活用第二定义解决圆锥曲线大问题

利用第二定义解圆锥曲线

圆锥曲线第二定义表述：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合。定点即为焦点F，定直线即为准线，比值即为离心率e。对于圆，椭圆，双曲线，抛物线中离心率满足下面关系：

e0圆，0e1椭圆，e1抛物线，e1双曲线

对于圆不多做解释，现在仅对后面三者做简单推导，以及在高考中如何运用推导简化计算，免于讨论。下面以焦点在x轴的椭圆为例。 x2y2

对于椭圆标准方程221我们知道下面几个等式： ab

ca2a2b2

e，准线方程：

x，pc accc

如上图直线l过其中一个焦点F，为简化推导我们假定其过右焦点，上图准线已作出，直线倾斜角为β，下面我们开始做推导：

有椭圆的第二定义我们知道下面关系:

MFeMP和NFeNQ

那么:

epMEMFpMFCOSe1ecos（1）NQpNQCOSeep NQ1ecos

MN2ep

1e2cos2

同理一样的方法那么双曲线和抛物线中有

2ep双曲线MN1e2cos2

2p抛物线MNsin2

对于（1）式可以留意一下，对于某些向量计算可简化成这样计算，对于双曲线为何加上绝对值呢？留作思考。

下面就对这个推论加以应用，看看究竟有何用处：

x2y2

132（2007全国）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．过

F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P．

22x0y01(x，y)0032P（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

对于第一问不再解释，直接做第二问。

直线BD，AC过焦点且垂直，那么我们知道四边形的面积可以

表述为AC与BD之积的一半。

我们设直线AC的倾斜角为，直线BD的倾斜角为。（由于直线倾斜角对称性质

22

由于AC和BD垂直，那么必有sin2sin21.

于是我们可以这样写出：

2ep

1e2cos2

2ep2epBD1e2cos21e2sin2

1SABCDACBD2

2e2p2

1e2(sin2cos2)e4sin2cos2AC

2e2p2

11e2e4sin224

8e2p2

4(1e2)e4sin22

这里我们知道要是S最小则此时我们可以甚至直接令和，二者互相垂直故而可以这样认为规定）

4

196这里我们知道e2，p24,带入求得最小值为325

这里避开了斜率是否存在的讨论，另外这种方法是已经经过很多次训练的，当碰到这样的题时能够很快的计算，其实推导什么的，熟练了很快就能写出因为太有特点了。

除了2007年再看下2005年全国二卷：P、Q、M、N四点都在椭y2x12圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。 已知PF与PQ共线，2

MF与FN共线，PFMF0。 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

是不是和2007年的一样呢，如果用这个方法是不是很快，这道题可是14分啊，做那么快似乎不公平啊，呵呵。

光这样还不够，有些题出的是向量FM乘以FN最值那么用这个是不是又快一些呢。最后这仅仅是一个推导，同理可以看下当有些交点在准线上时一些关系也可用这个方法带入。