十・７般＿７（２００８年第７期・高中版）
・复习参考．
例谈高考试题中的“焦点四边形＂的最值闻题
３１００３０浙江省杭州师范大学附属中学苏立标
，如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点，我们把这样的四边形叫做焦点四边形．（２）当Ｊ｜｝＝ｏ时，ｓ＝÷ｌＰＱＩ．１删Ｉ－２，
圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角形有许多相似的因此，ｓ一＝２，ｓ面．＝孥
性质，焦点四边形中的最值问题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题中频频亮相，值得关注，这２两条对角线都过同一个焦点的“焦点四边形”
类问题往往把考查圆锥曲线的性质与求最值问题结例２（２００７年安徽省高考数学试题）设，是抛合起来，形成一个知识与能力的交汇点，是考查学生物线Ｃ：茗２＝４ｙ的焦点．
综合应用知识能力的良好载体，倍受命题者所推崇，（１）过点ｐ（Ｏ，一４）作抛物线Ｇ的切线，求切线成为一道新的亮点．本文试图通过几例高考试题进方程；
行分类，归纳其常见的类型，以供高考复习参考．
（２）设Ａ，日为抛物线Ｇ上异于原点的两点，且
１
只有一条对角线过焦点的“焦点四边形”满足赢．商：ｏ，延长Ａ，、胛分别交抛物线Ｇ于点
例１
（２００５年全国高考数学试题）Ｐ、Ｑ、肘、Ⅳ
Ｃ、Ｄ，求四边形』４曰ＣＤ面积的最小值．
四点都在椭圆鼻２＋｝＝１上，，为椭圆在ｙ轴正半轴
解（１）设切点Ｑ（‰，手）．由，，’＝号，知抛物线
上的焦点．已知茚与葡共线，商与肃共线，且在口点处的切线斜率为等，故所求切线方程为
所・而＝０，求四边形删ＱⅣ的面积的最小值和最
大值．，，
，，一孚＝等（…０）．即ｙ＝争一孚‘
．解
由条件知删和ＰＱ是椭圆的两条弦，且删上ＰＱ，所以删和ＰＱ中至少有一个斜率存在，不
因为点Ｐ（ｏ，一４）在切线上，所以一４＝。孚，
妨设ＰＱ的斜率为Ｉ｜｝，则ＰＱ的方程为ｙ＝如＋ｌ，代入髫：＝１６，石ｏ＝±４．
椭圆方程得
所求切线方程为ｙ＝±２龙一４．
划Ｑｌ＝厨ｋ吨Ｉ＝警．
（２＋Ｊ｜｝２）茗２＋２缸一ｌ＝０
（２）设Ａ（ｘ，，），．），Ｃ（菇２，儿）．由题意知，直线＾Ｃ的斜率七存在，由对称性，不妨设ｌ｜｝＞０．因直线ＡＣ过焦点Ｆ（０，１），所以直线Ａｃ的方程为，，＝缸＋１．
（１）当后≠ｏ时，删的斜率为一÷，易得
觚ｃ的坐标满足方程组仁鼍１’得
ｌ删ｌ：———ＴＬ，。
２厄（１＋告）
互２—４ｈ一４＝Ｏ，由根与系数的关系知
．２＋音
ｆ茗ｌ＋名２＝４后，
ｓ：。÷ＩＰＱｌ．删：攀，
Ｉｘ。互：＝一４．
。
故四边形的面积为
’
ＩＡｃＩ＝以ｉｉ厂玎歹『ｉ了
＝ｖ／ｌ＋｜｜｝２√（舅Ｉ＋石２）２—４石Ｉ并２＝４（１＋Ｊ｝２）．
二
５＋２后２＋｛；
因为Ａｃ
Ｊ－肋，所以肋的斜率为一÷，从而肋
令尚２＋扣ｓ：警等＝２（ｔ一点），
托
Ｊ．ｒ二“
Ｊ十二Ⅱ
的方程为，，２一｝＋ｌ・
因为ｕ＝．｜｝２＋古，所以等≤ｓ＜２．
托
７
同理可求得删＝４【・＋（一锄＝笔旦
・复习参考・
十・７般．７
（２００８年第７期・高中版）３１
ｓ舳２寺Ｍ
．ｓ
一上Ｉ４ｆＩ
ｃＩ啪ｌ。半
１只，）Ｉ一墨（！±国：
＝８（后２＋２＋吉）≥３２．
当Ｉ｜｝＝１时等号成立．所以四边形＾日∞面积的
最小值为３２．
点评这是一个非常有趣的焦点四边形，它的两条对角线相互垂直，那么这样的焦点四边形有什么性质呢？我们易得：
性质如果四边形Ａ曰ｃＤ是抛物线ｙ２＝枷（ｐ＞
０）的焦点四边形，且对角线ＡＣ与肋交于抛物线的焦点，，且麒・脚＝０，则两条对角线的中点所在的
