平面向量知识点汇总

平面向量

一、平面向量的加法和乘积

rrrr1、向量加法的交换律：abba

rrrrrr2、向量加法的结合律：(ab)ca(bc)

rr3、向量乘积的结合律：(a)()a

rrr4、向量乘积的第一分配律：()aaa

rrrr5、向量乘积的第二分配律：(ab)ab

二、平面向量的基本定理

rurur如果e1、e2是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a，有且只有一对实

rurur数1、2，使得a1e12e2。

urur（1）我们把不是共线的e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；

rurur（3）由定理可以将平面内任一a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

rurur（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1、2是被a、e1、e2唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算

rrrrrr1、已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)， rrab(x1x2,y1y2)。

uuruuruur2、已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)。

rr3、已知a(x1,y1)和实数，则a(x1,y1)(x1,y1)。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件

1、平行（共线）：

rrrr基本定理：a、b互相平行的充要条件是存在一个实数，使得ab。

rrrr定理：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a∥b的充要条件是x1y2x2y10。

2、垂直：

rrrr基本定理：a、b互相垂直的充要条件是ab0。

rrrr定理：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a⊥b的充要条件是x1x2y1y20。

五、平面向量的数量积

rrrrrrrr定义：非零向量a、b，它们之间的夹角为，则abcos就称作a与b的数量积，记作ab，rrrr即有ababcos，0。

rrrr性质：非零向量a、b的夹角为，e是与b同向的单位向量，那么

rrrrr（1）aeeaacos；

rrrr（2）abab0；

rrr

2r（3）aaa或a

rrab（4）cos； ab

rr（5）abab。

rrrrrr数乘结合律：(a)b(ab)a(b)

rrrrrrr分配律：(ab)cacbc

六、向量的长度、距离和夹角公式

2rr22（1）已知a(x1,y1)，则axy，即a（长度公式）

uur

（2）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)，AB（距

离公式）

rr（3）已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，它们之间的夹角为，则

rrab，0。（夹角公式） cosab