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巧用椭圆的对称性解题
作者：卜以军
来源：《高中生·高考指导》2015年第12期
一、求弦长
例1 已知直线y =3x+2 被椭圆+=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8 的有______（ 填上直线的序号）.
①y =3x-2；②y =3x+1；③y =-3x-2；④y =-3x+2； ⑤y =-3x.
分析 若用弦长公式解决这个问题，则没有认清问题的本质，费时费力. 利用椭圆的对称性就可以轻松求解.
解 作出椭圆和有关直线（图略）. 由于椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称，直线①③④与直线y =3x+2是关于坐标轴或原点对称，所以直线①③④与直线y =3x+2被椭圆截得的弦长相等. 又由图知，直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于8. 故应选①③④.
二、求最值
例2 过原点的直线与椭圆+ y2=1交于A ，B 两点，F 是椭圆的右焦点，求△ABF 面积的最大值.
分析 由椭圆的对称性，可知A ，B 两点关于原点对称.
解 如图1，由椭圆的对称性知，A ，B 两点关于原点对称，所以|OA|= |OB|，S △AOF =S△BOF .由于焦点F 的坐标为（，0），点A 到x 轴距离的最大值为1，所以S △ABF =2S△AOF =2××|yA|≤.所以，△ABF 面积的最大值为.
三、解答直线过定点问题
例3 M，N 是椭圆+ y2=1上不同的两个动点，P 是椭圆上不同于M ，N 的一个动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为-，求证： 直线MN 必过定点.
分析 可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析，初步确定定点的位置后，再进行一般性论证.
取M 为椭圆的上顶点（0，1），P 为左顶点（-2，0），则直线PM 的斜率为. 由椭圆的对称性知，若取N 为椭圆的下顶点（0，-1），则此时直线PN 的斜率为 -.直线PM 与直线PN 的斜率之积为-，从而所求的定点应该在y 轴上. 再取M 为椭圆的左顶点（-2，0），N 为右顶点