函数的应用练习题
1、函数零点的求法：
① （代数法）求方程f (x ) =0的实数根；
② （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f (x ) 的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点． 2、基本初等函数的零点：
①正比例函数y =kx (k ≠0) 仅有一个零点。
k
(k ≠0) 没有零点。 x
③一次函数y =kx +b (k ≠0) 仅有一个零点。
②反比例函数y =
④二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) ．
（1）△＞０，方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 没有零点。 ⑥对数函数y =log a x (a >0, 且a ≠1) 仅有一个零点1.
⑦幂函数y =x α，当n >0时，仅有一个零点0，当n ≤0时，没有零点。
3、选择题判断区间(a , b )上是否含有零点，只需满足f (a )f (b )
4、确定零点在某区间(a , b )个数是唯一的条件是:①f (x )在区间上连续，且f (a )f (b )
5、函数的模型：根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：f (x ) =kx +b (k ≠0); 二次函数模型：g (x ) =ax +bx +c (a ≠0); 幂函数模型：h (x ) =ax +b (a ≠0); 指数函数模型：l (x ) =ab
x
12
2
+c （a ≠0, b ＞0，b ≠1）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型 6、二次函数的表达式
一般式：y =ax 2+bx +c (a , b , c 为常数，a ≠0)⎛b 4ac -b 2⎫
定点坐标 -2a , 4a ⎪⎪
⎝⎭
2
b
对称轴：x =-
2a
顶点式：y =a (x -h )+k (a , h , k 为常数, a ≠0)
两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a , x 1, x 2为常数, a ≠0)
一、选择题
1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )
A ．2；2 B．(2,0)；2 C ．－2；－2 D．(－2,0) ；－2
2．函数f(x)＝x ＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a4 C．a≤4 D．a≥4 3．函数f(x)＝x ＋x ＋3的零点的个数是( )
A ．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝ax ＋2ax ＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B．1 C．－2 D．2 5．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )
A ．f (x ) ＝3x －4x ＋5 C ．f (x ) ＝ln x －3x ＋6
2222
B ．f (x ) ＝x －5x －5 D ．f (x ) ＝e ＋3x －6
2
3
x
6．若函数f (x ) ＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x ) ＝bx －ax 的零点是
A ．0,2
2
11
B ．0，．0
221
D ．2，－
2
⎧⎪x ＋2x －3，x ≤0，
7．函数f (x ) ＝⎨
⎪⎩－2＋ln x ，x >0
的零点个数为( )
A ．0
3
B ．1 C．2 D．3
x
⎛1⎫
8．函数y ＝x 与y = ⎪的图象的交点为(x 0，y 0) ，则x 0所在区间为( )
⎝2⎭
A ．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1)
2
D ．(1,2)
2
9．若函数f (x ) ＝x －ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x ) ＝bx －ax －1的零点是( )
111111
A ．－1．1和－ C. 和 D．－和－662323
10．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是( )
A ．不亏不盈 C ．赚47.32元 二、填空题
1．函数f(x)＝x －4x －5的零点是________．
2. 已知对于任意实数x ，函数f(x)满足f(－x) ＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．
2
B ．赚23.68元 D ．亏23.68元
6．方程2＋x ＝3的实数解的个数为_______．
7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．(列算式即可) 三、解答题
1．已知函数f (x ) ＝2－x ，问方程f (x ) ＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
2．函数f(x)＝x －ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx －ax －1的零点．
3．二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3) 时，f (x )
1
4．定义在R 上的偶函数y ＝f (x ) 在(－∞，0]上递增，函数f (x ) f (log1x )≥0
24的x 的取值集合．
2
2
2
－x 2
x 2
必修1函数的应用复习题答案
一、选择题
1—5 BCCBA 6—10 CDABD 11—12 BC 二、填空题
13. 充分不必要条件 14. 0
∵是函数f (x ) 的零点， 311
∴f () ＝0，即b ＋2＝0，解得b ＝－6.
33
2
∴g (x ) ＝x ＋5x －6，
2
由x ＋5x －6＝0，得x ＝1或x ＝－6， ∴g (x ) 的零点为1和－6.
18. 【解】 (1)当x ∈(0,1)时，g (x ) ＝log 2x ＜0，
11
f (x ) ＝(|x －1|＝(1－x ＞0，
22
∴方程f (x ) ＝g (x ) 在(0,1)内无实根， ∴φ(x ) ＝f (x ) －g (x ) 在(0,1)内无零点．
1x －1
(2)当x ∈[1,2]时，f (x ) ＝() ，
2
1x －1
∴φ(x ) ＝f (x ) －g (x ) ＝(－log 2x 在[1,2]上是减函数，
2
且φ(x ) 的图象连续不间断，
11
又φ(1)＝1－0＝1＞0，φ(2)＝1＝－＜0，
22
∴φ(1)·φ(2)＜0，
因此φ(x ) 在(0,2)内有唯一零点，
根据(1)、(2)知，φ(x ) ＝f (x ) －g (x ) 在(0,2]内有唯一的零点． 19. 【解】
取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取 [750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点； 若遇到小数取整数．照这样的方案，
游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851， 经过6次可猜中价格． 20. 【解】
(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x ) ＝x －2x －3， 令f (x ) ＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x ) 的零点为3或－1.
(2)依题意，f (x ) ＝ax ＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， ∴b －4a (b －1) ＞0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b －4ab ＋4a ＞0恒成立， 所以有(－4a ) －4(4a ) ＜0⇒a －a ＜0，
2
2
2
2
2
2
∴a －a ＜0，解之得0＜a ＜1，
因此实数a 的取值范围是(0,1).
*
21. 【解】 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N.
P (x ) ＝R (x ) －C (x )
2
＝(3000x －20x ) －(500x ＋4000)
2
＝－20x ＋2 500x －4000，
MP (x ) ＝P (x ＋1) －P (x ) ＝[－20(x ＋1) 2＋2500(x ＋1) －4000]
2
－(－20x ＋2500x －4000) ＝2480－40x .
1252
(2)P (x ) ＝－20(x ＋74 125，
2
当x ＝62或x ＝63时，P (x ) 取得最大值74120； 因为MP (x ) ＝2480－40x 是减函数，
所以当x ＝1时，MP (x ) 取得最大值2440.
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680.
a
【解】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以10＝11，a ＝2.
2
22
由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝(2)＋10(x －6) .
x －3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
f (x ) ＝(x －3)[＋10(x －6) ]＝2＋10(x －3)(x －6) ，3＜x ＜6.
x －3
2从而，f ′(x ) ＝10[(x －6) ＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6) ．
于是，当x 变化时，f ′(x ) ，f (x ) 的变化情况如下表：
由上表可得，x ＝4是函数f (x ) 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x ) 取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
2