函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数y =f (x ) 的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1
y =f (x ) 的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1
f (x 1) >f (x 2) ，那么就说y =f (x ) 在区间I 上是单调减函数，I 称为y =f (x ) 的单调减
区间。
如果用导数的语言来，那就是：设函数y =f (x ) ，如果在某区间I 上f '(x ) >0，那么
f (x ) 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上f '(x )
数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(a , b ) 内，若总有f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；反之，若f (x ) 在区间(a , b ) 内为增函数，则
f '(x ) ≥0，
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
b
y =ax +(a >0, b >
0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为
x (-∞, +∞
) ，减区间为[.
（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减
（4）若f (x ) 与g (x ) 在定义域内都是增函数（减函数），那么f (x ) +g (x ) 在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即
x 1
1
分别x
在(-∞, 0) 和(0, +∞) 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(-∞, 0) (0, +∞)
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y =内是单调递减的，只能说函数y =
4、函数的最大（小）值
设函数y =f (x ) 的定义域为A ，如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有
1
的单调递减区间为(-∞, 0) 和(0, +∞) 。 x
f (x ) ≤f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为y =f (x ) 的最大值；如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为y =f (x ) 的最小值。
（二）考点分析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性（同增异减）
例1．（1）求函数y =log 0.7(x -3x +2) 的单调区间； 例2. 判断函数f(x)=x -1在定义域上的单调性.
2
2
题型2：研究抽象函数的单调性
例1．已知函数f (x ) 的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1, x 2都有
f (x 1⋅x 2) =f (x ，且当x >1时f (x ) >0, f (2)=1， 1) +f (x 2)
（1）求证：f (x ) 是偶函数；（2）f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数；（3）解不等式
f (2x 2-1)
f (-1) =，0
∴f (-x ) =f (-1⋅x ) =f (-1) +f (x ) =f (x ) ，∴f (x ) 是偶函数． （2）设x 2>x 1>0，则
f (x 2) -f (x 1) =f (x 1⋅
∵x 2>x 1>0，∴
x 2x x
) -f (x 1) =f (x 1) +f (2) -f (x 1) =f (2) x 1x 1x 1
x 2x
>1，∴f (2) >0，即f (x 2) -f (x 1) >0，∴f (x 2) >f (x 1)
x 1x 1
∴f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数．
（3） f (2)=1，∴f (4)=f (2)+f (2)=2，
∵f (x ) 是偶函数∴不等式f (2x -1)
4，解得：-即不等式的解集为(-
2
2
2
22
． 22
2
题型3：函数的单调性的应用
例1．若函数f (x ) =x +2(a -1) x +2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：a ≤-3）) ； 例2．已知函数f (x ) =（答：(, +∞) ）；
ax +1
在区间(-2, +∞)上为增函数，则实数a 的取值范围_____x +2
12
考点2 函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1：求分式函数的最值
x 2+2x +a 1例1．（2007上海）已知函数f (x ) =, x ∈[1, +∞). 当a =时，求函数f (x ) 的
x 2
最小值。
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f (x ) 的定义域内任意一个对称。②对于函数f (x ) 的定义域内任意一个
x ，都有
，则称f (x ) 为奇函数. f (-x ) =-f (x ) 〔或f (-x ) +f (x ) =0〕
x ，都有f (-x ) =f (x ) 〔或
，则称f (x ) 为偶函数. 偶函数的图象关于y f (-x ) -f (x ) =0〕
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2. 函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断f (x ) =±f (-x ) （2）利用定义的等价形式, f (x ) ±f (-x ) =0，
f (-x )
=±1（f (x ) ≠0） f (x )
（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数f (x ) 定义域中含有0，则必有f (0)=0. 故f (0)=0是f (x ) 为奇函数的既不充分也不必要条件。
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶
f (x ) +f (-x )
函数的和（或差）”。如设f (x ) 是定义域为R 的任一函数， F (x ) =，
2
G (x ) =
f (x ) -f (-x )
。
2
（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．
（二）考点分析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·
+x
； 1-x
⎧x (1-x ) -x 2
（3）f (x ) =；（4）f (x ) =⎨
|x +2|-2⎩x (1+x )
题型2：证明抽象函数的奇偶性
(x 0).
