中学常见绝对值问题的解法

中学常见绝对值问题的解法

党文州

（镇巴县渔渡中学）

摘 要：绝对值是中学数学最活跃的概念之一，它能与数学中许多知识相联系从而生成新的绝对值问题，如与方程、不等式和函数的结合是中学阶段最为常见的类型，本文通过归纳总结、举例子等方法给出了这三类绝对值问题的具体解法，希望能对学习者有所裨益.

关键词：绝对值；方程；不等式；函数；解法

1. 引言及预备知识

绝对值问题是指绝对值与其他数学知识相结合而生成的新的数学问题. 遇到这类数学问题时，对于简单的，如解x =0，或求f (x )=x 的值域和定义域，我们还能解决，但是稍复杂的，大多数学习者就会感到束手无策. 本文针对此种情况，在相关资料[1~6]的基础之上总结出了一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式和一次绝对值函数这三类常见绝对值问题的具体解法，供学习者参考.

定义1[1] 绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

定义2[1] 绝对值的几何定义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．

性质[4] 绝对值的主要性质：(1) 一个实数的绝对值是一个非负数，即

x ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．

(2) 一个数的绝对值的相反数一定是非正数. (3) 两个相反数的绝对值相等．

(4) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.

定义3一元一次绝对值方程：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的方程叫做含绝对值符号的一元一次方程，简称为一元一次绝对值方程.

定义4一元一次绝对值不等式：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫做含绝对值符号的一元一次不等式，简称为一元一

次绝对值不等式.

定义5一次绝对值函数：我们把一次函数中含有绝对值符合的一次函数叫做含绝对值符号的一次函数，简称为一次绝对值函数.

2. 中学常见的绝对值问题及其解法

中学常见的绝对值问题除了绝对值自身定义的应用外，还有本文专门提出的一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式以及一次绝对值函数这三类绝对值问题. 下面给出了相应问题的解法，并附有例题以便学习者融会贯通. 2.1一元一次绝对值方程的解法 （1）形如ax +b =c (a ≠0) 型的绝对值方程的解法： ①当c

②当c =0时，原方程变为ax +b =0，即ax +b =0，解得x =-； ③当c >0时，原方程变为ax +b =c 或ax +b =-c ，解得x =

c -b -c -b

或x =．

a a

b

a

例1．解方程：2x +3=5

解：由（1）可知，因为5>0时，原方程变为2x +3=5或2x +3=-5，解得x =1或x =-4．

（2）形如ax +b =cx +d (ac ≠0) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知cx +d ≥0，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax +b =cx +d 和ax +b =-(cx +d ) ； ③分别解方程ax +b =cx +d 和ax +b =-(cx +d ) ； ④将求得的解代入cx +d ≥0检验，舍去不合条件的解．

例2．解方程：4x +3=2x +9 解：由（2）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程4x +3=2x +9和4x +3=-(2x +9) ；分别解得x =3和x =-2；经检验都成立.

（3）形如ax +b =cx +d (ac ≠0) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax +b =cx +d 或

ax +b =-(cx +d ) ；

②分别解方程ax +b =cx +d 和ax +b =-(cx +d ) ．

例3．解方程：2x -=3x +

解：由（3）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程2x -1=3x +1或2x -1=-(3x +1) ；分别解得x =-2和x =0.

（4）形如x -a +x -b =c (a

①根据绝对值的几何意义可知②当

c

x -a +x -b ≥a -b

c =a -b

；

时，此时方程无解；当

时，此时方程的解为a ≤x ≤b ；

当c >a -b 时，分两

x =

种情况：①当x

a +b +c 2．

x =

a +b -c

2；②当x >b 时，原方程的

解为

例4．解方程：x -1+x -3=4

解：由（4）可知，4>2-应分两种情况；①当x 3时，原方程的解为x =4．

（5）形如ax +b ±cx +d =ex +f (ac ≠0) 型的绝对值方程的解法：

①找绝对值零点：令ax +b =0，得x =x 1，令cx +d =0得x =x 2； ②零点分段讨论：不妨设x 1

②x 1≤x

例5．解方程：2x +3-x -1=4x -3

解：由（5）可知，找绝对值零点：x =-1. 5和x =1； ①x

x =-x ≥12x +3-x -1=4x +3. ③时，解得

2.2一元一次绝对值不等式的解法

解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组) ．

（1）不等式｜x ｜＜a(a＞0) 和不等式｜x ｜＞a(a＞0) 的解集分别是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝、｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝．其解集在数轴上表示如下：

把不等式｜x ｜＜c 与｜x ｜＞c(c＞0) 中的x 替换成ax ＋b ，就可以得到

ax +b >c (c >0) （2）

与

ax +b 0)

型的不等式的解法．

ax +b >c (c >0)

的解法是：先化不等式组ax +b >c 或ax +b

不等式的性质求出原不等式的解集.

ax +b 0)

的解法是：先化不等式组-c

出原不等式的解集.

例6．解不等式：|2x-3|>4

解：由|2x-3|>4 （符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得 2x-3>4

或 2x-37/2 或 x

所以原不等式解集为｛x| x>7/2 或 x

不等式各边都加5，得 -2≤3x ≤12

不等式各边都除以3，得 -2/3≤x ≤4

所以原不等式解集为｛x|-2/3≤x ≤4｝

（3）我们在解

ax +b >c (c >0)

与

ax +b 0)

型不等式的时候，一定要注

意a 的正负. 当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解. 例8．解不等式：|1-2x|

由不等式的性质解得 -2

所以原不等式解集为｛x|-5/2

由不等式的性质解得 -2

（4）含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如下题中的解法一，再就是利用绝对值的定义如下题中的解法二、解法三.

