摘 要
定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题. 它在许多实际问题有着广泛的应用. 下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.
但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解. 针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.
关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式
目 录
1 引言
2 定计算的计算方法
2.1
分
项
积
分
法·················································(1) 2.2
分
段
积
分
法·················································(2) 2.3
换
元
积
分
法 ················································(3)
2.4
分
部
积
分
法 ················································（5）
2.5
欧
拉
积
分
在
定
积
分
计
算
中
的
应
用·······························（9）
2.6
留
数
在
定
积
分
计
算
上
的
应
用···································（10）
2.7
巧
用
二
重
积
分
求
解
定
积
分·····································（10）
2.8
反
函
数
法
求
解
定
积
分·········································（10）
2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应
用·····················（11）
3
总
结················································(12）
浅谈定积分的计算
1. 引言
定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础. 本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.
另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解. 针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法. 对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用, 进行了一一列举，并通过例子加以说明.
2. 定积分的计算方法
2.1 分项积分法
我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：f (x ) k 1g 1(x )+k 2g 2(x ) ，
若右端的积分会求，则应用法则⎰f (x ) dx =k 1⎰g 1(x ) dx +k 2⎰g 2(x ) dx , 其中k 1，k 2是
a
a
a
b b b
不全为零的任意常数，就可求出积分⎰f (x ) dx ，这就是分项积分法.
a
b
例2-1
[1]
π
计算定积分14
2
1
. x 4(1+x 2)
解 利用加减一项进行拆项得
π
412
ππ
1(1+x 2) -x 2144
==dx 12x 4(1+x 2) ⎰12x 4-x 4(1+x 2) π
ππ
111144
+=--12x 2121+x 2
3x 3x 4
π
412
π
412
(1+x 2) -x 2
x 2(1+x 2) +arctan x
π412
=14
2
1+x
π412
.
=-
64415
+-arctan +. 3π3π23
2
例2-2
计算定积分⎰解 记J
=⎰
2
32
=⎰
1
.
2
2
11
=⎰
x dx +⎰
1
1
再将第二项拆开得 J=⎰x dx +⎰(x -1) dx +⎰
1
1
2
32
2
32
2
1
25
(x -1) dx =x 2
5
12
21
5
2
+(x -1) 25
21
3
2
+(x -1) 23
21
225
=22+.
35
2.2 分段积分法
分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.
被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.
例2-3
[2]
⎧1⎫计算定积分⎰2π(x +1) min ⎨,cos x ⎬dx .
-
⎩2⎭2
π
π⎧1⎫⎡π⎤
解 由于min ⎨,cos x ⎬为偶函数，在⎢0, ⎥上的分界点为，所以
3⎩2⎭⎣2⎦
ππ
⎧1⎫⎧1⎫⎧1⎫22
=+2min ,cos x (x +1) min ,cos x dx x min ,cos x dx ⎨⎬dx ⎨⎬⎨⎬π⎰⎰-π2⎰0-222⎩⎭⎩⎭⎩⎭2
π
2
π
π1
=0+2(⎰3+⎰
π2cos xdx ) =+2-0233
2
1
⎧⎪1+x , x ≥0
. f (x -1) dx ，其中f (x ) =⎨1
, x
π
例2-4 计算定积分⎰
解 由于函数f (x ) 的分界点为0，所以，令t =x -1后，有
⎰
2
f (x -1) dx =⎰f (t ) dt =⎰
-1
1
111
+⎰01+x -11+e x 0
-1
e -x 1-x
ln(1+x ) -ln(1+e ) dx =⎰+=0
-11+e -x
+ln 2
=ln(1+e ) .
2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：
2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5 计算定积分⎰2
1
[3]
π
dx
.
sin x +tan x
π
π
解
⎰
2
1
dx cos xdx
=⎰2=⎰2
sin x +tan x 1sin x (1+cos x ) 1
π
cos 2
x x -sin 2 4sin cos 3
22
π
=⎰2
1
1-tan 2
x
π
tan x =12(1-tan x ) d tan x x 2⎰1tan x 2222tan
22
π
2
1
1x =ln tan 221x
-tan 242
π
2
1
1111
=-ln tan +tan 2-.
