第一讲 变量与函数
知识点1：常量与变量
常量（或常数）:数值保持不变的量 变量：可以取不同数值且变化的量
注：常量和变量是相对而言的，它由问题的条件确定。
如s ＝vt 中，若s 一定时，则 s 是常量，v 、t 是变量
若v 一定时，则 v 是常量，s 、t 是变量
若t 一定时，则 t 是常量，s 、v 是变量
例1 分别指出下列关系式中的变量与常量：
（1） 一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h (m )与它下落的时间
12
gt （其中g ≈9.8s 2）； 2
（2） 一个多边形的内角和A 与边数n （n ≥3，且n 为整数）存在关系
t (s )的关系式为h =
A =(n -2)∙180 ；
（3） 长方体的体积V (cm 3)与长a (cm )，宽b (cm )，高h (cm )之间的关系式为
V =abh 。
知识点2：函数的概念 及函数思想（难点）
一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 、y, 如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.
对函数概念的理解，主要抓住以下三点：1 ① 有两个变量；
② 一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③ 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 例如：y=±x ，当x=1时，y 有两个对应值，所以y=±x 不是函数关系。对于不同的自
变量x 的取值，y 的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y 的对应值都是1。 注：（1）函数体现的是一个变化的过程：一个变量的变化对另一个变量的影响。 （2）在变化的过程中有且只有两个变量：自变量（一般在等号的右边）和
因变量（一般在等号的左边）。
（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：自变量x 每取一个值，
因变量有唯一确定的值与它对应。
（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数。
例1 判断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由
（1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积 （3）某人的身高与年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）
例2 下列变量x 、y 的关系中，y 是x 的函数的（）x 是y 的函数的（）
① 3x －y ＝5 ②y ＝｜x ｜ ③2x -y 2=10
例3 下列各曲线中，不能表示y 是x 函数的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
知识点3：函数的自变量的取值范围 （重点、常考点）
（1）若函数关系式是整式，则自变量的取值范围是：全体实数。
（2）若函数关系式是分式，则自变量的取值范围是：使分母不为0的实数。 （3）若函数关系式是二次根式时，则自变量的取值范围是：使被开方数大于或等于0的实数。
（4）若自变量出现在0次幂的底数中时，则自变量的取值范围是：使底数不为0的实数。
（5）若函数关系式表示实际问题时，则自变量的取值范围还必须使实际问题有意义。
注：求自变量的取值范围就是根据以上5点列出不等式（组），取这些“范围”公共部分。
例1
求下列函数中自变量的取量范围。
x 2-7x +3(1)y =
2(5)y =
x -1
(2)y =
1x -2
(3)y =1x -3
(4)y =(x +3) 0
(6)y =
例2 今有400本图书借给学生阅读，每人8本，求余下的书数y(本) 与学生 x (人) 之间的函数关系式，并求自变量的x 的取量范围
例3 一个游泳池内有水300 排水。
(1)写出游泳池内剩余水量Q
3
m 3，现打开排水管以每小时25 m 的排水量
m 3与排水时间t h 间的函数关系式，并写出自变
量t 的取值范围。
(2)开始排水后的第5 h末，游泳池中还有多少水？ (3)当游泳池中还剩150
m 3时，已经排水多少小时？
知识点4：函数的表示方法
(1) 图象法：用图象来表示函数关系的方法
(2) 列表法：用表格来表示函数关系的方法 (3) 解析法：用图象来表示函数关系的方法
知识点5：函数值
(1) 函数值：在函数解析式中, 以自变量的值代入求得的值叫做函数值. (2) 注意点：①运算顺序 ②应说明自变量取什么值时的函数值.
一般用“当„„时”格式, 或“把„„代入”格式.
