几何图形的不变性（1）
一．知识要点：
关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，
这样的题目又可分为两大类：
第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。 这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向： 一是由特殊向一般扩充；二是向相对更为特殊的方向深入。 一、探究图形变化引出的不变性或变化规律； 从图形变化过程来看，又分为三条途径：
Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；
Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；
Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。 从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律 我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：
Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；
Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。 （1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解法
二．例题解析：
1．如图（1），在中，交BA 的延长线于点G 。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1） （2） （3） （1）在图（1
）中请你通过观察、测量
与
的长度，猜想并写出
与
满足
的数量关系，
然后证明你的猜想。
（2）当三角尺沿AC 方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角 边交与
的长度，
与
之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。
边于点D 。过点D
作
于点E 。此时请你通过观察、
测量
猜想并写出
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F 在线段AC 上，且点
F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。
【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：
它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和
都等于这个三角形一腰上的高”。至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
2
．用两个全等的正方形
和
拼成一个矩形
，把一个足够大
的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转。
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形（如图（1），
通过观察或测量
与
的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时， （如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
（1） （2）
【观察与思考】可以有两种化归的思考方法： 方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形，使基本背景成为一个大正方形，如图（1`）和图（2`）。
这时点D 就是大正方形的中心。根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”，立刻知道进而有
绕点D 逆时针旋转90°便与
。
是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形
重合，由
，可知在此过程中
重合，当然全等，即均有
，
方法Ⅱ、原图的背景
绕点D 逆时针旋转90°，则它与正方形与
重合（具体论述略）。
（1`） （2`）
3
．
已
知
，
四
边
形，
当 当论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段猜想，不需证明。
绕B 点旋转，它的两边分别交绕B 点旋转到绕B
点旋转到
（或它们的延长线）于E ，F 。
。 中
本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。
，
时，（如图（1），易证：
时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结
又有怎样的数量关系？请写出你的
（1） （2） （3） 【观察与思考】由背景
的重合性，依此构造全等三角形。 解：在图（1）和图（2）中均有 如图（1`）和图（2`）
，作 （这时即有
，理由如下； ，交DC 延长线于点G
中，）
，可知
和
具有绕点B 旋转120°
绕点B 顺时针旋转120°重合于
（1`） （2`）
（3`） 在
和
中，
。
在
和
中，，
。理由是：
交AD 于点G ，与情况（1`）、（2`）类似地可证明
，得
又可有
， 。
。
公用。
对于（3）的情况，有结论： 如图（3`）
，作
可知
由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3）， 体现的却是“变换过程中的变化规律”。
由以上三个例子可以看出：
许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法
4．如图，已知矩形
，
在BC 上取两点E ，F （E 在F 左
边），以为边作等边三角形
的边长；
的边
，使顶点在上，分别交于点。
（1）求
（2）若等边三角形关系？并证明你猜 想的结论。
在线段BC
上移动，试猜想：与有何数量
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边
在矩形
内平移的有关问题，
首先，把矩形
其次，把等边
和比较，容易看到：
的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知
，即
在矩形内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察
第一，在特殊情况（E 重合于B 时）
，由即
的边长为2。 第二，比
较
和，再比较
况，有
可计算出。
两种形态对应的图形情况，
有
和
两种形态所对应的图形情
和
数
。这就促使我们形成了对
量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
（1） （2） 解：（1）过P 作
于Q ，如图（2），在
中，
（2） 作 在
说明：
和
数量关系是交AD 于中，
。
。理由如下：
，如图（3）， （3）
。
。
正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边平移反映的不变性。
周末练习】
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．实数，，，，，中，有理数的个数是（ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A ．51.8×109 B ．5.18×1010 C ．0.518×1011 D ．518×108
3．要使二次根式 A
．
B
．
有意义，x 应满足的条件是（ ） C
．
D ．
4
．将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意
摆放，将有图形
的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）
A
．
B
． C
． D ．
5. 如图，已知的值是( )．
是的直径，弦，，，
那么
A
． B
． C ． D ．
6．如图，如果AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ，∠BED=75°，那么∠BFD 等
于（ ）
A ．37.5° B ．35° C ．38.5° D ．36°
7．三角形两边长分别为3和9，第三边上的高h 的取值范围是（ ） A ．0＜h ＜3 B ．0＜h ≤3 C ．3＜h ＜9 D ．3≤h ＜9
8．已知二次函数时，函数有最
，其中a 、b 、c 是△ABC 的三边，
且
小值，则三边之比a ：b ：c ＝（ ）
：2 C ．3：4：5 D ．1：1：
A ．1：1：1 B ． 1：
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．如图，AB 是⊙O 直径，CD ⊥AB 于点D ，若CD ＝2，BD ＝1，则AB ＝_______.