例9．解不等式：2＜｜2x －5｜≤7．

⎧|2x -5|>2⎨

解法一：原不等式等价于⎩|2x -5|≤7 73⎧

x >或x

⎨⎪-1≤x ≤6-7≤2x -5|≤7∴⎩即⎩

37

或

解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:

∴原不等式的解集为｛x -1≤x

⎧2x -5≥0⎨

(Ⅰ) ⎩2

(Ⅱ) ⎩2

7

3

不等式组(Ⅱ) 的解集是｛x -1≤x

237

∴原不等式的解集是｛x -1≤x

22

解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7

7

不等式(Ⅰ) 的解集为｛x

2

3

不等式(Ⅱ) 的解集是｛x -1≤x

2

37

∴原不等式的解集是｛x -1≤x

22

（4）解含多重绝对值符号的不等式时，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．

例11．解不等式：|x－|2x＋1||＞1．

解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x －|2x＋1|＜－1

①由x －|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x －1

不等式组(Ⅰ) 的解集为｛x

⎧2x +1≥0⎧2x +1

或⎨⎨

2x +1

1⎧1⎧x ≥x

2或⎨2⎨⎪x 0均无解； 即

②由x －|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x ＋1

⎧2x +1≥0⎧2x +1x +1∴⎩或⎩-(2x +1) >x +1

1⎧

1⎪x

⎪x ≥-⎪2

或2⎨⎨

22⎪⎪x >0x 0或⎩3 即

综上讨论，原不等式的解集为{x|

x

2

3或x >0}．

2.3一次绝对值函数的解法

在中学阶段遇到的一次绝对值函数问题具体有四种：解析式、定义域、值域（最值）以及函数图象. 解决此类问题的关键是要通过分类讨论去掉绝对值号，而分类的标准是令绝对值里面的式子等于零，这样就可以把数轴分成几段，然后就可以讨论了，写出函数解析式，画出对应的函数图象，问题就一目了然了. 例10．解：

y =x +2-x -5

求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.

y =x +2-x -5

，首先令x+2=0和x-5=0,得到x=-2和x=5,这时将数轴分

为了三部分：①当x0、x-5

③当x>5时，x+2>0、x-5>0，此时：y=(x+2)-(x-5)=7； 综上可知：

⎧-7, (x

y =⎨2x -3, (-2≤x ≤5)

⎪7, (x >5) ⎩ ；

其最大值为7，最小值为-7，由此可知，该函数的值域为[-7，7]，定义域为R.

例11．指出函数y=|x-5|+|x+3|的图像画法.

解：①首先要去绝对值，找到分界点：x-5=0，x=5 x+3=0，x=-3，则5、-3就是其分界点；

②分情况讨论，得出去掉绝对值的函数解析式： x≤-3时，y=|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x -35时，y=|x-5|+|x+3|=x-5+x-3=2x-8；

③按这三个区间对应的函数解析式，就不难画出这个带绝对值的函数图像了.

3. 绝对值问题专题强化训练

此部分专门为学习者所设，供其有针对性的强化训练，真正做到学有所得. 3.1一元一次绝对值方程专题练习 【1】解方程：

【2】方程

【3】解方程

2x +3=5

2x -12

-3=0

的解为？ ．

x -2005+2005-x =2006

【4】解方程4x +3=2x +9

【5】解方程x -5+2x =-5

【6】解方程2x -=3x +1 【7】解方程x -1+x -3=4

【8】解方程：2x +-2-x =3

3.2一元一次绝对值不等式专题练习

【9】不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )

A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋a

B ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a }

C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}

D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝ 【10】不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )

A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝ B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝ C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝ D ．｛x ｜4≤x ≤9｝

【11】下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )

A ．｜x －2｜＞5 B ．｜2x －4｜＞3

x 1－1｜≤

22

x 1

D ．1－｜－1｜＜

22

C ．1－｜

【12】已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0) 的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b

＝ ．

【13】不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______． 【14】解下列不等式：(1)|2－3x |≤2；

(2)|3x －2|＞2．

【15】解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；

(2)|3x－4|＞1＋2x ．

3.3一次绝对值函数专题练习 【16】

y =x -3-x +6

，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.

【17】

y =x +2+x -，求此函数的解析式 并写出其值域和定义域.

【18】画出函数y =-2-x -x +7的图像.

参考文献：

[1]王建磐，数学（七年级上） [M].上海：华东师范大学学报2005.12.

[2]马亚军，资源与学案（七年级数学上）[M]．西安：陕西师范大学出版社，2009.12. [3]王峰，久考热点——含绝对值的函数问题[J]. 中学数学教学 2007年04期 [4]王盛之，名试导学，全程培优（数学初中一年级）[M].浙江：浙江少年儿童出版社，2004.4.

[5]苏胜旺，用绝对值定义解绝对值方程[J].《南平师专学报》 1998年02期 . [6]黄庆义，绝对值不等式解法指导. http://www.doc88.com/p-[1**********].html.

A common problem of variation of absolute value of

the middle school

Dang Wenzhou (The yudu middle school of ZhenBa)

Abstract: Absolute value is the concept of middle school mathematics is one of the most active in mathematics, it can and associated many knowledge to generate new absolute value problems, such as and equations, the combination of inequality and function is the most common types of middle school, this paper summarized and an example are given these three methods of the specific solutions to problems, absolute benefit hopes of learners.

Keywords: absolute value; Equation; Inequality; Functions; solution.