2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（理工类） 第I 卷（选择题共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
234
1、若集合A =i , i , i , i （i 是虚数单位），B ={1, -1} ，则A
{}
B 等于
A. {-1} B. {1} C. {1, -1} D. φ 2、下列函数为奇函数的是
A. y =
B. y =sin x C. y =cos x D. y =e x -e -x
x 2y 2
-=1 的左、右焦点分别为F 1, F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1=3，则PF 2 3、若双曲线E :
916
等于
A.11 B.9 C.5 D.3
4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
15万元家庭年支出为
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
⎧x +2y ≥0,
⎪
5、若变量x , y 满足约束条件⎨x -y ≤0, 则z =2x -y 的最小值等于
⎪x -2y +2≥0, ⎩
A. -
53
B. -2 C. - D.2 22
6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. -1
7、若l , m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l ⊥m ”是“l //α ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
条件
8、若a , b 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0, q >0) 的两个不同的零点，且a , b , -2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9
9、已知AB ⊥AC , AB =, AC =t ，若P 点是∆ABC 所在平面内一点，且AP =
1
t
A B AB
+
4A C AC
，
则PB ⋅PC 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.21
10、若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (0)=-1 ，其导函数f '(x ) 满足f '(x )>k >1 ，则下列结论中一定错误的是 A. f
⎛1⎫1
⎪
C. f ⎪>
k k -1⎝⎭1k ⎛1⎫⎛1⎫
D. f ⎪ ⎪
k -1k -1k -1k -1⎝⎭⎝⎭
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11、(x +2) 的展开式中，x 的系数等于
. （用数字作答）
2
5
12、若锐角∆ABC 的面积为，且AB =5, AC =8 ，则BC 等于.
13、如图，点A 的坐标为(1,0) ，点C 的坐标为(2,4) ，函数f (x )=x ，若在矩形ABCD 内
2
随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 . 14、若函数f (x )=⎨
⎧-x +6, x ≤2,
（a >0 且a ≠1 ）的值域是[4, +∞) ，
⎩3+log a x , x >2,
x n (n ∈N *) ，其中
则实数a 的取值范围是 .
15、一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2
x k (k =1, 2, , n ) 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程
中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x 1x 2
⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,
⎪
x 7 的码元满足如下校验方程组：⎨x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,
⎪x ⊕x ⊕x ⊕x =0,
357⎩1
其中运算⊕ 定义为：0⊕0=0,0⊕1=
1,1⊕0=1,1⊕1=0 .
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验
方程组可判定k 等于 .
16. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.
17. 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.
(1)求证：GF 平面ADE (2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
x 2y 2
18. 已知椭圆E ：2+2=1(a>b >
0) 过点，且离心率为.
a b 2
(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线x =my -1，(m R ) 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G (-,0) 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
19. 已知函数f(x ) 的图像是由函数g (x ) =cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x ) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移(1)求函数f(x ) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(2)已知关于x 的方程f(x ) +g(x ) =m 在[0,2p ) 内有两个不同的解a , b 1) 求实数m 的取值范围；
9
4
p
个单位长度. 2
2m 2
-1. 2) 证明：cos (a -b ) =5
20. 已知函数f(x ) =ln(1+x ) ，g (x ) =kx ,(k R ), (1)证明：当x >0时，f(x )
(2)证明：当k 0, 使得对任意x Î(0，x 0), 恒有f(x ) >g (x ) ；
(3)确定k 的所以可能取值，使得存在t >0，对任意的x Î(0，t ), 恒有|f(x ) -g (x ) |
21. 本题设有三个选考题，请考生任选2题作答. 选修4-2：矩阵与变换
骣骣2111
琪已知矩阵A =琪, B =琪. 琪430-1桫桫
(1)求A 的逆矩阵A ； (2)求矩阵C ，使得AC=B.
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为í
-1
ìïx =1+3cos t
(t为参数) . 在极坐标系（与平面直角
y =-2+3sin t ïî
坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l
的方程为
sin(q -
p
) =m,(m R). 4
(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x ) =|x +a |+|x +b |+c 的最小值为4.
(1)求a +b +c 的值; (2)求
12122
a +b +c 的最小值为. 49
数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。
11. 80 12. 7 13.
5
14. (1,2] 15.5 12
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. 本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分13分 解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A)=5431
=
6542151, P (X=2)=? 665
1542
, P (X=3)=1=. 6653
（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又P (X=1)=
所以X 的分布列为
所以E(X)=1?
112
2? 3? 6635
. 2
17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想. 满分13分. 解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， 又G 是BE 的中点，
1
所以GH AB ，且GH=AB ，
2
又F 是CD 中点，所以DF=
1
CD ， 2
由四边形ABCD 是矩形得，AB CD ，AB=CD， 所以GH DF ，且GH=DF.
从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF DH ，
平面ADE ，GF 又DH 趟平面ADE ，所以GF 平面ADE .
(2)如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ EC , 因为BE ^CE ，所以BQ ^BE 又因为AB ^平面BEC ，所以AB ^BE ，AB ^BQ
以B 为原点，分别以BE , BQ , BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向
建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为AB ^平面BEC ，所以B A=(0,0,2) 为平面BEC 的法向量， 设n =(x,y,z) 为平面AEF 的法向量. 又AE =(2,0,-2)，AF=(2,2,-1)
ìn AE =0，ì2x -2z =0, 镲由眄取z =2得n =(2,-1,2). 得镲în AF =0，î2x +2y -z =0,
从而cos 狁n , B A =
n B A 42
==,
|n |×|B A |3´
23
2. 3
所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为解法二：(1)如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ，
平面ADE ，GM 又AE 趟
所以GM 平面ADE.
平面ADE ，
在矩形ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦＡＤ．
Ｄ趟平面ADE ，M Ｆ平面ADE ，所以M Ｆ平面ADE ． 又A
平面ＧＭＦ，M Ｆ平面ＧＭＦ 又因为ＧＭÇM Ｆ＝Ｍ，ＧＭ烫
所以
平面ＧＭＦ平面ＡＤＥ，
因为ＧＦ
Ì平面ＧＭＦ，所以ＧＦ平面ＡＤＥ
（２）同解法一．
18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想
. 满分13分 解法一：(1)由已知得
ìb ïìa =2ïï镲c
解得b =眄=
a 2镲222镲îc =a =b +c ïî
x 2y 2
+=1. 所以椭圆E 的方程为
42
(2)设点A (x 1y 1),B(x 2, y 2), AB 中点为H(x 0, y 0) .