2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
教材分析
本节内容是数学必修4 第二章第三节的第二课时，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”. 此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征, 而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.
一、教学目标
重点：平面向量基本定理
难点：平面向量基本定理的应用
知识点：平面向量基本定理，向量的正交分解及坐标表示
能力点：通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。
教育点：引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受
数学的魅力。
自主探究点：平面向量基本定理
考试点：平面向量基本定理，向量的正交分解及坐标表示．
拓展点：转化思想的应用理解．
二、引入新课
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G ，下滑力为F 1，木块对斜面的压力为F 2，这三个力的方向
在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算. 力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和. 将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.
【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．
【设计说明】学生探究回答．
三、探究新知
1．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量 a 均可以分解为不共线的两个向量a 1, a 2，使→→→ 1
a =λ1a 1+λ2a 2，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便． 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
1 a =xi +yj „„„„○
我们把(x , y ) 叫做向量a 的（直角）坐标，记作
2 a =(x , y ) „„„„○
2式叫做向量的坐标表示. 与其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○．a 相等的向量的坐．．．．．．．
标也为．．．(x , y ) .
特别地，i =(1, 0) ，j =(0, 1) ，0=(0, 0) .
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作=a ，则点A 的位置由a
唯一确定. 设=xi +yj ，则向量的坐标(x , y ) 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标(x , y ) 也就是向量的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. →→→
四、理解新知
平面向量的正交分解以及坐标表示
五、运用新知
例1设e 1、e 2是平面内一组基底，证明：当λ1e 1+λ2e 2=0, 时，恒有λ1=λ2=0.
证明：假设λ1≠0, 则由λ1e 1+λ2e 2=0, 得
所以e 1、e 2是共线向量，与已知e 1、e 2是平面内一组基底相矛盾，所以λ1=0,
同理λ2=0, 故恒有λ1=λ2=0.
变式练习：设两个非零向量a , b 不共线，试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线
（丛书127页12题） →→→→→→→→→→→→→→→→→→
例2用基底i , j 分别表示向量a , b , c , d ，并求出它们的坐标
2 →→→→→→
a =AA 1+AA 2=2i +3j ∴a =(2,3)∴b =-2i +3j =(-2, 3)
c =-2i -3j =(-2, -3) d
=2i -3j =(2, -3) ==(4, 5) -(2, 2) 【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．
【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．
变式练习: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |=4，以向量i 、j 为基底，向量a 如何表示？
a
=+2j
六、课堂小结
平面向量的正交分解以及坐标表示
【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．
七、布置作业
1．书面作业
必做题：P102习题2.3A 组：3，4, 5, 6
选做题：P102习题2.3B 组：3，4.
【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解向量的有关概念，起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．
八、教后反思
九、板书设计
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本节课主要研究了平面向量的正交分解以及坐标表示，由于物理当中力的正交分解应用比较广泛，所以这节课的内容就显得比较简单，学生很容易接受，所以我认为没有必要作为一课时的内容，可以和平面向量的基本定理合二为一.
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