中学教与学
二次函数顶点坐标的妙用
郭艳华唐
旺
（天津市宝坻区新开口镇初级中学，３０１８１５）
初中教材对二次函数Ｙ＝ａｘ２＋ｋ＋ｃ
２．巧用函数最大值或最小值（ｎ＃－０）的图像从开口方向、对称轴和顶点三（１）确定解析式中字母的值个方面进行了细致探讨．学习二次函数的关
例３已知二次函数
．
．
ｔ’
键是抓住顶点坐标（一Ｆｂ，丝竿尘）．求解抛
Ｙ＝（ｍ—Ｉ）并２＋２ｍｘ＋３ｍ一２．
二Ⅱ
叶Ｕ
则ｍ＝——时，其最大值为０．
物线的最高点或最低点、函数的最大值或最
小值、抛物线与戈轴的位置关系，以及二次分析：由题意可知鱼喾＝０，即
函数的实际应用题等全都与顶点有关．本文２ｍ２—５ｍ＋２＝０．
谈谈二次函数顶点坐标的妙用，供参考．
解得ｍ＝去或ｍ＝２．
１．巧用顶点概念
（１）确定解析式中字母的取值范围‘
又函数有最大值，图像的开口向下，则ｍ一１＜０，即ｍ＜１．
的最高点，则ｍ的取值范围为——．
例ｌ若０（０，０）是抛物线Ｙ＝（ｍ＋１）菇２因此，当ｍ＝妄时，其最大值为０．
分析：抛物线最高点即为抛物线的顶点，
评注：当二次函数的最大值为０时，所对同时，说明抛物线开口向下，所以有
应的二次方程△＝０．当二次函数有最大值时
ｍ＋１＜０，即ｍ＜一１．
评注：当二次函数的顶点是抛物线的最
抛物线的开口向下，即ａ＜０．
（２）比较代数式的大小高点时，抛物线的开口向下，即ｏ＜０；当二次例４二次函数
函数的顶点是抛物线的最低点时，抛物线的，，
Ｉ
２
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（口≠０）
开口向上，即ａ＞０．
Ｙ
茗＝ｌ
的图像如图ｌ所示．判，一
（２）确定解析式中字母的值断口＋ｂ＞ｍ（ａｍ＋ｂ）一ｌ／
。、．
例２
已知抛物线Ｙ＝菇２＋ｋ＋Ｃ与省
（ｒａ≠１）是否成立．
／ｏ＼ｉ
轴只有一个交点为Ａ（２，０）．求ｂ、ｃ的值．
分析：此题是２００７
（２００４，天津市中考题）
年天津市中考题选择分析：抛物线Ｙ＝石２＋如＋ｃ与茗轴只有题第１０题中的一个选图１
一个交点，则此交点必为顶点，即顶点的坐标项．要判断口＋ｂ＞ｍ（伽＋ｂ）是否成立，整
为Ａ（２，０）．利用顶点坐标公式易得
理后两边同时加上ｃ，得
ｂ＝一４．ｃ＝４．
口＋６＋ｃ＞姗２＋ｂｍ＋ｃ．
评注：二次函数的顶点是对称轴与抛物
因此，只需证明该式成立即可．
线的唯一交点，解题时注意理解顶点概念，掌由图像可知，抛物线的对称轴为石＝１，握其坐标的不同表述方式，做到灵活运用．
开口向下，当戈＝Ｉ时函数值最大，即ａ＋ｂ＋
２００８年第７期
ｃ最大，所以，
ａ＋ｂ＋ｃ＞姗２＋６，，Ｉ＋ｃ
成立，即ｉｆ，＋ｂ＞ｍ（帆＋ｂ）．
评注：顶点的纵坐标即为函数的最大值
或最小值，巧妙利用函数最大值或最小值，可
提高解题提高效率．
３．巧用顶点位置
（１）确定解析式中字母的取值范围
例５二次函数Ｙ＝并２一石＋ｍ，当抛物
线顶点在石轴上方时，则ｍ的取值范围是
分析：由于ａ＝ｌ＞０，抛物线开口向上，当抛物线顶点在舅轴上方时，则它与菇轴无交点，即
Ａ＝ｂ２—４ｎｃ＝１—４ｍ＜０．
所以，ｍ＞毒．
评注：当口＝１＞ｏ，抛物线顶点在ｘ轴上
方时，它与髫轴没有交点，即Ａ＜Ｏ；抛物线顶点在髫轴下方时，则它与菇轴有两个交点，
即Ａ＞０；当ａ＜０时，情况相反．
（２）确定解析式中字母的值
例６抛物线解析式为Ｙ＝菇２—２ｋｘ＋
１６．若其顶点在石轴上，则ｋ＝——；若其顶点在Ｙ轴上，则ｋ＝——．
。分析：若抛物线顶点在戈轴上，则它与省
；轴只有一个交点，即
Ａ＝（一２ｋ）２—６４＝０．解得ｋ＝±４；
若抛物线顶点在Ｙ轴上，则对称轴为Ｙ轴，有
‘
茹：一瓦ｂ：一孚＿ｏ．茹２一互云。一Ｔ
２
ｕ’
解得ｋ＝０．
评注：当抛物线顶点在戈轴上，则它与茗轴只有一个交点，即Ａ＝０；当抛物线顶点在
Ｙ轴上时，对称轴是Ｙ轴。即菇＝０．
４．巧用顶点坐标解决实际问题
利用二次函数顶点坐标解决实际问题
时，根据实际问题的具体要求，设定自变量与函数，并求出它们的函数解析式．但要特别注
意实际问题的意义，注意自变量取值范围对
结果的影响，否则会出现错误．
例７某种商品，当售价为１５元时，每月能卖５００个．价格每上涨１元，卖出个数就要减少２０个．若使每月销售额最大，价格应为多少？
解：销售额随价格的变化而变化．假设某
商品的价格为菇元，销售额为ｙ元，则Ｙ与戈
之间成函数关系．
价格上涨（戈一１５）元，实际卖出
５００—２０（戈一１５）
个，则销售额为
