两类“换元积分法”的联系与区别
杨艳华
（江苏省镇江高等职业技术学校
中图分类号：Ｏ１７５
文献标识码：Ａ
江苏·镇江212000）
文章编号：１６７２－７８９４（２０１３）３４－００４７－０２
式分为两个部分，一部分可以将其拼凑为du 形式，另外一部
那么f(u)积分就能够很容易地得出，基于以上的分则是f(u)，
因素，第一类换元积分法又为凑微分法，这一方法的解题步骤可以转化为：
∫g(x)dx=∫［f φ(x)］d φ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)］+C第二类换元法：假设x=φ(x)有连续导函数，x=φ(x)反函数t=φ(x)存在、可导，若（f x ）连续，且∫［f φ(t)］φ＇(t)dt=F(t)+C，那么∫f(x)dx=∫［f φ(t)］φ＇(t)dt=F［φ(x)］+C
第二类换元法又可以称之为变量置换法，其解题思想是进行变量代换，将原积分简化，继而达到解题的目的。
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摘要不定积分是高等数学中的教学重点与难点，不定
积分计算方法一般被分为换元积分法、直接积分法与分部积分法几种方式，其中，换元积分法又可以分为第一类换元法与第二类换元法两种，帮助学生掌握好第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别，能够有效提高学生应用积分法求解积分问题的能力，第一类积分法与第二类积分法最大的区别就是，第一类积分法不需要设置变量，可以通过凑微法和转化法进行计算，而在使用第二类积分法时，就必须要选择好变量进行替换。关键词两类“换元积分法”联系区别
On the Relationship and Distinction between Two Types of "Integration by Substitution" ／／ＹａｎｇＹａｎｈｕａ
Abstract Ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｓａｋｅｙａｎｄｄｉｆｆｉｃｕｌｔｐｏｉｎｔｏｆｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌａｒｅｇｅｎｅｒａｌｌｙｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｉｎｔｏｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ，ｉｍｍｅｄｉａｔｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ，ａｍｏｎｇｗｈｉｃｈｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｃａｎｂｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｉｎｔｏｔｈｅｆｉｒｓｔｔｙｐｅｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｅｃｏｎｄｔｙｐｅｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．Ｔｏｈｅｌｐｓｔｕｄｅｎｔｓｍａｓｔｅｒｔｈｅｒｅｌａ－ｔｉｏｎｓｈｉｐａｎｄｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｃａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ａｂｉｌｉｔｙｏｆｕｓｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｔｏｓｏｌｖｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅｂｉｇｇｅｓｔｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｖａｒｉａｂｌｅｓａｒｅｎｏｔｎｅｅｄｅｄｉｎｔｈｅｆｏｒｍｅｒｂｕｔｉｍｐｒｏｖｉｓｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅｕｓｅｄｉｎｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ｗｈｉｌｅａｃｅｒｔａｉｎｖａｒｉａｂｌｅｍｕｓｔｂｅｓｅ－ｌｅｃｔｅｄｔｏｂｅｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄｉｎｔｈｅｌａｔｔｅｒ．
Key words ｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆ＂ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ＂；ｒｅｌａｔｉｏｎ－ｓｈｉｐ；ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ
不定积分是高等数学中的教学重点与难点，此类知识也是学生学习重积分、定积分与微分方程等知识的学习技术。高职院校学生的数学基础较差，在理解此类知识方面有着一定的困难，因此，不等积分的教学也就更加困难。在传统数学教材之中，不定积分计算方法一般被分为换元积分法、直接积分法与分部积分法几种方式，在这几种方式之中，换元积分法又可以分为第一类换元法与第二类换元法两种，这就给学生的学习带来了较大的混乱。因此，在实际
“换元积分法”进行深入的分析，分清的教学过程中，对两类
楚两者之间的区别与联系对于帮助学生掌握相关的知识、提升学生的解题能力有着十分重要的作用。下面，就对两类“换元积分法”的区别与联系进行深入的分析。
２第一类换元法与第二类换元法在公式上的联系
与区别
分清楚第一类换元法与第二类换元法在公式上的联系与区别能够让学生更好地理解公式的概念，帮助学生更好地进行应用。
根据上述分析，可以得出：第一类换元法是一种非公式化转化为公式化的过程，第二类换元法则是使用选择变量替换法进行解决，两者主要的区别为，前者为非公式向公式的转化过程，后者则是一种变换，第一类换元法为基础，第二类换元法是前者的推广与发展。
３第一类换元法与第二类换元法在计算上的联系与区别
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例1，求%dx 的不定积分，
1+姨
解题方式如下：
１第一类换元法与第二类换元法的简介
第一类换元法：假设∫ｆ（ｕ）ｄｕ＝Ｆ（ｕ）＋Ｃ，函数ｕ＝φ(x)在讨论区间中可微小，那么∫［f φ(x)］d φ(x)=f［φ(x)］+C
以上这一定理的思想是将变量代换，令φ(x)=u，此时，∫f(u)du=F(u)+C即可转化为∫f(u)du，再根据∫f(u)du=F(u)+C即可得出：F ［φ(x)］+C，
即∫f(x)dx=F(x)+C,∫f(u)du=F(u)+C，
定理1即第一类换元法又可以成为简单换元积分法或者积分形式不变形法，这一方法是将非公式型转化为公式型的一个过程，能够解决含有复合函数的一般积分。
第一类换元法的解题关键就是选择，u=φ(x)，再将积分
作者简介：杨艳华（1982—），镇江高等职业技术学校讲师，研究方向为数学。
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如果采用第一类换元法进行计算，则需要将%
1+姨dx 转化为［f φ(x)］d φ(x)的形式，为了转化为［f φ(x)］d φ(x)的形
%
具体解法如下：式，可以使用分母与分子同时乘以2姨，
%%
%12姨姨=2%dx=%dx=2d 姨%%
1+姨2姨(1+姨) 1+姨%%
姨-2ln(1+姨)+C
上述例题解题的关键因素就是将分母与分子同时乘以%
2姨，这一步看似简单，但是中职学校的数学基础能力相对较差，他们在解题时往往很难想到这样的解题方式，因此，教师在教学的过程中对于此类题目应该进行深入的解读，帮助学生掌握解题的技巧，让学生掌握好转化的方法，这样，在遇到类似的题目时学生就能够很快地把握好解题的要点。
如果使用第二类换元积分法进行计算，解题过程就可以得到简化，在应用第二类积分换元法时，只要将辅助函数21x=t（t ＞0）引入其中，就能够将%dx 中的根号消除，这
1+姨样便可以很快求得结果，具体的解题方法如下：
212t
%dt=2(t-ln|1+t|)+C，
1+t1+姨从以上的解题方式中可以得出，第一类换元积分法的
（下转第49页）
胶体分散体系章节中泥浆性能的测定，黏土可塑性影响因
素等内容，我们可以首先简单讲解些内容，然后让学生亲自动手实验，通过实验来对理论进行验证，最后由教师利用理论知识对实验过程和结果进行归纳总结。这种实践教学方式既提高了学习效果，节省了课时，又能提高学生对新知识的接受能力。
２．４引入案例教学法
材料物理化学课本的特点是概念原理多，内容广而杂，既有基本理论，又有工程实践应用，如果在某些章节实行案例教学为主的教学模式，将会在提高教学成果的同时，提高学生对实际问题的解决能力。而且目前还很少有人把案例
“材料物理化学”教学中，所以这是对“材料教学方法应用到
物理化学”教学手段的一种改革和创新。这种教学方式鼓励学生敢于打破原来的知识框架和结构，让学生有更多的独立思考空间，有更多的方式理解理论知识。
基础。
在“材料物理化学”课程教学过程中，通过对教学内容、教学方法、教学手段进行改革，提高本科专业基础课的教学成果；在教学过程中，可以激发学生对学习的兴趣，调动学生学习的积极性和主动性；从课堂到实验室，拓展了教学时空，使我们的教学活动更加灵活，适应不同学生的学习要求，同时也改进了学生的学习方式和思维，培养了学生综合运用理论知识分析问题和解决问题的能力，以及学生的动手和创造能力，为学生更有兴趣学习专业课，甚至是以后毕业论文和工作奠定良好基础。总之，我们应不断总结教学经验，改进教学手段，探讨新的教学方法，促进本课程教学效
教学质量的提高。果的改善、参考文献
［１］张联盟，黄学辉，宋晓岚．材料科学基础［Ｍ］．武汉：武汉理工大学出
版社，２００４．
［２］陆佩文．无机材料科学基础［Ｍ］．武汉：武汉理工大学出版社，２００３．［３］曾燕伟．无机材料科学基础［Ｍ］．武汉：武汉理工大学出版社，２０１１．［４］王艳荣．“无机材料科学基础”教学实践与改革探讨［Ｊ］．高教论坛，２００７（２）．
３注重实践能力和创新精神的培养