例1当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(x ＋1) (x －2) ； (2) y ＝2x 2－3x ＋2；
(3
)
．
知识点6：列函数关系式(函数解析式) (重点、难点、常考点)
(1)解析法：用数学式子来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法。 其中的等式叫做函数的解析式。
(2)初中阶段主要学习四种函数关系式
①常函数 一般形式：y ＝b (b为常数) 它的图像是一条平行于x 轴的直线 ②一次函数 一般形式：y = kx＋b ( k、b 为常数, 其中k ≠0) 它的图像是一条直线若b ＝0, 则为特殊的一次函数, 即正比例函数y = kx
③二次函数 一般形式：y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数且a ≠0)
④反比例函数 一般形式： y =
k x
(k ≠0且k 为常数)
(3)分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式, 这样的函数称为分段函数.
初二阶段分段函数的一般组合: ①常函数与常函数
②常函数与一次函数 ③一次函数与一次函数
(4)列函数关系式时一定要写出自变量的取值范围.
(5)表示同一个函数必须同时满足两个条件①函数解析式化简后相同
②自变量的取值范围相同
(6) 列函数关系式的三种途径：
①根据实际问题, 找等量关系, 列函数关系式. ②根据表格, 列函数关系式
③根据图象, 列函数关系式. 通常运用待定系数法 例1 小明去商店为美术小组买宣纸和手笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店
正搞优惠活动：买一支毛笔赠一张宣纸，小明买了10支毛笔和x (x ＞10) 张宣纸，那么小明用的总钱数y （元）与宣纸张数x （张）之间的函数关系式是什
么？
例2 某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出去的货物数量x 与售
价y 的关系如下表：
写出用x 表示y 的公式是 ．
例3如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P 从点A 出发，以1cm/s
的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A ，设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ．
知识点7：函数的图象（重点） 1、画函数图象的一般步骤
(1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标, 在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就叫做这个函数的图象。
(2)由函数解析式画函数图象一般步骤：①列表 ②描点 ③连线 (3)注意点：①列表前一定要考虑自变量的取值范围
②描点的个数一般取5个到9个
③横轴一格表示的单位长度可以与纵轴一格表示的单位长度不一样. ④把自变量作为横坐标，把因变量作为纵坐标
⑤一定要标注原点O 及自变量与因变量的字母分别标在横轴与纵轴上。对于实际问题, 在横轴与纵轴上还要标注单位。
⑥当自变量的取值范围是全体实数时, 左右两边要多画一些。
(4) 数形结合思想是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
2、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系
（1）通常判断点是否在函数图象上的方法是将这个点的坐标代入函数解析式，若满足涵数解析式，则这个点就在其函数的图象上；反之也成立。
（2）两个函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。
例1已知点B （4，2）在函数y=2x+b的图象上，试判断点C （﹣2，3）是否在该函数的图象上．
例2若直线y=﹣2x ﹣4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b 的取值范围是（） A ．﹣48 D．﹣4 ≤6 ≤8
例3点A ，B ，C ，D 的坐标如图，求直线AB 与直线CD 的交点坐标。
作业题：
一、选择题
1. 某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说法正确的是（ ）.
（A ）数100和η，t 都是变量 （B ）数100和η都是常量 （C ）η和t 是变量 （D ）数100和t 都是常量
2. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ）.
（A ）s =10+60t （B ）s =60t （C ）s =60t -10 （D ）s =10-60t 3. （课本39页习题1变形）如图，若输入x 的值为－5，则输出的结果（ ）.
（A ）―6 （B ）―5 （C ）5 （D ）6
4. 下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系：
2
则能反映这种关系的式子是（ ）.
（A ）b =d （B ）b =2d （C ）b =5. 下列函数中，自变量x 不能为1的是（ ）.
d
（D ）b =d -25 2
1x x +2 （B ）y = （C ）y =2x +1 （D ）y = x 8x -1
6.
下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）
（A ）y =
y x O （B ）
7. 甲乙两同学从A
地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （时）之间的函数关系的图象，如图所示。根据图中提供的信息，有下列说法： ① 他们都行驶了18千米。 ② 甲车停留了0.5小时。
③ 乙比甲晚出发了0.5小时。
④ 相遇后甲的速度小于乙的速度。 ⑤ 甲、乙两人同时到达目的地。
其中符合图象描述的说法有（ ）
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
8. 如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应．．排序
.