2424
例2-6
计算定积分0
-x 2
. 4
1+x
解
-x dx =
1+x 4
2
1-1112
dx =-(+x )
012
+x +x 2x 22x x
1
(+x )
01
(+x ) 2-2x x
11⎡⎤d (+x ) d (+x ) ⎥⎢= -0
0(+x ) (+x ) x x ⎣1. =5
=-
2.3.2 第二换元积分法
常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换
例2-7[4] 计算定积分⎰x (1-x ) dx .
01
3
42
1
解 由于⎰x (1-x ) dx =
1
342
1
342
122
x =sin t ，于是 ，故可令(1-x ) dx ⎰02
1
3
42
2
1arcsin141arcsin1
⎰0x (1-x ) dx =2⎰0cos tdt =8⎰0(1+cos 2t ) dt
1arcsin11+cos 4t
(1+2cos 2t +) dt =⎰08211
=(3t +2sin 2t +sin 4t ) arcsin1
01641
=(3t +4sin
16
sin -sin 2t ))
arcsin10
1
(3arcsinx 2+4x x 2(1-2x 410
1613
arcsin1. =(3arcsinx 2+5x 2x 1=0
1616
=
②幂函数替换
2sin x
dx . 例2-8 计算定积分⎰2
0sin x +cos x
π
解 作变量代换x =
π
π
2
-t ，得到
⎰
20
π
sin 2x cos 2t 2
=⎰，因此
0sin t +cos t sin x +cos x
ππ222
sin x 1sin x cos t 222
(+=⎰0sin x +cos x 2⎰0sin x +cos x ⎰0sin t +cos t ) = π
1π12
2⎰
0sin x +cos x 3π
44
π
⎰
20
1sin(x +)
4
π
3π4
4
1
= sin x
1-
cos x )
sin x ③倒替换
π
. 例2-9
计算定积分1 解
.
1
=1
令t =
1得
x
1=-
=-11
1
=
π. 6
2.4 分部积分法
定理 3-1[5]若μ'(x ) ，ν'(x ) 在[a , b ]上连续，则
⎰
b
a
b
'uv 'dx =uv b a -⎰u vdx 或⎰udv =uv a -⎰vdu .
a
a
a
b
b b b
利用分部积分求⎰f (x ) dx 的解题方法
a
（1）首先要将它写成⎰udv (或⎰uv 'dx ) 得形式．
a
a
b b
选择u , v ，使用分布积分法的常见题型： 表一
（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出⎰f (x ) dx 的方程，然后解出．
a b
（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10 计算定积分⎰2x 2sin 2xdx .
[6]
π
1
解 于sin 2x =(1-cos 2x ) ，所以
2
π
⎰
20
1π1
x sin xdx =⎰2x 2(1-cos 2x ) dx =x 3
206
2
2
π
2
1π
-⎰2x 2d sin 2x 40
连续使用分部积分得
13122
x sin xdx =(x -x sin 2x ) ⎰0
64
2
2
ππ
2
1π
+⎰2x sin 2xdx 20
11
=(x 3-x 2sin 2x ) 64
π
2
1π
-⎰2xd cos 2x 40
π20
1111
=(x 3-x 2sin 2x -x cos 2x +sin 2x ) 6448
=
π3
48
+
π
8
.
