第１８卷第２期
２００２年６月新疆教育学院学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＩＮＪＩＡＮＧＥＤＵＣＡＴＩＯＮＩＮＳＴＩＴＵＩＥＶ０１．１８．Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００２
徐红岭
（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐８３０００８）
摘要：本文对ｊＺ４＂－常用高等数学教材中存在的部分问题进行了探讨。给出了用高阶导数判别拐点的一个方
法；介绍了一种特殊函数极限存在的两个定理和另一种函数极限的求法，谨供教学参考。
关键词：高等数学；高阶导数；函数极限；拐点
１．引言
到目前为止，国内高等数学教材已有许多版本多数甚至再版。虽然有的经过修改，但是仍然存在着若干问题需要ｊ拉—步探讨和商榷。这些问题大部分是教学过程中和学生学习过程中所能发现的，并非偏颇之见，因此，笔者谨就以下个问题进行交流。
关于拐点的判别
拐点在各类高等数学书中有几种不同的定义方式，文献［１］（２０３页）定义是：“连续曲线ｙ＝厂（ｚ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点ｏ＂文献Ｅ２１（１６１页）定义是：“设函数Ｙ＝，（ｚ）在所考虑的区间内是连续的，则曲线ｙ＝ｆ（３ｃ）的凹部与凸部的分界点，称为曲线∥＝八ｚ）的拐点。”于是，寻找曲线Ｙ＝，（ｚ）拐点的充分条件为：“如果厂（ｚｏ）＝ｏ而厂（ｚ）在３Ｃ的左右两侧邻近异号，那么点［ｚｏ，ｆ（ｚｏ）］就是一个拐点。
下面给出利用高阶导数判别拐点的—个方法。
定理设厂（ｚ）在．７Ｃｏ的某—邻域内有直到咒阶的导数，且，神（ｚ）在ｚｏ点连续。
／（ｚｏ）＝厂（ｚｏ）＝……尸＿１（ｚｏ）＝０
而，”’（３ｃｏ）≠ｏ，那么当以为奇数时［ｚｏ，ｆ（ｘｏ）］是拐点，当咒为偶数时，［．７Ｃｏ，ｆ（３ｃｏ）］不是拐点。
证明令ｇ（ｚ）＝厂（ｚ）则ｇ（３ｃ）在３Ｃ０的某—邻域内有直Ｎ（ｎ一２）阶的导数，矿＿２（ｚ）在．２７０点连续，且ｇ（．２７０）＝９７（３ｃｏ）＝……＝ｇ（ｎ－３）（３ｃｏ）：０７，ｇ（ｎ－２）（３ｃｏ）知，由连续函数保号陆知’存在ｚｏ的某—邻域，使当ｚ属于该邻域且ｚ≠ｚｏ时，ｇ（一２’（３Ｃ）４０并且与ｇ（ｎ－２）．（ｚｏ）同号。在此邻域ｇ（３Ｃ）满足泰勒展开的条件，故对ｚｏ的这—邻域内的ａ：（３ｃ：７６３Ｃｏ）有ｇ（３Ｃ）２黼（ｚ—ｚｏ）”２（ｎ一２）（ｒ）
其中誊介于３２与ｚｏ之间。
由于ｇ（ｎ－２）（ｇ）与ｇ（”２’（０）同号，从而ｇ（３ｃ）的符号取决于ｚ＞ｚｏ还是ｚ＜３Ｃｏ，以及咒的奇偶性。若以为奇数，当ｚ递增地经过ｚｏ时，（．２７一ｚｏ）”２变号，从而ｇ（３Ｃ）变号，亦即／，（３Ｃ）变号。又厂（３Ｃｏ）＝０故［ｚｏ，八ｚｏ）］是拐点。
若咒为偶数，当ｚ递增地经过ｚｏ时，（ｚ—ｚｏ）”２不变号，从而厂（ｚ）不变号，故［ｚｏ，ｆ（３Ｃｏ）］不是拐点。证毕。
例１
解判定函数ｆ（３Ｃ）ｔｚ５矿的拐点。厂（ｚ）＝（５３Ｃ４十ｚ５）矿
厂（ｚ）＝（２０３ｃ３＋１０ｘ４＋ｚ５３Ｃ）ｅ。６９
