人教版中考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．3的倒数是
A ．3
B．-3
C．
1
3
D．-
1 3
2．今年初，惊闻海地发生地震，中国政府和人民在第一时间作出支援海地的决定：1月13日，中国红十字会向海地先期捐款1 000 000美元，将1 000 000用科学记数法表示为 A ．10⨯10 B．1⨯10
5
6
C．0. 1⨯10
7
D ．1⨯10
5
3．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是
A ． B ． C． D．
4．如果半径分别为2cm 和3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是
A ．1cm B．5cm C．1cm 或5cm D．小于1cm 或大于5cm 5．某小组7名同学积极参加支援“希望工程” 的捐书活动，他们捐书的册数分别是（单位：本）：10，12，10，13，10，15，17，这组数据的众数和中位数分别是 A ．10，12
B．10，13
C．10，10 D．17，10
6．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为 A ．
1
3
B．
1 2
C．
1 4
D．
1 6
7．不等式组
⎨
⎧x -2≥-1,
的解集在数轴上表示正确的是
A．．
C
．
．
8．如图所示是张老师晚上出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是
A ． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．在函数y
x 的取值范围是___________． 10．分解因式：a b -4b
11．若一个正n 边形的一个内角为144°，则n 等于 ．
12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，
2
3
A 3B 3C 3D 3„„每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．
三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）
013
．计算：1|+2-2-2sin60︒+． （π-2010）
14．解方程：x -2x -2=0．
15．已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ．
求证：AB=AF．
A
E F
2
B
D
(x -1) 2x 2
+16．已知：x -2=0, 求代数式2的值．
x -1x +1
2
17．如图，一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2= （1）求出这两个函数的解析式；
m
的图象相交于A 、B 两点． x
（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，y 1
18．列方程或方程组解应用题：
中国2010年上海世博会第三期预售平日门票分为普通票和优惠票，其中普通票每张150元人民币，优惠票每张90元人民币．某日一售票点共售出1000张门票，总收入12.6万元人民币．那么，这一售票点当天售出的普通票和优惠票各多少张？
注：优惠票的适用对象包括残疾人士、老年人（1950年12月31日前出生的）、学生、身高超过1.20米的儿童、现役军人．
四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分)
19．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD =60°，若CD =3，
AB =8，求梯形ABCD 的高．
20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =
A
D
B
1
，求⊙O 的直径．
2
21．国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．某中学为了了解学生体育活动情
况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”．以下是根据所得的数据制成的统计图的一部分．
图
1
图2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）每天在校锻炼时间超过1小时的人数是 ； （2）请将图2补充完整；
（3）2010年我市初中毕业生约为9.6万人，请你估计今年全市初中毕业生中每天锻炼时间超过1小时
的学生约有多少万人？
22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线
上． 操作示例
当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形． 实践探究
（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ， b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
E
2b ＜a
图1
2b ＝a
a ＜2b ＜2a
图3
b ＝a
图 4
联想拓展
图2
小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼
成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．
五、解答题（共3小题，共22分) 23．（本小题满分7分）
已知二次函数y =x 2-mx +m -2．
（1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
b ＞a
图5
（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），
一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
24．（本小题满分7分）
直线CD 经过∠BCA 的顶点C ，CA=CB．E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CFA =∠α． （1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠B C A =90, ∠α=90
，则EF
-AF （填“>”，“
②如图2，若0
（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关
系，并给予证明．
25．（本小题满分8分）
已知抛物线y =x 2-x -2． （1）求抛物线顶点M 的坐标；
（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上
的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
B
图1
F D
A
图2
A
B
D
A
图3
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分 32分）
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．x ≥3 10．b (a +2b )(a -2b ) 11．10 12．80 三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）
113．解：原式=-1+-2⨯+1 --------
42
4分 =
分
∴原方程的解为x 1=1+，x 2=1-．-- 5分
15．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD 且AB=CD． ∴
∠
1
． -------------- 54
分
14．解法一： x -2x +1-2=1， -------------- 1分
2
F =∠2, ∠1=∠
D ． --------------- 1分
∵E 为AD 中点， ∴
(x -1) =3
-------------- 2分 x -1=±-------------- 3分
2
AE =ED .
