 的图像重合，则ω的最小值为
6
1111
A. B. C. D.
2643
8、设函数值范围是
A.
B.
C.
D.
，其中
，则导数
的取
9、若函数f (x ) =(1x )cos x ，0≤x
B. 2
C.
π
2
，则f (x ) 的最大值为
1
D.
2
10、已知函数f (x ) =sin(x -
π
2
)(x ∈R ) ，下面结论错误的是 ．．
A. 函数f (x ) 的最小正周期为2π
π
］上是增函数 2
C. 函数f (x ) 的图象关于直线x ＝0对称
B. 函数f (x ) 在区间［0，D. 函数f (x ) 是奇函数
二、填空题（每题4分，共16分）
11、已知向量a =(3,1)，b =(1,3) ，c =(k ,2) ，若(a -c ) ⊥b 则k =.
12、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD =xAB +yAC ，则 x =，y
=.
13、若
π
4
π
2
，则函数y =tan 2x tan 3x 的最大值为。
14、当0≤x ≤1时，不等式sin
πx
2
≥kx 成立，则实数k 的取值范围是_______________.
三、解答题（第15、16题各10分，第17、18题各12分，共44分） 15、已知向量a =(sinθ, -2) 与b =(1, cos θ) 互相垂直，其中θ∈(0, （1）求sin θ和cos θ的值
（2）若5cos(θ-ϕ) =5cos ϕ，0
16、已知函数f (x ) =2sin(π-x )cos x .
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期；
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-
π
2
) 。
π
，求cos ϕ的值 2
⎡ππ⎤
, ⎥上的最大值和最小值 ⎣62⎦
17、设向量a =(4cosα,sin α), b =(sinβ,4cos β), c =(cosβ, -4sin β)
（1）若a 与b -2c 垂直，求tan(α+β) 的值；
（2）求|b +c |的最大值；
（3）若tan αtan β=16，求证：a ∥b .