① ② ③ ④
a . 运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
b . 静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系）
c . 一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）
d . 小明从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A 地的距离与时间的关系）正确的顺序是（ ）
（A ）abcd （B ）adbc （C ）acbd （D ）acdb 二、填空题
9. 已知等式2x +y =4，则y 关于x 的函数关系式为________________.
10. 市场上一种豆子每千克售2元，即单价是2元/千克，豆子总的售价y （元）与所售豆子的数量x kg 之间的关系为_______，当售出豆子5kg 时，豆子总售价为______元；当售出豆子10kg 时，豆子总售价为______元．
11. 函数是表达现实世界中数量之间变化规律的一种数学模型，它的三种数学表示方法分别为_________、_________、_________. 12.
函数y =
x 的取值范围是______________.
14
2
13. 导弹飞行高度h （米）与飞行时间t （秒）之间存在着的数量关系为h =-t +300t ，当t =15时，h =____________.
14. 如图, 表示一辆汽车行驶的速度和时间的图象，你能用语言描述汽车的行驶情况吗？________________________________.
v(千米/时)
60
O
t(时)
15. 用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n 个三角形需要S 支
火柴棒，那么S 与n 的关系可以用式子表示为 （n 为正整数）.
16. 假定甲、乙两人在一次赛跑中, 路程S 与时间t 的关系如图所示, 看图填空: (1)这是一次_______赛跑.(2)甲、乙两人中先到达终点的是_________.
(3)乙在这次赛跑中的平均速度是_________m /s
.
三、解答题
17. 长方形的周长为20cm ，它的长为a cm ，宽为b cm. （1）上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出a 与b 满足的关系式；
（3）试求宽b 的值分别为2，3.5时，相应的长a 是多少？ （4）宽为多少时，长为8cm ？
18. 如图所示，三角形的底边长为8cm ，高为x cm.
（1）写出三角形的面积y 与高x 之间的函数关系式；
（2）用表格表示高从5cm 变到10cm 时（每次增加1cm ）y 的对应值； （3）当x 每次增加1cm 时，y 如何变化？说说你的理由.
19. 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车的均行驶90km 的过程中，行驶的路程y 与经过的时间x 之间的函数关系，请根据图象填空：
_________出发的早，早了________小时，_____________先到达，先到_________小时，电动自行车的速度为__________km/h，汽车的速度为
__________km/h.
20.
（1）在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象，比较它们有什么不同（说出一条不同点即可）？
（2）预测哪一个函数值先到达100.
21. 小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）.
（1）图象表示了哪两个变量的关系？
（2）10时和13时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？
（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
参考答案：
1.C ；
2.A ； 3.D ； 4.C ； 5.B ； 6.C ； 7.C ； 8.D ；
9. y =-2x +4； 10. y =2x ， 10， 20；
11. 图像法，表达式法，表格法； 12. x ≥2； 13. 4443.75；
14. 答案不唯一，略； 15. S =2n +1；
16. (1)100m ，(2)甲 ，(3)8；
17. （1）常量是20，变量是a ，b .
（2）因为2(a +b ) =20，所以a =10-b .
（3）当b =2时，a =10-2=8；当b =3.5时，a =10-3.5=6.5； （4）当a =8时，b =10-8=2. 18. （1）y =4x （x >0）； （2
（319. 甲（或电动自行车），2，乙（或汽车），2，18，90； 20. 填表如下：
（1）不同点有：①y 1图象不经过原点，y 2图象经过原点；②当x 的快等.
（2）y 2的函数值先到达100.
时， y 1图象在y 2 3
10
时，y 1图象在y 2图象下方；③随着x 增大，y 2的值比y 1的值增大3
21. （1）时间与距离；
（2）10时和13时，分别离家10千米和30千米；
（3）到达离家最远的时间是12时，离家30千米；
（4）11时到12时，他行驶了13千米；
（5）他可能在12时到13时间休息，吃午餐；
（6）共用了2时，因此平均速度为15千米/时.