函数、导数及其应用测试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1. 已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩(∁N B ) ＝ ( )
A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3}
2．. 对于定义在R 上的任何奇函数，均有（ ）
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)·f(-x)≤0
⎧x -1-2⎪3. 设f (x ) =⎨1⎪⎩1+x 2x ≤1x >1, 1则f (f ()) = ( ) 2
14925A. B. C. － D. 213541
4．已知f(x)是R 上的偶函数，且在［0，+∞）上是减函数，f(a)=0(a>0),那么不等式xf(x)
A ．{x|05. 函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ) 在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数. 这样的函数是 ( )
1A. y ＝x 3＋1 B. y ＝log 2(|x |＋2) C. y ＝(|x | D. y ＝2|x | 2
7. 有关命题的说法错误的是 ( )
A. 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.
B. “x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件.
C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题.
D. 对于命题p ：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1
8. 下列是关于函数y ＝f (x ) ，x ∈[a ，b ]的几个命题：
①若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0) ＝0，则(x 0, 0) 是f (x ) 的一个零点；
②若x 0是f (x ) 在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；
③函数f (x ) 的零点是方程f (x ) ＝0的根，但f (x ) ＝0的根不一定是函数f (x ) 的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值. 那么以上叙述中，正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.4
119. 若函数f (x ) ＝x 3＋f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x ) 在点(0，f (0))处切线的倾斜角为 ( ) 32
ππ2π3πA. B. C. D. 4334
10. 关于x 的方程(m ＋3) x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负数根的绝对值比正数根大，那么实数m 的取值范围是 ( )
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把正确答案填在题中横线上)
11. 已知命题p ：x ∈A ∪B ，则 ⌝p 是.
12. 函数y ＝log 3(9－x 2) 的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝13. 已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x2+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.
14. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学 和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
15. 已知函数f (x ) ＝log 2(x 2－ax ＋3a ) ，对于任意x ≥2，当Δx >0时，恒有f (x ＋Δx )>f (x ) ，则实数a 的取值范
围是 .
三、解答题(本大题共6小题，共75分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16. ( 12分) 已知集合M ＝{x |x 2－x －6
17．( 12分) 如下图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=22，一个边长为2的正方形由位置I 沿
AB 平行移动到位置Ⅱ, 若移动的距离为x ，正方形和三角形ABC 的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.
18.( 12分) 已知函数f (x ) ＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a 的值；(2)记g (x ) ＝bx 2－1，若方程f (x ) ＝g (x ) 的解集恰有3个元素，求b 的取值范围.
19．( 12分) 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈［0，
f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2). （1）设f(1)=2,求f(
1］都有211),f(); (2)证明f(x)是周期函数. 24
mx －120. ( 13分) 已知三个集合A ＝{x ，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 1x >1}；三个命题p ∶实数m x 2
为小于6的正整数，q ∶A 是B 成立的充分不必要 条件，r ∶A 是C 成立的必要不充分条件. 已知三个命题p 、q 、r 都是真命题，求实数m 的值.
1－21.( 14分) 定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) ＝f (x ＋4) ，当2≤x ≤6时，f (x ) ＝() |x m |＋n ，f (4)＝31. 2
(1)求m ，n 的值；(2)比较f (log3m ) 与f (log3n ) 的大小.
