初三中考数学二次函数较难题解析
二次函数的图像考点：
开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．
2二次函数：y=ax+bx+c（a ，b ，c 是常数，a ≠0）
2一般式：y=ax+bx+c，三个点
2顶点式：y=a（x －h ）+k，顶点坐标对称轴
b 4ac -b 2
顶点坐标（－，）． 2a 4a
顶点坐标（h ，k ）
a b c作用分析
│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，
a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－b 0，即对称轴在y
2a
c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c
交点式：y=a(x- x1)(x- x2) ，（有交点的情况）
与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2
对称轴为h =
x 1+x 2 2
一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点)
１. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是y =(x +1) -2则原二次函数的解析式为
2
２. 二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x相同，这个函数解析式为________。
３. 如果函数y =(k -3) x k
22-3k +2+kx +1是二次函数, 则k 的值是______
４. （08绍兴）已知点(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) 均在抛物线y =x 2-1上，下列说法中正确的是（ ）
A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2
B ．若x 1=-x 2，则y 1=-y 2 C ．若0y 2
D ．若x 1y 2
22y =x +bx +c y =x -2x -3，５.(兰州10) 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为
则b 、c 的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
６. 抛物线y =(m +1) x 2+(m 2-3m -4) x +5以Y 轴为对称轴则。M ＝
７. 二次函数y =ax 2+a -5的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是
a +4a +5+2x -1, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 8. 函数y =(a -5) x 2
9. 抛物线y =(3x -1) 2当x 时，Y 随X 的增大而增大
10. 抛物线y =x +ax +4的顶点在X 轴上，则a 值为
11. 已知二次函数y =-2(x -3) 2，当X 取x 1和x 2时函数值相等，当X 取x 1+x 2时函数值为
12. 若二次函数y =ax +k ，当X 取X1和X2（x 1≠x 2）时函数值相等, 则当X 取X1+X2时，函数值为
13. 若函数y =a (x -3) 过（２. ９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝
14. 若函数y =-(x -h ) -k 的顶点在第二象限则，h 0 k 0
15. 已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１. 且过（３. ０）点求解析式？
2222
16. 将y =2x 2-12x -12变为y =a (x -m ) 2+n 的形式，则m ⋅n =_____。
17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６. 且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）
二、一般式交点式中考要点
18. 如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ）
（A ）8 （B ）14
（C ）8或14 （D ）-8或-14
19. 二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x
（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9
20. 若b
（A ）第一象限（B ）第二象限
（C ）第三象限（D ）第四象限
21. 不论x 为何值, 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的值恒大于0的条件是( )
A.a>0,△>0 B.a>0, △
C.a
22. 已知二次函数y =(a -1) x 2+3x +a (a -1) 的图象过原点则a 的值为
23. 二次函数y =x 2-3x -4关于Y 轴的对称图象的解析式为关于X 轴的对称图象的解析式为关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为
24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。
25. 已知二次函数y =ax 2-2x -2的图象与X 轴有两个交点，则K 的取值范围是
26. 二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。
27. 抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____
28. 若抛物线y =x 2+2x +a 的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．a >1 Ｂ．a
Ｃ．a ≥1 Ｄ．a ≤1
）
29. 抛物线y=3x-x2+4与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，
(1)求△ABC 的面积。
(2)若在抛物线上有一点D ，使△ABD 的面积是△ABC 的面积的一半。求D 点坐标(得分点的把握)
30. 已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
31.y= ax2+bx+c图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式
三、二次函数极值问题
58. 二次函数y =ax 2+bx +c 中，b 2=ac ，且x =0时y =-4，则（ ）
A ．y 最大=-4 B ．y 最小=-4
C ．y 最大=-3 D ．y 最小=-3
59. 已知二次函数y =(x -1) 2+(x -3) 2 ，当x ＝_________时，函数达到最小值。
60. 二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x
（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9
61. （2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限, 则函数（ ）
A. 有最大值 B..有最大值
C. 有最小值 D.有最小值
62. 若二次函数y =a (x -h ) 2+k 的值恒为正值, 则 _____.
A. a 0 B. a >0, h >0
C. a >0, k >0 D. a
四、 形积专题.
63.(09年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2) ．
（1）求点B 的坐标；（相似）
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；
（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP ＝S △ABO ．
）
64.(09武汉) 如图，抛物线y =ax 2+bx -4a 经过A (-1，0) 、C (0，4) 两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D (m ，m +1) 在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标．
-3a ) ，65. (０９烟台市中考变式) 如图，抛物线y =ax +bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且经过点(2，
对称轴是直线x =1，顶点是M ．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
，C ，N 为顶点的四边形为(2)经过C ,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P ，A
平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
66.(3)若圆P 是三角形ABM 的外接圆，求外心P 的坐标？
，B ，E 三点的圆交直(4)设直线y =-x +3与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B ，D 重合），经过A
线BC 于点F ，试判断△AEF 的形状，并说明理由；
2
五、二次函数应用利润问题
67. （贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）
68. （2009·洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件）
与每天销售量（件）之间满足如图3-4-14所示关系．
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；
（2）①试求出与x 之间的函数关系式；
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。
y y
六、二次函数应用几何面积问题+存在性问题
69. （2007年韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图4）. 若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym ².(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
70. 如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花
2圃的宽AB 为x m，面积为S m．
（1）求S 与x 的函数关系式；
2（2）如果要围成面积为45 m的花圃，AB 的长是多少米？
2（3）能围成面积比45 m更大的花圃吗？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
71.(08 重庆) 已知：，抛物线与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；
72. （3）若平行于x 轴的动直线与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
部分答案
49.4
50.B
56.4
－1＜x ＜3
解析：（1）观察图象可直接得出销售单价定为30元和40元时相应的日销售量分别为400件和500件.
（2）①因为图象过（30，500）、（40，400）两点，所以利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式；
②表示出利润与销售单价之间的函数关系式，利用函数的增减性分析求解. 图3-4-14
解：（1）500件和400件；
（2）①设这个函数关系为y = k x +b
∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，
⎧k =-10⎧500=30k +b ∴⎨ 解得⎨ b =800400=40k +b ⎩⎩
∴函数关系式是：y =－10x +800
②设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得
W=（x －20）（－10x +800）
=－10（x －50）+9000
∵－10＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线.
其对称轴为x=50，又20
在对称轴的左侧，W 的值随着x 值的增大而增大
∴当x=45时，W 取得最大值，W 最大=－10（45－50）+9000=8750
22
答：销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为8750元。
规律小结：利用二次函数解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量，用函数表达式表示出它们之间的关系；（3）利用二次函数的有关性质求解；（4）检验结果的合理性，写出问题的答案.
解：（
1）由题意，得）
解得
所求抛物线的解析式为：
（2
）设点
由的坐标为
，得，过点
，作． ． 轴于点．
点的坐标为
，
，．
． ．
．
． ． ， 即又
当时，
（3）存在． 在中． （ⅰ）若
又在， 有最大值3，此时． ，，
的坐标为
，
或
作，．． ． ． 轴于点， ． ． 中，．此时，点，得的坐标为：，过点由此时，点（ⅱ）若
由等腰三角形的性质得：在等腰直角由此时，点（ⅲ）若中，，得的坐标为：，，或，．． ． ，且， ．
， 点到的距离为，而
此时，不存在这样的直线，使得
综上所述，存在这样的直线，使得或
或， 是等腰三角形． 是等腰三角形．所求点或的坐标为：