10．将直线
绕原点O 逆时针旋转90，所得直线解析式为______________.
11．在平面直角坐标系中有矩形ABCD ，AD ∥x 轴 ，AB ∥y 轴 ，已知矩形 ABCD 的边AD ＝3，AB ＝2，且点
A 的坐标为（－1，2），则顶点C 的坐标___________________． *12．已知如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，
AB=AC=
,D 是BC 中点，作半径
是的动圆经过点A 和
D 且交AB 于F, 交AC 于E. 则sin ∠ADF=________.
第9题 第12题
三、解答题（本题共24分，每小题6分）
13．计算：
－2cos30°＋－︱1－︱
14．解不等式组
并在数轴上表示它的解集.
15．先化简，再求值：
，其中．
16．已知：A （－1，2），点P 在直线y ＝－x ＋2上，且AP ＝
，求P 点坐标.
四、阅读理解题（本题共28分，17题12分、18题8分、19题8分）
17．阅读：如图1
，点段
将线段
分成两部分，如果
，那么称点为线
的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，
的图形分成两部分，这两部分的
类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为
面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在 则直线
是
中，若点为边上的黄金分割点（如图2），
的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点直线
金分割线．请你 说明理由． （4）如图4，点于点
，显然直
是
各
的黄金分割线．请你画一条
的黄金分割线，使它不
是
的边
的黄金分割点，过点
作
，交
，交
于点
，连接
（如图3），则直线
也是
的黄
任作一条直线交
于点
，再过点
作
线经过
边黄金分割点．
18． 问题背景
（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填 空：
四边形DBFE 的面积积
_________．
_________，△EFC 的面积
_________，△ADE 的面
探究发现
（2）在（1）中，若
，
，DE 与BC 间的距离为．请证明
．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．
19．正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ．
⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。 ①求证：DF ＝EF ；
②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论
①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
【参考答案】
一．选择题：
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A
二．填空题： 9．5；
10．；
11．（-4,0）、（-4,4）、（2,0）、（2,4）
12．，
三．解答题： 13． 14．
； ；
15．；
16．（2,0）、（-3,5）
四、阅读理解题： 17．解：（1）直线 设
是
的边
的黄金分割线．理由如下： 上的高为．
，，，
所以，，．
又因为
点为
边的黄金分割点，所
以有．因
此
．
所以，直线
是
的黄金分割线．
（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，
即： （3）因为 所以有 设直线
，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ，所以
．
与
交于点
．所以
．
和
的公共边
上的高也相等，
所以
，
．
又因为 因此，直线
也是
，所以
的黄金分割线．
．
（4）画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取
于
，
点，则直线
就是上取一点
的黄金分割线． ，连接
，再过点
作
的中点
，
再过点
作一条直线分别交
，
画法二：如答图2，在
交
于点
，连接
，则直线就是的黄金分割线．
18．（1）
，
，
．
（2）证明：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴四边形DBFE 为平行四边形， ∴△ADE ∽△EFC ．
，
．
∴．
∵， ∴．
∴ 而
， ∴
．
（3）解：过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形． ∴
，
，
．
∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴ ∴
． ∴
．
． ∴△DBE ≌△GHF ．
．
．
．
∴△GHC 的面积为
由（2）得，□DBHG 的面积为 ∴△ABC 的面积为
19. 证明：（1）如图（1）①连接PD ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 平分∠BCD ，CB=CD， △ABCP ≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC ，PB=PD ∵PB ⊥PE ，∠BCD=90°， ∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180° ∠PED=∠PBC=∠PDC ， ∴PD=PE， ∵PF ⊥CD ， ∴DF=EF．
②如图，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，
由①知：
PA=
PH=
DF=
EF PC= CF ∴
PC-PA= （CF-EF ）， 即
PC-PA= CE ．
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA
－PC ＝CE ；