1. 解析：∵A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，∴∁N B ＝{1,2,4,5,7,8，„}.∴A ∩(∁N B ) ＝{1,5,7}. 答案：A
2. 解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0. 答案：D
1343. 解析：f (f ()) ＝f (－＝. 答案：B 2213
4．解析：利用图象法，画出符合条件的函数图象，如下图，由此可知，
选项B 正确. 答案：B
|x －2|5. 函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋3x 4.解析：∵>0，∴x ＋2>0且x －2≠0， x ＋2
∴x >－2且x ≠2. 答案：B
5. 解析：因为f (x ) 在x ＝－3时取得极值，故x ＝－3是f ′(x ) ＝3x 2＋2ax ＋3＝0的解，代入得a ＝5. 答案：D
6. 解析：显然四个函数都满足性质(1)，而满足性质(2)的只有C. 答案：C
7. 解析：A 、B 、D 均正确，对于C ，由p 且q 为假命题知p 为假命题或者q 为假命题，因此p 与q 可以是一真一假，故C 错. 答案：C
8. 解析：因为①中x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0) ＝0，则x 0是f (x ) 的一个零点，而不是(x 0, 0) ，所以①错误；
②因为函数f (x ) 不一定连续，所以②错误；③方程f (x ) ＝0的根一定是函数f (x ) 的零点，所以③错误； ④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误. 答案：A
9. 解析：由题意得：f ′(x ) ＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)，令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)，令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)，
3∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x ) 在点(0，f (0))处切线的斜率为－1π. 答案：D 4
⎧⎪∆>0⎪⎪2m -110. 解析：∵x 1x 2
⎪m +3
⎪4m
B . 答案：x ∉A 且x ∉B 11. 解析：由x ∈A ∪B 知x ∈A 或x ∈
12. 解析：由9－x 2>0⇒－3
所以A ∩B ＝(－3,2].答案：(－3,2]
13. 解析：∵f(x)-g(x)=x2+x-2,∴f(x)+g(x)=x2-x-2，故f(x)=x2-2,g(x)=-x. 答案：x 2-2,-x
14. 解析：如图，设同时参加数学和化学小组的有x 人，则26＋15＋13－6－4－x ＝36，
解得x ＝8. 答案：8
15. 解析：依题意，对于任意x ≥2，当Δx >0时，恒有f (x ＋Δx )>f (x ) ，说明函数f (x ) 在[2，＋∞)上是单调递增⎧a ⎪≤2函数，所以应有⎨2，解得－4
⎪22-2a +3a >0⎩
16. 解：M ＝{x |x 2－x －6
⎧-2≥m , ⇒－6≤m ≤－2， 所求m 的取值范围是[－6，－2].
∴⎨⎩3≤m +9
17．解析：设AB 的中点为D ，则AD=CD=2.当0≤x
当2≤x
当4≤x ≤6时，f(x)=12x . 如图（1）. 211(x-2)2-(4-x)2=-x2+6x-6.如图（2）. 221(6-x)2. 如图（3）. 2
12⎧x ⎪⎪22∴f(x)=⎨-x +6x -6
⎪12⎪2(6-x ) ⎩(0≤x
18. 解：(1)f ′(x ) ＝4x 3－12x 2＋2ax ，因为f (x ) 在[0,1]上递增，在[1,2]上递减，所以x ＝1是f (x ) 的极值点，所以
f ′(1)＝0，即4×13－12×12＋2a ×1＝0. 解得a ＝4，经检验满足题意，所以a ＝4.
(2)由f (x ) ＝g (x ) 可得x 2(x 2－4x ＋4－b ) ＝0，由题意知此方程有三个不相等的实数根，
此时x ＝0为方程的一实数根，则方程x 2－4x ＋4－b ＝0应有两个不相等的非零实根，
所以Δ>0，且4－b ≠0，即(－4) 2－4(4－b )>0且b ≠4，解得b >0且b ≠4，
所以所求b 的取值范围是(0,4)∪(4，＋∞).
19．（1）解析：令x 1=x2=x x x x 11. 则f(x)=f(+)=f2() ≥0. 再令x 1=x2=, ∴f(1)=f2(). 222222
1∴f()=21111f (1) =2；令x 1=x2=, ∴f()=f2(). ∴f()=4244121f () =24. 21
(2)证明：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x). 又因f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(x+2)=f(-x), ∴f(x+2)=f(x). 即f(x)是周期为2的周期函数.
mx －1120. 解：∵命题p 是真命题，即0
1又B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 1x >1}＝{x |0
21解：(1)因为函数f (x ) 在R 上满足f (x ) ＝f (x ＋4) ，所以4是函数f (x ) 的一个周期. ⎧1≤4, ∵命题q 、r 都是真命题， ⎪ ② 由①②得m ＝1. ⎪ m ∴⎨⎪1>1 ⎪⎩m 2,
1|2－m |1|6－m |1|4－m |可得f (2)＝f (6)，即＋n ＝() ＋n ， ① 又f (4)＝31，() ＋n ＝31， ② 222
联立①②组成方程组解得m ＝4，n ＝30.
1|x －4|(2)由(1)知，函数f (x ) ＝(＋30，x ∈[2,6]. 因为1
1|log34＋4－4|1f (log3m ) ＝f (log34) ＝f (log34＋4) ＝() ＋30＝) |log34|＋30. 22
又因为3
1log 30-4f (log3n ) =f (log330) =() 3+302
8114-log 3301log 330=() +30=() +30. 22
81 因为log 3
811log 341log 3301181⇒()
所发f (log3m )