数学苏教版必修1 幂函数的导数

幂函数的导数

教学目标：

掌握常数函数与幂函数的导数的求法

教学重点：

n n -1(n ∈Q ) 的推导 (x )' =nx 公式

教学过程

一、复习：导数的概念及其几何意义

二、引入新课

1. C ' =0(C为常数)

说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数y =C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：y =f (x ) =C，∴Δy=f(x+Δx) －f(x)=C－C=0 ∆y ∆y lim ∴∆x =0，y '=C′=∆x →0∆x =0，∴y '=0.

n n -1(x )' =nx 2. (n ∈Q )

说明：实际上，此公式对n ∈R 都成立，但证明较复杂，所以这里只给出了n ∈N 的*

n 证明：y =f (x ) =x

n n (x +∆x ) -x ∴Δy=f(x+Δx) －f(x)=

n n -2n n -1n =x +C n x Δx+C n x (Δx)2+…+C n (∆x ) －x 12n

12n -2n n n -1C C C (∆x ) x x n n n =Δx+ (Δx)2+…+·

∆y

12n n -1∆x =C n x n -1+C n x n -2Δx+…+C n ·(∆x )

∆y

n 'y (x ∴=) '=∆x →0∆x lim

1n 1n -1n -2n -1C 2n -1n -1C C C (∆x ) =∆x →0（n x +n x Δx+…+n ·）=n x =nx n n -1'y (x )' =nx ∴= lim

3、例子

1

2x 例1 求 (1)(x3)′ (2)() ′ (3)(x ) ′

解：(1) (x3)′=3x3－1=3x2； 1

2 (2) (x ) ′=(x－2) ′=－2x －2－1=－2x －3 1-1-111122''(x ) =(x ) =x =x =222x (3) 12

例2质点运动方程是

s =1

t 5， s =1t 5, 求质点在t =2时的速度． 解：∵

1s '=(5) '=(t -5) '=-5t -6t ∴ ,

s 't =2=-5⨯2-6=-564．

-∴ 5

答：质点在t =2时的速度是64．