§1.3 正弦型函数
在工程技术中，常借助正弦型函数来解决实际问题． 一般地，形如
y =A sin (ωx +ϕ)，(x ∈R )
的函数(其中A >0，ω>0，ϕ都是常数) ，叫做正弦型函数，其图象叫做正弦型曲线. 其中A 叫做振幅，ω叫做角速度. T=
2π
ω
是函数的周期. 显然，y =A sin(ωx +ϕ) 的最大值是A ，最
小值是-A . ，其图象与正弦曲线很相似.
当A =1，ω=1，ϕ=0时，正弦型函数y =A sin (ωx +ϕ)就是正弦函数y =sin x ．
探究 根据所给的图象回答下列问题：
(1)指出图1-2中正弦函数的最大值、最小值、周期及其函数表达式．
(2)将图1-3、1-4、1-5中的图象分别与图1-2作比较，指出它们最大值、最小值、周期的异同．
x
图1-2
图1-4
x
图1-5
例1 已知正弦型函数
y =2sin 5x
+期、最大值和最小值．
⎛⎝
π⎫
⎪，求该正弦型函数的振幅、角频率、初相位、周3⎭
解 振幅A =2，角频率ω=5，初相位ϕ=为-2．
π
3
，周期T =
2π
ω
=
2π
，最大值为2，最小值5
问题解决 当x 取何值时，正弦型函数y =2sin 5x +
⎛⎝
π⎫
⎪的值为最大值、最小值？ 3⎭
数学应用 工业与民用电常用的是正弦交流电，其电压u (单位:V ) 与时间t (单位:s ) 之间
的函数关系为u =πt . 试求交流电的周期、频率、电压的最大值、有效值.
练习
1．举出生活中随时间作周期性变化的例子．
2．求下列函数的振幅、周期、角频率、初相位、最大值、最小值． (1)y =3sin 4x +
⎛⎝
π⎫
6⎭
⎪；(2)y =
1⎛1π⎫sin x -⎪． 2⎝35⎭
1
x 取得最大值、最小值？ 3
3．当x 取何值时，正弦型函数y =5sin
与正弦函数类似，我们也可以应用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图． (1)正弦型函数y =A sin x (A >0) 的图象
例2 用五点法作正弦型函数y =3sin x 在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y =3sin x 的周期T =2π。 （1）列表：
（2）描点、连线（如图1-6）。
从图1-6中看出，对应于每一个x 的值，
y 象上点的纵坐标的3倍. 因此，y =3sin x 线部分) 上所有点的纵坐标伸长3倍而得到.
一般地，函数y =A sin x (A >0) 的图象可以看做把y =sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当A ＜1时）到原来的A 倍而得到. 函数y =A sin x (A >0) 的值
域是[-A , A ].
用正弦型函数y =A sin x (A >0) 表示交流电的电流时，A 就表示这个交流电电流的最大值.
（2）正弦型函数y =sin ωx (ω>0的图象
例3 用五点法作正弦型函数y =sin 2x 在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y =sin 2x 的周期T =π。 （1）列表：
（2）描点、连线（如图1-7）。
11
沿x 轴的方向向原点压缩到原来的而得到，其实质是周期减少到原来的.
22
从图1-7中看出， y =sin 2x 的图像可以看做把y =sin x 的图象(图1-7中虚线部分)
1
1
保持不变，把横坐标沿x 轴的方向向原点压缩到原来的而得到，周期也变为原来的，2πωω
一般地，函数y =sin ωx (ω>0) 的图象可以看做是y =sin x 图象上所有点的纵坐标即
ω
.
问题解决 你能由正弦函数y =sin x 的图象，通过振幅变换、周期变换的方法作出正弦型函数y =2sin3x 的图象吗？
练习
用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)y =
3πx sin x ；(2)y =sin . 23
（3）正弦型函数y =sin (x +ϕ)的图象
例4 用“五点法”作正弦型函数y =sin (x +ϕ)在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y =sin(x +（
π
3
) 的周期T =2π。
（2）描点、连线（如图1-8）。
π. 3
一般地，函数y =sin (x +ϕ)的图象，可以把y =sin x 图象上所有的点向左(ϕ>0) 或向右(ϕ
问题解决
用函数y =sin x 图象的振幅变换、周期变换和原点平移的方法作正弦型函数
y =2sin(3x -) 的图象.