，--------------- 2分
在△AEF 和△DEC 中
，x =1±3． ------------- 4分
∴原方程的解为x 1=1+，x 2=1-3．--- 5分
解法二：a =1，b =-2，c =-2，
△=b -4ac =4+8=12>0, ------ 2分
2
-b ±b -4ac 2±23∴x = ------ 4==1±．
2a 2
⎧∠F =∠2，
⎪
⎨∠1=∠D ，
⎪AE =ED ，⎩
△
∴AEF ≌△
DEC ． -------------- 3分
∴
--------------- 4分
∴
-------------- 5分
2
x 2 ------------ 16．解：原式=(x -1) +
（x +1)(x -1) x +1
AF =CD .
AB =AF .
2
1分
=
x -1x 2分 +
x +1x +1
------------ 2分
=x 2
+x -1x +1
． ------------- 3分
∵x 2
-2=0，∴x 2
=2． ∴原
式
=
2+x -1x +1=x +1x +1
=1． ------------- 5
分
17．解：（1）由图象知反比例函数y m
2=
x
的图象经过点B (4，3) ， ∴3=m
4
． ∴m =12． ---------- 1分 ∴
反
比
例
函
数
解
析
式
为
y 2=
12
x
． ---------- 2分 由图象知一次函数y 1=kx +b 的图象经过点
A (－6，－2) ， B (4，3),
∴⎧⎧1⎨-6k +b =-2， ⎪k =，⎩4k +b =3. 解得⎨⎪2
⎩b =1．
--------- 3分
∴一次函数解析式为y 1
1=2
x +1． -------- 4分
（2）当0
18．解：设当日售出普通票x 张，则售出优惠票（1000-x ）张， ------ 1分 根据题意, 得:150x +90（1000-x ）=126000，------ 3 分
解方程得 x =600． ------ 4
∴1000-600=400．
答：当日这一售票点售出普通票600张，
优惠票400张． ------- 5 分
四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分） 19. 解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．
∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分
又∵DC ∥AB ， ∴四边形
DCEB 为平行四边形．---------------- 2分∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分 又∵DC ∥AB ，AD =BC ， ∴DB =AC =CE ．
∴△ACE 为等边三角形． ∴
AC =AE =11， ∠
CAB =60°． -------------------------------------------------- 4分
过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×∴
． 2高
为
梯形ABCD 的
13． -------------------------------------------------- 5分
20. （1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点, O为AB 中点,
∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ----------- 1
分
∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC =90°. ∴∠ODE =∠DEC =90°. ∴OD ⊥DE 于点D .
∴ DE 为⊙O 的切线． ------------ 2分
（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ADB =90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB =90°.
∵ D 为AC 中点, ∴AB=AC． 在
Rt
△
DEC 中，∵DE =2 ,tan C =
12
, ∴EC =
DE
=4tan C
.
------------------------- 3分
由勾股定理得：DC =2.
在Rt △DCB 中， BD=DC ⋅tan C =5．由勾股定理得： BC=5.
∴
--------------------------- 4分
AB= BC =5.
∴
⊙
O 的直径为5.
--------------------------- 5分
21. 解：(1)每天在校锻炼时间超过1小时的人数是390人；----------------- 1分
(2)
填
图
正
确
；
----------------- 3分
(3)每天在校锻炼时间超过1小时的学生约为7．2万
人.----------- 5分
22．解：（1）a +b ； ------------------ 1分
（2）剪拼成的新正方形示意图如图2—图4中的正方形FGCH ． 联想拓展：能剪拼成正方形. 示意图如图5．
正确画出一个图形给1分.
五、解答题（共3小题，满分22分）
23．（1）证明：令y =0,则x -mx +m -2=0．
∵
△
2
2
2
B
图2
(E D
H
B
(G
D C 图4
H ) E
图5
E
图3
=(-m ) 2-4(m -2) =m 2-4m +8
=
(m -2) 2+4
,
--------------------------- 1分
又∵(m -2) 2≥0， ∴(m -2) 2+4>0．即△>0．
∴无论m 为任何实数，一元二次方程x -mx +m -2=0总有两不等实根． ∴
该
二
次
函
数
图
象
与
2
x 轴都有两个交
点． -----------------------------2分 （2）解：∵二次函数y =x -mx +m -2的图象经过点（3，6）,
2
2
∴ 3-3m +m -2=6. 解得 m =
1
. 2
解
析
式
为
∴二次函数的
y =x 2-
13x -22
.