直线过定点（白，ｏ）．
证明：设对角线ＡＣ的斜率为｜｜｝，将ＡＣ的方程
，，＝后（毒一导）代人抛物线方程联立，求得Ａｃ的中点
坐标为肘（笔昂，知），把｜｜｝换成一÷得肋的中点
的坐标为Ⅳ（丝≥』ｐ，一切），由两点式方程得
删：），（１一Ｉ｜｝２）＝Ｉ｜｝（名一南），所以两条对角线的中点
所在的直线过定点（南，ｏ）．
相关链接已知椭圆≥＋寺＝ｌ（口＞６＞ｏ），过
椭圆的右焦点Ｆ（ｃ，Ｏ）作两条直线ＡＣ和肋，它们分别交椭圆于Ａ、Ｇ、Ｂ、Ｄ点，且Ａｅ・肋＝０，若四边形
面积的最小值为８，最大值为等，求椭圆的方程．（答
案是：砉＋等＝１）
３两条对角线分别过两个焦点的“焦点四边形”
例３（２００７年全国高考卷试题）已知椭圆｝＋々＝１的左、右焦点分别为Ｅ、疋，过Ｆ，的直线交椭
圆于曰，Ｄ两点，过Ｒ的直线交椭圆于Ａ，Ｃ两点，且
ＡＣ
ＬＢＤ。垂娃：。为Ｐ．
（Ｉ）设Ｐ点的坐标为（童。，ｙｏ），证明：等＋等＜１；
（Ⅱ）求四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值．
解（Ｉ）椭圆的半焦距ｃ＝怕一２＝ｌ，由Ａｃ上
肋知点Ｐ在以线段‘以为直径的圆上，故《＋元
＝ｔ，所以，挚＋挚≤≥＋争＝÷＜，．
的方程为，，＝七（算＋１），代入椭圆方程｝＋予＝ｌ，并
化简得（３后２＋２）茹２＋６Ｉ｜｝２髫＋３Ｉ｜｝２—６＝Ｏ．
设曰（扎，，１）＇Ｄ（％扎），则菇。％一篇，菇＾２而’
所以删＝厨‰吨Ｉ－黜．因为Ａｃ与Ｂｃ相交于点Ｐ，且Ａｃ的斜率为一÷，所以
括
ｍＩ：掣：紫．四’二形二∞
３×—暑＋２
‘＾７Ｊ
的面积．
’ｓ＝÷…・Ｉ口ｃ
Ｉ＝品‰≥
２４（后２＋１）２
９６
『（３丘２＋２）＋（２后２＋３）１２—２５‘
当且仅当后２＝ｌ时，上式取等号．
（ｉｉ）当曰Ｄ的斜率七＝０或斜率不存在时，四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝４．
综上，四边形Ａ曰ｃＤ的面积的最小值为筹
Ｕ＾
相关链接（北京市海淀区２００７年高三第一学
期期末数学测试）设椭圆冬＋告＝１（口＞６＞ｏ）的焦
点分别为‘（一ｌ，０）、疋（１，Ｏ），右准线Ｚ交茗轴于点
Ａ，且两＝２砖（１）试求椭圆的方程；
（２）过‘、只分别作互ｙ
ｆ
相垂直的两直线与椭圆分别交于Ｄ、Ｅ、肘、Ｊ７、ｒ四点（如图
Ｋ。泌
所示），试求四边形删犯Ⅳ
面积的最大值．
＆“乡４
工
￡
（答案是：四边形ＤＭＥ７ｖ
面积的最大值为４，最小值为暑）
‘Ｊ
点评该题与例３是异曲同工、不谋而合．这类问题融最值与圆锥曲线的性质为一体，实现知识之间的重组，既考查了解析几何的基本思想方法又渗透了学生综合应用知识的能力，再加上命题者的匠心独运，更使问题变得有厚重感．
（收稿日期：加０８０２１８）
例谈高考试题中的"焦点四边形"的最值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
苏立标
浙江省杭州师范大学附属中学,310030中学数学
MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS2008，""(7)0次
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsx200807012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ba7bd4f5-d749-4e97-8149-9dc8014cbc85
下载时间：2010年8月4日