例1 .(09年山东) 定义在区间(-1, 1) 上的函数f (x ) 满足：对任意的x , y ∈(-1, 1) ，都有
x +y
f (x ) +f (y ) =f () . 求证f (x ) 为奇函数；
1+xy
[解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (
0+0
) =f (0) ∴ f (0) = 0 1+0
x -x 1-x
2
令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)∴ f (x) + f (－x) = f (∴ f (－x) =－f (x)∴ f (x) 在(－1，1) 上为奇函数
) = f (0) = 0
例2．（1）函数f (x ) ，x ∈R ，若对于任意实数a , b ，都有f (a +b ) =f (a ) +f (b ) ，求证：f (x ) 为奇函数。
（2）设函数f (x ) 定义在(-l , l ) 上，证明f (x ) +f (-x ) 是偶函数，f (x ) -f (-x ) 是奇函数。
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数f (x ) 是定义在(-2, 2) 上的减函数，若f (m -1) +f (2m -1) >0，求实数m 的取值范围。
[解析] f (x ) 是定义在(-2, 2) 上奇函数∴对任意x ∈(-2, 2) 有f (-x )=-f (x ) 由条件f (m -1) +f (2m -1) >0得f (m -1) >-f (2m -1) =f (1-2m )
f (x ) 是定义在(-2, 2) 上减函数∴-2>1-2m >m -1>2，解得-∴实数m 的取值范围是-
12
12
例2．设函数f (x ) 对于任意的x , y ∈R ，都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，且x >0时
f (x )
（1）求证f (x ) 是奇函数；
（2）试问当-3≤x ≤3时，f (x ) 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例3．设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，
f (2a 2+a +1)
减区间.
1a 2-3a +1) 的单调递2
[解析]设0
∴f (－x 2)
1712
又2a 2+a +1=2(a +) 2+>0, 3a 2-2a +1=3(a -) 2+>0.
4833
由f (2a +a +1)3a －2a +1.解之，得0
2
2
2
2
2
325) －. 24
31a 2-3a +1
) 的单调减区间是[, +∞) 22
3a 2-3a +13
) 的单调递减区间为［，3). 22
结合0
函数的周期性
（一）知识梳理
1．函数的周期性的定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x +T ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
2．周期性的性质
（1）若y =f (x ) 图像有两条对称轴x =a , x =b (a ≠b ) ，则y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；
（2）若y =f (x ) 图像有两个对称中心A (a ,0), B (b ,0)(a ≠b ) ，则y =f (x ) 是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；
（3）如果函数y =f (x ) 的图像有一个对称中心A (a , 0) 和一条对称轴x =b (a ≠b ) ，则函数y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =4|a -b |；
（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a |；②函数f (x ) 满足-f (x )=f (a +x )，则f (x ) 是周期为2a 的周期函数；
③若f (x +a ) =恒成立，则T =2a .
11(a ≠0) 恒成立，则T =2a ；④若f (x +a ) =-(a ≠0) f (x ) f (x )
（二）考点分析
考点2函数的周期性
例1．设函数f (x ) 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有f (+x ) =-f (-x ) 成立 （1）证明：y =f (x ) 是周期函数，并指出周期； （2）若f (1) =2，求f (2) +f (3) 的值 考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用
例1 .（09年江苏题改编）定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x +2) ⋅f (x ) =1对于x ∈R
恒成立，且f (x ) >0，则f (119)= ________ 。 [解析]由f (x +2) ⋅f (x ) =1得到f (x +2) =
3232
1
，从而得f (x +4) =f (x ) ，可见f (x )
f (x ) 是以4为周期的函数，从而f (119) =f (4⨯29+3) =f (3) ，又由已知等式得
f (3) =
1 f (1)
又由f (x ) 是R 上的偶函数得f (1) =f (-1) 又在已知等式中令x =-1得f (1) ⋅f (-1) =1，即f (1) =1所以f (119) =1
例2．已知函数f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x +2) =-f (x ) （1）求证：f (x ) 是周期函数；
（2）若f (x ) 为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x ) =上的所有x 的个数。
11
x ，求使f (x ) =-x 在[0, 2009]22