第１８卷第２期新疆教育学院学报２００２年６月
厂（ｚ）＝（６０ｘ２＋６０ｘ３＋１５ｘ４＋ｚ５）ｇ
∥４’（ｚ）＝（１２０ｘ＋２４０ｘ２＋１２０２３＋２０２４＋ｚ５）ｇ
，５’（ｚ）＝（１２０＋６００ｚ＋６００２２＋２００２３＋２５２４＋ｚ５）∥
令厂（ｚ）＝０即ｚ３（２ｘ＋ｌＯｘ＋ｚ２）矿＝０
解得：Ｘｌ＝０，ｚ２＝一５＋朽，ｚ３＝～５一力。
对于ｚ１＝０，由于厂（ｏ）＝ｆ－（ｏ）＝，４’（ｏ）＝０
，５’（ｏ）＝１２０≠０，又因，ｚ＝５为奇数，依定理知（ｏ，０）为拐点。
对于ｚ２＝一５＋√５，为求厂（ｚ２），令厂（ｚ）＝＾（ｚ）矿。
其中＾（ｚ）＝ｚ５＋１５ｘ４＋６０ｘ３＋６０２２
又可写成：
＾（ｚ）＝［ｚ４＋（１０＋￣／亏ｚ３＋（１５＋ｓ朽）ｚ２＋（１０—１０朽）ｚ］ד
［ｚ一（一５＋√亏）］一１００＋６Ｑ／亏
．’．＾（一５＋√５）＝一１００＋６０√５≠０
从而知：厂（～５＋拈）≠０，咒＝３为奇数，依定理知［（一５＋乃），．厂（一５＋朽］为拐点。
同理可知［（～５一力），厂（一５一乃）］也是拐点。
３．关于函数极限
关于函数的极限，—般说来是研究两个方面的问题，—是函数极限的存在性，二是函数极限的求法。这两个问题到目前为止，在笔者所见到的教材当中仍存在着尚需探讨和补充之处，以下两种函数的极限问题就值得—谈。
（１）关于函数
Ｆ（ｙ）：ｒ以ｚ，ｙ）如
的极限是否存，笔者在常见的教材当中还未曾见到，但是在一定的条件下，这种函数极限确实存在。这里介绍两个定理。
定理１如果函数ｆ（ｘ，Ｙ）ｇ（ｙ）满足条件：
ｑ）ｇ（ｙ）在［～ｂ＋。。）上有定义，且ｌｉｍｇ（Ｙ）＝＋ｃｏ；
②对任何有限区间［口，Ｇ］［［ｎ，＋ｏｏ），—致地有，
ｌｉｒｌｌ，（ｚ，Ｙ）＝Ｗ（ｚ）
③对任意的ｚ≥口，Ｙ∈［ｂ，＋ｏｏ）。有
ｌ，（ｚ，ｙ）Ｉ≤ｍ（ｚ）
④ｌｍ（ｚ）如收敛。
则
ｌｉｍＦ（ｙ）存在，且
兽ｊ。八ｚ，ｙ）如２．ｆｇ（ｙ）ｊ■一熙厂（ｚ，ｙ）如ｒ１．吼ｇ（ｙ）
即：ｌｉｍＦ（ｙ）＝Ｉ雨（ｚ）出
定理２若函数厂（ｚ，ｙ）和ｇ（ｙ）满足
（Ｄｇ（ｙ）定Ｘ在ｌｙｏ—ａ，Ｙｏ＋ａ］上，口为正常数目
ｒ拍ｌｉｍｇ（ｙ）＝＋ｏ。
７０
徐红岭：高等数学教材中的几个问题
②在任何有限区间［ｎ，Ｇ］ｃ［ｎ，＋∞］上，—致地有
ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）＝Ｗ（ｘ）
③对任意的．３７≥口，Ｙ∈［Ｙｏ一口，Ｙｏ＋ａ］
ｆ（ｘ，Ｙ）ｌ≤优（ｚ）
④ｌｍ（ｚ）如收敛。
ｒ柏则极ｌ漫ｌｉｍＦ（ｙ）存在，且
ｌｉｒｌｌ
定理１捌
所以有ｆ“ｙ≯（ｚ，ｙ）如：ｆ佃审（ｚ）出雨（ｚ）如收敛。由④由条件②③知ｌ—Ｗ（ｚ）ｌ≤ｍ（ｚ），对任意ｚ≥口。从而由④知Ｉ对任意的￡＞０，存在Ａ＞０（取Ａ＞口）使得Ｊｆ佃优（ｚ）出＜￡Ａ
ｌｊ＾＿雨（ｚ）如Ｉ≤ｊ．＿ｍ（ｚ）如＜￡
由①对上述Ａ＞０，有ＹｏＥ［ｂ，十ｏｏ）当Ｙ≥Ｙｏ时，ｇ（Ｙ）＞Ａ。因此，当Ｙ≥ｙｏ时。
憎ｋ灿Ｉ≤∥毗）如＜ｅ
由条件②在［口，Ａ］上存在Ｙ１Ｅ［ｂ，＋ｏｏｌ，当Ｙ≥ｙｌ时，有
于是当Ｙ≥麟｛Ｙｏ，Ｙ１｝时，有【ｆ（ｘ，３，）一丽（ｚ）ｉ＜击Ｘ∈［口，Ａ］