’，＝［５００—２０（髫一１５））菇，
即Ｙ＝一２０ｘ２＋８００ｘ，（１５＜髫＜４０）．
要使Ｙ有最大值，根据顶点坐标，此时
，，最大＝譬＝焉＝８
茹＝一磊ｂ＝２０，
，，最大２—瓦－５石可＝丽２芍ｕｗ。
０００．
．即当价格定为２０元时，每月销售金额最大，为８０００元．
评注：此题的解法属于巧妙利用抛物线
顶点解决实际问题．表面上是顶点的应用，但要注意，此时顶点确实是符合实际的最高点，
也就是石的取值在１５＜石＜４０范围之内．
例８有长为２４ｍ的篱笆，一面利用长为１０ｍ的墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽ＡＢ为菇ｍ，面积为Ｓ舒．当宽多大时，花圃的面积最大？
解：花圃的面积随宽的变化而变化，则Ｓ与菇之间的函数关系是Ｓ＝髫（２４—３石），即
Ｓ＝一３髫２＋２４并．
确定自变量石的范围时，注意花圃的长
不能大于１０，即２４—３ｘ≤１０，所以，等≤茄＜８，
用顶点坐标公式可得
戈５一互五。一乏＿；＿冈２珥，
ｂ
２４
．
５量大２—瓦一２石厕２・ｓ量大＝譬＝葫‰＝４８．
此时，ｘ的取值未在芸≤省＜８范围之内，
中学教与学
已知三边长度如何求三角形内切圆半径
陈幼凯
（江苏省东海县石榴初级中学，２２２３１４）
１．直角三角形即ｃ＝（口一ｒ）＋（ｂ—ｒ）．
若三角形为直角三角形，则可利用直角
１
所以，ｒ＝去（ｏ＋ｂ—ｃ）．
三角形的特殊性来巧妙求解．
二
例１如图１所Ａ
结论：若直角三角形三边长为口、ｂ、ｃ，示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，
内切圆半径为ｒ，则
１
ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ＢＣ＝
ｂｒ内坍四＝告（口＋ｂ—ｃ）．
口．求内切圆的半径ｒ．
Ｅ
２．一般三角形
解：由内切圆的圆心０分别向边ＡＣ、曰Ｃｃ７
Ｄ
ａ
曰
若所给三角形为锐角三角形或钝角三角引垂线，垂足分别为点图１
形又如何求内切圆半径呢？
Ｅ和点Ｄ．
例２如图２所示，在ＡＡＢＣ中，ＢＣ＝口＝
．由ＯＤＣＥ是正方形可知，
２８，ＡＣ＝ｂ＝１７，ＡＢ＝ｃ＝２５．求内切圆的半径．
ＯＤ＝ＯＥ＝ＤＣ＝ＣＥ＝ｒ．
所以，ＤＢ＝口一ｒ，ＡＥ＝ｂ—ｒ．又因为ＢＤ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＡＦ，所以，
ＢＦ＝口一ｒ。ＡＦ＝ｂ—ｒ．
又由ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ，知Ｂ
勰．∞ＤＨ
蠢
８
Ｃ
２３
ＡＢ＝（口一，．）＋（ｂ—ｒ），
图２
所以，根据抛物线性质可知，当菇＝芸时，花
小，而自变量省的取值范围是芸≤菇＜８，所
Ｊ
圃的面积有最大值，为
＇Ａ
以，当髫＝萼时面积最大．
．
Ｊ
・ｓ量大＝一３×（警）２＋２４×了１４＝学（群）．
数学不能脱离生活实际，估计大部分学
评注：此题的解法同样属于巧妙利用抛生在求解时往往会在顶点处找最值，导致错物线顶点解决实际问题．表面上仍然是顶点解，教师应提醒学生通过画函数的图像辅助
的应用，但是此时顶点是不符合实际的最高
观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点
的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形点，也就是菇的取值不在芸≤石＜８范围之
的完美结合．通过此题的训练，学生会对定义
内，这时，就要根据抛物线的性质来判断最大
域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了
值的实际取值．由于抛物线开口向下，对称轴
学生思维的严密性，又为今后灵活运用知识
是戈＝４，在对称轴右侧Ｙ随茗的增大而减
解决实际问题奠定了基础．
二次函数顶点坐标的妙用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
郭艳华， 唐旺
天津市宝坻区新开口镇初级中学,301815中学教与学
TEACHING AND LEARNING IN SECONDARY SCHOOL2008，""(7)0次
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30日