除了在上课时加入实验外，在“材料物理化学”课程学完后，开放实验室，开设综合性实验课。让学生真正做到善于综合运用理论知识分析问题和解决问题的能力，同时也培养了学生的动手能力和创新能力。为学生更好地学习专业课程，以及后期的专业实验课和毕业论文奠定了良好的
（上接第47页）
编辑李少华
姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨
子同时乘以2姨，将%dx 转化为%
%
2姨(1-姨) 1-姨%%2姨2姨dx ，再使用微凑分将%dx 转化为%d %
2姨(1-姨) 1-姨%
再使用直接积分法即可求出结果了。姨，
与第一类积分法相比，第二类积分法需要选择变量进行替换，将式转化为第一类积分法，再根据替换函数的实际特征对具体的解题方法进行分类，这可以分为以下几类：
第一，幂函数代换法幂函数代换法，即选择幂函数充当变量函数，该种方式能够将积式中的根式消除，这样即可将分式转化为不定积分进行计算。
第二，万能代换法
t
万能代换法就是选择变量来替换x=tan，万能代换法
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能够将三角有理式积分转化为有理函数积分，转化完成后，即可使用有理函数进行计算。
第三，三角代换法
三角代换法即选择变量替换分式之中的三角函数，这样即可将其中含有根式的式子消除，再进行计算。
总而言之，第一类积分法与第二类积分法既有一定的区别，也有密切的联系，在实际的教学过程中，教师不仅要采取科学有效的方式提升学生的学习兴趣，还应该帮助学生深入理解两者之间的区别与联系，帮助学生更好地掌握第一类积分法与第二类积分法的解题方法与解题思想，帮助学生更好地使用换元积分法进行解题，提升学生的应用能力。参考文献
[1]左登宪. 两类“换元积分法”的联系与区别[J].新课程研究(职业教育),2008(1).
[2]朱孝春. 一元函数不定积分中换元积分法与分部积分法的教学研究[J].数学教学研究,2011(11).
[3]周在莹. 第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理[J].湖南理工学院学报:自然科学版,2011(12).
[4]高卓玛. 一道不定积分题的多种换元积分解法[J].青海大学学报:自然科学版,2006(5).[5]侯春娟. 关于“第一类换元法求不定积分”的学习方法[J].数学学习与研究,2011(7).
%
解题实质就是转化法与凑微分，先使用转化法，转化完成后，再使用凑微分直接积分，这也是非公式型向公式型转化的过程，第一类积分法的解题思路相对复杂，学生理解起来
第二类积分法存在一定的困难。与第一类积分法相比而言，
的解题思路相对简单，只要选择适当的变量将函数x=t替
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换，再将不定积分%dx 简化，那么就能够通过直接计
1+姨在使用第二类积分法进行解题算来求出问题的答案。因此，
时，其中的关键因素就是选择变量来替换函数，在求解时，选择怎样的变量替换函数需要根据回代函数进行确定。
可以看出，第一类积分法与第二类积分法最大的区别就是，第一类积分法不需要设置变量，可以通过凑微法和转化法进行计算，而在使用第二类积分法时，就必须要选择好变量进行替换。两者之间的联系就是使用第二类积分法时，也需要借助第一类积分法。
在教学的过程中，教师必须帮助学生区分出第一类积分法与第二类积分法解题法之间的联系与区别，不同的题目采取不同的计算方法，这样学生在遇到问题便可以迎刃而解了。
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12姨%
４第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别
有很多积分题目都可以将其转化为第一类积分法与第二类积分法进行计算，但是，对于很多不定积分式子，必须要帮助学生选择好相应的解题方法，这种题目的解决对于高职院校的学生一直都是一个难题，他们对于数学学习的积极性一直都不高，特别是这种难度较高的积分问题，很多学生都有着一定的抗拒性，他们对于此类问题往往含糊不清，更有甚者，破罐子破摔，遇到这类问题就不注意听讲，在课堂上呼呼大睡。因此，教师必须要提升他们的学习兴趣，帮助他们掌握好第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别，这样不仅可以帮助学生掌握解题的方式，也能够提高学生应用积分法求解积分问题的能力。
第一类积分法的核心就是凑微分，该种方法注重非公式化向公式化的转化，该第一类积分法可以分为直接凑微分与间接凑微分两种方式，例如，对于∫cos2xdx 可以利用直
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接凑微分将其转化为∫cos2xd2x ，再利用基本积分公式进
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行计算即可得出结果，而积分%dx 可以将分母与分
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