平面直角坐标系内三角形面积的求法初探
建始县长梁初级中学 刘代荣 [1**********]5
在平面直角坐标系内求三角形面积的问题，一般要根据三角形各顶点坐标的特征确定方法，如果有一边平行或在坐标轴上时，就选择这一边为底和这边上的垂线段为高求其面积，如果不具备上述条件,则应通过作适当的辅助线转化为特殊图形的面积之差（或和）求解．现举例说明如下．
一. 三角形有一边在坐标轴上
例1. 如图1，已知A（-2，0），B（4，0），C（2，3），求的面积． 分析：由于A、B两点的纵坐标都是0， 所以AB边在x轴上．因此，将AB作为三角形的底边，过点C作轴，垂足为D，再根据坐标的意义分别求出AB的长和AB边上的高CD的长，即可解决问题．
解：如图，过点C作轴，垂足为D，
因为A（-2，0），B（4，0），所以AB=4+2=6
又因为C（2，3），所以点C到x轴的距离为3，
即AB边上的高CD=3 1所以SABC=创63=9． 2
说明：当三角形有一边在坐标轴上，即在x轴
（或y轴）上时，求面积的关键就是求出另一个顶点到x轴（或y轴）的距离，这个距离就等于这个点的纵坐标（或横坐标）的绝对值．
二. 三角形有一边平行于坐标轴
例2. 如图2，已知A（-5，-2），B（2，2），C（2，-3），求的面积．
分析：由于B、C两点的横坐标都是2，所以线段BC平行于y轴，因此，我们以BC为三角形的底边，过点A作AD^BC，垂足为D，再根据坐标的意义分别求出BC的长和BC边上的高AD的长，即可求出这个三角形的面积． 解：过点A作AD^BC，垂足为D．
因为B（2，2），C（2，-3），所以BC=2+3=5．
又因为A（-5，-2），所以点A到BC的距离为5+2，
即BC边上的高AD=5． 155=12.5． 所以，SABC=创2
说明：当三角形有一边平行于x轴或y轴时，关
键是求出另一个顶点到这边的距离．
三. 三角形没有一边在坐标轴上也没有一边平行于
坐标轴
例3. 如图3， 已知A（-5，-2），B（4，3），C（2，-3），求的面积． 分析：由于A、B、C
三个点中既没有横坐标相同的点也没有纵坐标相同的点，
也就是就是说不存在一边平行于x轴（或y轴）．因此，我们通过构造某边上的高，求出其高，再求面积就有点困难了．我们可以采用割补法，把不规则图形向规则图形进行转化．具体办法是：分别过A、B、C三个点中纵坐标最大的和最小的点作x轴的平行线；再分别过A、B、C
三个点中横坐标最大的和最小的点作y轴
的平行线，这样ABC的面积就可以转化
成一个矩形的面积与与几个有一边平行于
x轴（或y轴）的三角形的面积之差了
解：如图，过点C作FD∥x轴，过点
B作BE∥x轴，过点A作EF∥y轴，过
点B作BD∥y轴，则四边形BEFD是一个
矩形．
因为A（-5，-2），B（4，3），C（2，-3），所以可以算出BE=9，BD=6，CD=2，CF=7，AF=1，AE=5．所以
SABC=S矩形BEFD-SABE-SAFC-SDBC
111创95-创17-创62=22 222
说明：三角形没有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）时，往往把图形进行=9?6转化．通常是作出“包围”这个三角形的矩形．具体办法是：分别过三个顶点中纵坐标最大的点和最小的点作x轴的平行线；再分别过三个顶点中横坐标最大的点和最小的点作y轴的平行线，这样三角形的面积就可以转化成一个矩形的面积与几个有一边平行于x轴（或y轴）的三角形的面积之差了．
总之，在坐标平面内求三角形的面积要善于转化．转化是数学中的重要思想，在学习数学的过程中，转化的思想无处不在，掌握了转化的思想，学习数学就会事半功倍．