导学视窗思维训练
再现历史故事中的思考方法努力提高小学生的思维能力
江苏高邮市第一小学(225600)
孙宏
运用学生非常熟悉的历史故事中解决问题的思考方法,巧解数学问题,往往会收到事半功倍的效果,同时又训练了学生的数学思维能力。
一、“鲁班造锯”与类比联想法
当鲁班的手不慎被一片丝茅草边上的许多细齿割破时,他顿时受到启发,进而发明了锯子。这种根据两类事物在某些方面的相同或相似之处,把一类事物迁移到另一类事物中去,认识新事物或做出新发现的思维方法叫类比联想法。
例1
装运一批苹果,如用大筐装,需80筐;如用小
筐装,需120筐,每个大筐比小筐多装20千克。问这批苹果共有多少千克?
解析:这道题,乍看起来似乎难以找到解题的突破口。但如果把装运苹果看做“一项工程”,大筐、小筐分别看做两个“工程队”,筐数看做“时间”,由此类比联想到工程问题的解法,就可以很快得到“20÷(180-1
120
)=4800(千克)”
的算式。[点评:小学数学中很多题目形同、质似,运用类比联想的思考方法,可以将不少貌似生疏的题目转化为熟悉的问题去解决。为了使“类比联想”这一思维活动在解题过程中真正发挥作用,应当注意:(1)及时回顾和总结所学的基础知识与解题方法;(2)善于发现问题与知识的联系,判断问题之间的相似性。]
二、“割圆求周”与极限思想
三国时期的数学家刘徽始创了用正多边形的周长去逼近圆的周长求出了圆周率的值是3.14,这种“割圆术”实际上就是数学中的极限思想。即当人们观察到一系列近似解演变的趋势不断向一定值逼近时,凭直觉猜想这一定值就是所求的精确解。下面一题运用极限思想,可变无限为有限,使所求问题迎刃而解。
例2
数学活动课上,李老师讲了我国古代数学家
刘徽在公元三世纪用“割圆术”求得的近似值为3.14后,出示了一道计算题:“求
112+4+1
8
+……的值。”王龙经过认真思考后,很快求出了结果,受到老师和同学们的赞扬,请你写出他的解答过程。
解析:由于和式有无限项,通分逐个相加,很难才能得出结果。若仔细观察和式的特征便会发现,从第二项起,后面的一项都是它前一项的一半。因此,运用“割圆求周”的极限思想解题。即用一条线段表示总量“1”,则二分之一条线段表示
1,四分之一条线段表示
124
……依次类推,构造出如图1所示的线段图。从图中,我们可以直观地看到:
1+
1+1+1+……=1。24
816
11112
48
16……
图1
[点评:这是一道求无穷递缩等比数列和的高中数学题,但小学生运用已有的数学思想与构造线段图法也能使问题获解,训练了学生观察、迁移、猜想、探究的能力。]
三、“灌水取球”与巧设辅助法
相传文彦博小时候和伙伴们一起玩耍,小皮球不慎落入很深的树洞中,其他小孩纷纷用手去掏,而他不同凡响,想出灌水取球的妙法,他在这里实际上采用了一种辅助措施“灌水”。当数学问题中因缺少条件难以解决时,可以巧妙地增设辅助量,使其在原条件的基础上作适当的补充或延伸,从而使问题获解,这就是数学中常用的辅助策略。
例3
李明有急事从甲地到乙地,原计划骑自行车
去,碰巧有一辆汽车可以搭乘。于是乘汽车走了前一半路程,速度是自行车的3倍,但是后一半路程只有马车可乘,速度要比自行车慢一半,那么实际的走法比原计划的走法是快还是慢?