π0
例2-11 计算定积分⎰2x 2e x sin xdx ．
π2
x
[7]
π20
x
π
x
20
π
解 因为⎰e sin xdx =⎰sin xde =e sin x
π
π
-
⎰
20
cos xde x
=e x (sinx -cos x )
π
20
-⎰2e x sin xdx 所以
1x
2e sin xdx =e (sinx -cos x ) ⎰0
2
x
π
20
1π
=(e 2+1) 于是 2
π
⎰
20
e cos xdx =e cos x
x x
π20
π
+⎰2e x sin xdx
1
=e x (sinx +cos x )
2
π
π
20
1π
=(e 2-1) 2
从而
⎰
20
⎡1⎤
x e sin xdx =⎰2x 2d ⎢e x (sinx -cos x ) ⎥
⎣2⎦
2x
π
1
=x 2e x (sinx -cos x ) 21
=x 2e x (sinx -cos x ) 2
π
20
π
-⎰2xe x (sinx -cos x ) dx
π
20
π
-⎰
20
π
⎡1x ⎤⎡1⎤xd ⎢e (sinx -cos x ) ⎥+⎰2xd ⎢e x (sinx +cos x ) ⎥ ⎣2⎦0⎣2⎦
1
=x 2e x (sinx -cos x ) 2
1
+xe x (sinx +cos x ) 2
1
=x 2e x (sinx -cos x ) 2
1
=x 2e x (sinx -cos x ) 2
π
20
1
-xe x (sinx -cos x ) 2
π
20
1π
+⎰2e x (sinx -cos x ) dx 20
π
20
1π
-⎰2e x (sinx +cos x ) dx 20
π
π
π
20
+xe cos x
x
20
-⎰2e x cos xdx
π
20
π
+xe cos x
x
20
1
-e x (sinx +cos x ) 2
π
20
122=e x ⎡(x -1)sin x -(x -1) cos x ⎤⎣⎦2
π
π
2
e 2π21=(-1) +. 242
例2-12解
[8]
计算定积分⎰x sin ，其中n 为正整数．
n π
⎰
(2k +π1)
2k π
x s i n d =x ⎰
(2k +1) π
2k π
x sin xdx
作变量替换t =x -2k π得
⎰
(2k +1) π
2k π
x sin xdx =⎰(t +2k π)sin tdt
π
=⎰t sin tdt +2k π⎰sin tdt
ππ
=-t cos t
π
+⎰cos tdt -2k πcos t
π
π
=(4k +1) π
⎰
(2k +2) π
(2k +1) π
x sin =-⎰
(2k +2) π
(2k +1) π
x sin xdx
作变量替换t =x -2k π得
-⎰
(2k +2) π
(2k +1) π
x sin xdx =-⎰(t +2k π)sin tdt =--⎰t sin tdt -2k π⎰sin tdt
π
2π2π2π
ππ
=t cos tdt
2π
π
-⎰cos tdt +2k πcos t
π
2π
2π
π
=(4k +3) π 当n 为偶数时，
⎰
n π
x sin =∑(⎰
k =0
n -12
(2k +1) π
2k π
x sin +⎰
(2k +2) π
(2k +1) π
x sin xdx )
=∑[(4k +1) π+(4k +3) π]
k =0
n -12
n n ⎡⎤(-1) ⎢n ⎥2=4π⎢2⋅+⎥=n π 22⎥⎢⎣⎦当n 为奇数时，
n -3
2
⎰
n π
x sin =∑(⎰
k =0
(2k +1) π
2k π
x sin +⎰
(2k +2) π
(2k +1) π
x sin ) +⎰
n π
(n -1) π
x sin x dx
=∑[(4k +1) π+(4k +3) π]+(4⋅
k =0
n -32
n -1
+1) π 2
=4π∑(2k +1) +(2n -1) π
k =0
n -32
n -3n -1⎡⎤() ⋅() ⎢+n -1⎥+(2n -1) π =4π⎢2⋅⎥
22⎢⎥
⎣⎦
=n π.
2
2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用
定义 2-1 形如B(p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1dx 的含参变量积分称为Beta 函数，或
[4]
1
第一类Euler 积分。形如Γ(s ) =⎰二类Euler 积分。
+∞
x s -1e -x dx 的含参变量积分称为Gamma 函数，或第
定理 2-2[4] Beta 函数与Gamma 函数之间具有如下关系：B(p , q ) =
p >0, q >0.
Γ(p ) Γ(q )
，
Γ(p +q )
定理 2-3[4]（余元公式）Γ(s ) Γ(1-s ) =命题 2-1
[4]
π
π
sin π
,0
⎰
20
sin m x cos m xdx =B(
π
m +1n +1
, ) m >-1, n >-1. 22
例2-13
计算⎰
[4]
11
解
令tan
t x x t =，则有tan =，利用三角恒等式可得 2
222
cos t -k 1-k 2cos x =，sin x =，dx =将其带入原式得
1-k cos t 1-
k cos t ⎰
=
π
π=⎰
01434
14
(1-k ) (1+k )
π
12
⎰
π
t t 2(1-k ) sin cos dt =3
22
(1+k ) 4
12
1212
π
⎰
20
sin t cos tdt
1212
13Γ() Γ()
11311π2
sin t cos tdt =B(, ) =
==⎰0
132442Γ(+
) 2sin 444从而⎰
π
(1-k ) π=. 3
+k ) 4
14
2.6 留数在定积分计算上的运用 例2-14
[9]
计算积分⎰
i θ
2π
sin 2θ
d θ.