---------------------------- 3分
（3）解：将y =x 向下平移2个单位长度后得到解析式为： y =x -2. ---------------------------- 4分
1⎧
x =，⎧y =x -2，1⎧x 2=1，⎪⎪⎪2 解方程组⎨ 得 ⎨⎨132
3y =x -x -．⎩y 2=-1．⎪⎪y =-．22⎩1⎪2⎩
O
1313
x -的交点为A (, -) ，B (1, -1) ． 2222
13
∴点A 关于对称轴x =的对称点是A ' (0, -) , 点B 关于x 轴的对称点是B ' (1, 1) .
42
∴直线y =x -2与抛物线y =x -
2
设过点A ' 、B ' 的直线解析式为y =kx +b ． 3⎧
∴⎪b =-2， 解得
⎨⎪⎩k +b =1．
5⎧
k =，⎪⎪2⎨
⎪b =-3．⎪⎩253
∴直线A ' B ' 的解析式为y =x -.
22
直
线
∴
A ' B '
与x 轴的交点为
3
F (, 0) 517E (, -) 48
.
----------------------------------------------- 5分
与
直
线
x =
14
的交点为.
----------------------------------------------- 6分
则点E (, -) 、 F (, 0) 为所求．
过点B ' 做B ' H ' ⊥AA ' 的延长线于点H ' ，∴B ' H =在Rt △A ' B ' H 中，A ' B ' =B ' H 2+A ' H 2=29.
2∴
所
求
最
短
总
路
径
的
长
为
147835
5
，HA ' =1. 2
AE +EF +
FB =A ' B '
=
.
-----------------------------------------------7分 24
．
解
：
（
1
）
EF =
BE -AF
；
----------------------------------------------- 1分
(2)
∠α+∠BCA =180°；
----------------------------------------------- 3分
(3)
探
究
结
论
：
EF=BE+AF.
----------------------------------------------- 4分
证明：∵∠1+∠2+∠BCA =180°, ∠2+∠3+∠CFA =180°.
又∵∠BCA =∠α=∠CFA ，∴∠1=∠3. ------------------ 5分
1
∵∠BEC =∠CFA =∠α, CB =CA ,
∴△BEC ≌△CFA . ----------------- 6分
∴BE=CF , EC=AF.
2
3
∴EF=EC+CF=BE+AF. ------------------- 7分
19⎫25．解：（1）∵抛物线y =(x -1) 2-9∴顶点M 的坐标为⎛ , -⎪． -------- 1
24⎝24⎭
（2）抛物线与y =x 2-x -2与x 轴的两交点为A (-1,0) ，B （2，0）．
设线段BM 所在直线的解析式为y =kx +b ．
⎧2k +b =0, 3⎧⎪⎪k =, 3∴⎨1 --------- 22 ∴线段BM 所在直线的解析式为y =x -3．9解得⎨
k +b =-. 2⎪⎪⎩b =-3. 4⎩2
分
32
x -3. ∴x =-t +2． 23
112121
∴S 四边形NQAC ＝S △AOC ＋S 梯形OQNC =⨯1⨯2+(2+t )(-t +2) =-t +t +3． ----------- 3
22333
设点N 的坐标为(x , -t ) ．∵点N 在线段BM 上，∴-t =
分
∴S 与t 之间的函数关系式为S =-t +
分
（3）假设存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为P （m ，n ），则m >
1
3
2
19t +3，自变量t 的取值范围为0
12
且n =m -m -2． 2
PA 2=(m +1) 2+n 2，PC 2=m 2+(n +2) 2，AC 2=5． 分以下几种情况讨论：
⎧n =m 2-m -2, ⎪①若∠PAC ＝90°，则PC =PA +AC ．∴⎨ 2222⎪⎩m +(n +2) =(m +1) +n +5.
2
2
2
解得m 1=
6分
2
⎧n =m -m -2, ⎪②若∠PCA ＝90°，则PA =PC +AC ．∴⎨
2222
⎪⎩(m +1) +n =m +(n +2) +5.
515⎛57⎫． ----------- ， m 2=-1．∵ m >．∴m =．∴P 1 , ⎪222⎝24⎭
222
解得m 2，m 133=
34=0．∵m >2，∴m =352．∴P ⎛
⎫2 ． ⎝2, -4⎪⎭
当点P 在对称轴右侧时，PA ＞AC ，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．∴
存
在
符
合
条
件
的
点
P ，且坐标为
P ⎛35⎫
2 ⎝2, -4⎪⎭
． ---------------- 8分
P ⎛ 57⎫
1⎝2, 4⎪⎭
，