解析:若能将两种走法所用的时间求出来,也就知道问题的答案了,然而题中缺少路程和速度。为此,设马车的速度每小时走a公里。依题意可得,自行车的速度是每小时走2a公里,汽车的速度是每小时走6a公里。再设甲、乙两地的路程为2b公里(也可设为b公里,但不如2b方便),那么骑自行车从甲地到乙地所用的时间为2bb,而实际走法从甲地到乙地所用时间为
b2a=a
6a+
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小学教学参考
数学20085
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ba。显然,bbb6a+a>a,所以实际走法比原计划的走法慢。
[点评:在上述的解法中,虽然引进了速度a和路程2b,但并未求出它们的值,只是借助它们铺路搭桥,顺利地完成解题任务。通过适当引入辅助量,在解答数学题中有着十分广泛的应用。]
四、“曹操称象”与等价变换法
曹操要知道大象的重量,聪明的曹冲想出用石头代替船上的大象,抓住船下沉到同一刻度时,船上所装的大象与所装的石头等重这一关键,分次称出石头的重量,也就得到了大象的重量。曹冲称象的思维方法,在数学中叫做等价变换法。
例4如图2所示是由大小两个正方形组成的图
形,它们的边长分别是12厘米和8厘米,求阴影部分的面
积。
B
MAN
F
D
E
C图2
解析:根据题中的条件,阴影部分三角形ABC的底和高未给出,它的面积也就很难求得,必须另辟蹊径。连接BE,因为△ABE和△CBE等底等高(底同为小正方形边长,高同为大正方形边长),所以S△ABE=S△CBE。若这两个三角形同时减去△BEF,则△ABF与△CEF的面积相等。当△ABF与△CEF同时加上△ACF时,△ABC与△ACE的面积相等,而S△ACE=
12S故S1
正方形AECN,△ABC=2
×8×8=32(平方厘米)。(注:也可用以下方法求解:S△ABC=S正方形MBDE+S正方形AECN-S△BDC-S△ACN-S△ABM)
[点评:对于非特殊位置、形状或缺少条件的图形,在求其面积时,可将图形进行等价变换,变为易求面积的图形,进而化难为易。另外,数学中的加减变换、乘除变换等,用这些等价变换的方法会给我们解题带来很大的方便。]
五、“草船借箭”与逆向思考法
为了取胜,诸葛亮立下军令状,三天内完成制造十万支狼牙箭的任务。在直接制造无法完成的情况下,他借用草船,轻而易举地得到对方曹操“送”来的十万支狼牙箭。诸葛亮解决问题的思维方法是正向思考难以进展时,改变思考角度,去做与习惯性思考完全相反的探索,收到了意想不到的效果,这就是人们在解决问题时的逆向思考法。
小学教学参考
数学20085
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例5
计算:2006÷(
11×2+12×3+1
3×4
+……1
2006×2007
)
解析:按常规思路求解,很难求出结果。如果仔细观察小括号和式中每一项的结构特征,就可以发现每一项可逆向运用异分数减法的法则将它分裂成两个分数的差,
即2006÷(
11×2+12×3+1
3×4
+……12006×2007)=2006÷[(111111
1-2)+(2-3)+(3-4)
+……+(
12006-12007)]=2006÷(1-1
2007
)=2006÷
20062007=2006×20072006
=2007。[点评:有些数学题用正向思维难以求解,这时不妨把问题倒过来想一想,会获得意外的成功。数学解题中,公式、法则、方法等逆向思维的具体应用,会收到立竿见影的效果。]
六、“砸缸救人”与打破常规法
司马光砸缸救人是小学生又一个非常熟悉的历史故事。当一个小朋友掉进大水缸里,其他小朋友想到的是“让人离开水”,在无法把落水小孩救起时便惊惶失措,而司马光想到的是“让水离开人”,即在紧要关头把缸砸破,让水流出去,救出了小朋友。司马光的做法,就是一种打破常规具有创新思维的方法。
例6
已知图3中圆的面积与长方形的面积相等,
圆的周长是25.12厘米,求长方形的长。
O
图3
解析:(1)圆的半径(也是长方形的宽)为25.12÷3.14÷2=4(厘米);(2)圆的面积(也是长方形的面积)为3.14×42=50.24(厘米);(3)长方形的长为50.24÷4=12.56(厘米)。
以上解答完全正确,若我们打破常规,可以获得以下的创新解法。由已知条件“圆的面积与长方形的面积相等,且长方形的宽就是圆的半径”,联想到圆的面积公式的推导过程是把单位圆剪成与它面积相等的近似长方形,长方形的宽就相当于圆的半径,长就相当于圆周长的一半,即25.12÷2=12.56(厘米)。
[点评:这种打破常规的解法别具一格,与常规解法相比,思路清晰、方法灵活、步骤简捷,训练了学生的联想创新能力。]