a +b cos θ
z 2-1z 2+1
解 令z =e ，则sin θ=，cos θ=，dz =ie i θd θ
2iz 2z
⎰
=
2π
(z 2-1) sin 2θ
⋅θ=2
-4z a +b cos θz =1
(z 2-1) 1dz
=222
z +1iz z =1-2iz (bz +2az +b ) a +b ()
2z
z =
2
⎧⎡⎫⎪⎪
=2πi ⎨Re s [f (z
),0]+Re s ⎢f (z ⎬
⎢⎥⎪
⎣⎦⎪⎩⎭
2a π2π(a . =22b b 2.7 巧用二重积分求解定积分
12
例2-15[10] 计算积分I =⎰解因为ln(1+x ) =⎰=⎰dy ⎰
01
1
1
ln(1+x )
dx .
01+x 2
1
1dx 1x x
，所以I =⎰dy 01+xy 01+x 2⎰01+xy
x
0(1+xy )(1+x 2)
=⎰
101+y 2
1
ππ⎡1⎤
ln 2-I =ln 2+y -ln(1+y ) dy ⎢⎥424⎣⎦
故I =
π
8
ln 2.
2.8 反函数法求解定积分
定理 2-4[11] 若函数f (x ) 在[a , b ]上严格单调且连续，其反函数是
x =f -1(y ) ，且α=f (a ), β=f (b ) ，则⎰f (x ) dx =b β-a α-⎰f -1(y ) dy ．
a
b β
α
定理 2-5[11] 设y =f (x ) 在[a , b ]上可积，α=f (a ), β=f (b ) . 若y =f (x ) 在
[a , b ]上存在反函数x =f -1(y ) （y ∈[α, β]）,
G (x )
g (x ) 在[a , b ]上可积且存在原函数
,
-1
G ⎡⎣f (y ) ⎤⎦
在
b
a
[α, β]
上可积，则
⎰
b
a
f (
-1
x ) =⎰g f (x ) G x (x ) -d ⎰G ⎡x f ⎣(y ) ⎤⎦dy . a α
e
b β
例2-16[11] 计算定积分⎰x 6ln xdx .
1
解 记g (x ) =x 6，它的一个原函数为G (x ) =
a =1, b =e , α=f (1)=0, β=f (e ) =1
17
x ，f (x ) 的反函数为x =e y ， 7
由定理得⎰x 6ln xdx =
1
e
1117111e
x ln x 1-⎰7y dy =e 7-(e 7-1) =(6e 7+1) .
07774949
2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用
定理 2-5[12]若函数f (x ) 在x 0点的领域U (x 0) 内有连续的n +1阶导数，则
∀x ∈U (x 0) ，有
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +
1
f ''(x 0)(x -x 0) 2+2!
+
1(n )
f (x 0)(x -x 0) n + n !
R n (x ) ，其中R n (x ) =
1x (n +1)
f (t )(x -t ) n dt 称为积分型余项． ⎰n ! x 0
13
例2-17
[12]
n
b b -x ）（
(n ∈N +)(0
1(-1) n +1(n +1)! (n +1)
(x ) =解 设f (x ) =，则f n +2
x x
n n +1
b b -x ）b (-1) （1(n +1) n
=() (b -x ) dx ⎰a x n +2⎰a (n +1)! x
⎡11111
n ! -+(b -a ) -(b -a ) 2+=⎢b a n +123
(-1) (n +10! ⎣a a ⎤(-1) n
+n +1(b -a ) n ⎥ a ⎦
b
(1-) n +1
(-1) =. n +1b
n +1
总结
本文归纳总结了定积分计算方法, 其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法、分部积分法、用欧拉积分求解定积分，运用留数计算定积分, 巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用等, 进行了一一列举, 并通过例子加以说明.
14