Ｆ（ｙ）一ｆ０。雨（ｚ）出ｌ≤ｌｒ［厂（ｚ，ｙ）一面（ｚ）如ｌ＋
ｌＣｙ久ｚ，ｙ，如Ｉ＋ｉｉ二ｏｏｗ（ｚ，如Ｉ＜３ｅ
广＋
故有：
定理２的证明类似。ｒ＋十。。ｌｉｍＦ（ｙ）＝Ｉｏｏｗ（ｚ）如√ａ
（２）关于函数［１＋八ｚ）ｇ（ｚ’］的极限问题。文献［３，４・５］均是针对具体情况采用“凑”的方法来解决，这里介绍两个定理可以较方便地求解文献…］中的有关函数极限。
定理１若函数厂（ｚ）和ｇ（ｘ）满足条件：
①ｌｉｍｆ（ｘ）＝０
②ｌｉｍ八ｚ）ｇ（ｚ）＝口
贝巾占ｌｉｒａ［１＋，（ｚ）］ｇ（。）＝∥
证明可以验证：当ｚ一０时
有ｌｎ（１＋ｚ）：ｚ一等＋ｏ（ｚ２）
则当厂（ｚ）为无穷小量时，有：
［１ｑ－．厂（ｚ）］ｇ（ｚ）＝ｅｇ（ｚ）“１＋，（ｚ）］
：∥（ｚ）［，（ｚ）一±／（ｚ）＋ｏ（“ｘ２））］７１
第１８卷第２期新疆教育学院学报２００２年６月
：ｅｇ（ｚ），（ｚ）一｛ｇ（ｚ）广（ｚ）＋ｏ（ｇ（。）广（ｚ））
由①和②则有
ｌｉｎ［１＋．厂（ｚ）产’：Ｐ点ｇ‘。’以“：∥
当定理１中的“ｚ一＋∞”换成“ｚ一∞”或者“ｚ一一００”时，结论仍是正确的。
定理２若函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）满删
①ｌｉ可（ｚ）＝０
②ｌｉ巧（ｚ）ｇ（ｚ）＝ａ
则有
ｌｉｌｌ［１＋厂（ｚ）］ｇ（。）＝∥
例２设口＞０，ｂ＞０，ｃ＞试求。
极限
解
取蚍半］：［半］羔［１＋盟竽］！删ＬｊＪｆ（ｘ）＝专（矿＋铲＋，一３）
ｇ（ｚ）＝＝ｉ
则
又№厂（ｚ）＝０鲫出㈤＝了１烈孚＋竽＋等］
＝—导Ｉ］ｌｎｎ＋ｌｎ６＋ｌｎｃ］
所以猷１＋半卜ｅＫ删｛＝瓶即鱼（半卜涿．＝ｌｎ［出］专
删ＬｊＪ删＼ｏ，
３．结束语
本文虽然只谈了高等数学教材中的三个问题，但是查阅了诸多版本高等数学和教材研究期刊，鉴于篇幅有限不能将所有参考文献列出。
参考文献：
［１］同济大学编，高等数学第三版上册，北京：高等教育出版社，１９９２．
［２］上海市高等专科学校编，高等数学第二版上册，上海：上海科学技术出版计，１９９４
［３Ｉｔ，Ｍ菲赫金歌茨，微积分学教程，北京：高等教育出版地，１９５６．
［４］刘玉琏、傅沛仁，教学分析讲义，北京：高等教育出版社，１９８１
［５］刘玉琏等．数学分析讲义学习指导书，北京：高等教育出版社，１９８７７２
高等数学教材中的几个问题
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：徐红岭新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830008新疆教育学院学报JOURNAL OF XINJIANG EDUCATION INSTITUTE2002，18(2)1次
参考文献(5条)
1. 同济大学 高等数学 1992
2. 上海市高等专科学校 高等数学 1994
3. r M 菲赫金歌茨 微积分学教程 1956
4. 刘玉琏. 傅沛仁 教学分析讲义 1981
5. 刘玉琏 数学分析讲义学习指导书 1987
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