5
π
练习
1．用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)y =sin(x +
π
) ；(2)y =3sin(2x -) . 33
π
2．如图所示为某正弦型函数的图象，写出其函数表达式.
（第2题）
例5 正弦交流
电e =in 314t +210
()
V
，u =314t V ，
i =-4s in (314t +120)A ，试求：(1)e 与u 的相位关系；(2)u 与i 的相位关系；(3)e 与i
的相位关系.
解 (1)e =2sin(314t +210︒) =2sin(314t -150︒) V ，
相位差∆ϕeu =ϕe -ϕu =-150-0=-150， 故e 滞后u 150°．
t -60︒) A (2)i =4sin(314
相位差∆ϕui =ϕu -ϕi =0--60 故u 超前i 60°．
(3)相位差∆ϕei =ϕe -ϕi =-150--60 故e 滞后i 90°.
例6 如图1-9所
()=60
)=-90
(
示，
试写出正弦交流
电的电动势e 随时间t 变化的表达式，并求出t =0时的初始值e 0.
图1-9
解 电动势e 随时间t 的变化满足正弦型函数关系，故电动势的表达式为 e =E m sin (ωt +ϕ)。
由图象知，电动势的最大值E m =100V ，
周期T =4⨯(3-1)=8μs ， 角频率ω=
2π2π==2. 5⨯105π rad/s T 8μ3
在最小值处ωt +ϕ=π，故
2
333ϕ=π-ωt =π-2. 5⨯105π⨯3=π
224
因此，
3
e =E m sin(ωt +ϕ) =100sin(2. 5⨯105πt +π) V
4
3
当t =
0时，e 0=100sin π==70. 7V
4
数学应用 某港口水的深度设为y (m )，y 是时间t 的函数（0≤t ≤24，单位：h ），记作
y ，下面是某日水深的数据：
经过长期观察, y =f (t )的曲线可近似地看成函数y =A sin ωt +B 的图象. 试根据以上数据，求出函数y =A sin ωt +B 的最小正周期，振幅和表达式.
练习
1. 将一个悬挂在弹簧上的小球从静止位置向下拉0.2m 的距离，此小球在t = 0 时被放开并允许振动．如果此小球在１s 后又回到这一位置．
(1)求出描述此小球运动的一个函数关系式； (2)求当t ＝6.5s 时小球所在的位置．
2. 已知正弦型交流电i 1=6sin(314t -120o ) A，i 2=8sin(314t +120o ) A，试求： (1)i 1与i 2的最大值、有效值、角频率、频率、周期和初相． (2)t =0时的电流值i 0． (3)i 1与i 2的相位关系．
3. 交流电的电压u (单位:V ) 随时间t (单位:s ) 按正弦型曲线变化规律如图所示. 求交流电的电压的最大值、周期和初相位的值.
（第3题） 习题
1. 举出一个量随时间作周期性变化的实例.
2. 已知正弦交流电电压u =t +V ，求电压的峰值、角频率、频率、周
π
4
期及初相位.
3. 作下列正弦型函数在一个周期内的简图：
(1)y =
1π1πsin(3x +) ；(2)y =3sin(x -) . 2623
4. 根据所给的图象，比较正弦交流电的电流与电压的相位关系和振幅的大小.
（第4题）
5. 大座钟的钟摆每２s 完成一次完整的摆动，钟摆与它的静止位置所成的最大角为10，若钟摆与它的静止位置所成的角θ按简谐振动的方式改变，则角θ（单位：度）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式（当钟摆处于竖直位置时，开始计时）.
6. 已知正弦交流电的电流强度i （单位:A ）随时间t （单位:
s ）的变化规律如图所示，试写出i 与t 的函数关系式.
（
第6题)
7．如图所示，试写出正弦交流电的电流i 随
时间t 变化的表达式，并求出t 0时的初始值i 0.
（第7题）