Linear Algebra
第一章 行列式
教学基本要求： 1. 1. 了解行列式的定义.
2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法. 3. 会计算简单的n 阶行列式. 4. 了解Cramer 法则.
一、行列式的定义 1. 定义
a 11a 21 a n 1
是n 2个数
a ij (i =11n A 1n ，(1.1)
其中，a ij j =1,2, , n ) ，而M 1j M 1j
2. 基本行列式：
(1)一阶行列式 |a |=a . 例如，|106|=106，
-21=-21.
(2)二阶行列式
1221=a 11a 22-a 12a 21.
(4)三角形行列式
a 11
①对角行列式
=a 11a 22a nn
a nn .
3. a 11a 12 a 1n a 11a a 22 a 2n a 12
T
D =21D =，
a 1n a n 1a n 2 a nn
a 21 a n 1a 22
a n 2
a 2n a nn
性质1.1 D T =D . (1.2)
性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有.
下面仅针对行叙述行列式的性质.
性质1.2(行列式的展开性质)
a 11a 21a n 1
021-1
例如，行列式D =
0230
0205
a 12a 22a n 2
a 1n a 2n a nn
=a i 1A i 1+a i 2A i 2+
+a in A in , (i =1,2, , n ) . (1.3)
30
=2A 12+3A 14 09
=2A 32=3A 14+9A 44=6.
. .
推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零.
性质1.4(行列式的拆分性质)
a 11a 12a 1n b in +c in a nn
b i 1+c i 1b i 2+c i 2
a n 1a n 2
(1.5)
a 11a 12a 1n
a 11
a 12a 1n =b i 1
b i 2b in +c i 1c i 2c in . a n 1
a n 2
a nn
a n 1
a n 2
a nn
a 1n
a in . (1.7) a jn a nn
性质1.6的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值.
性质1.7(行列式的变号性质)
a i 1a j 1
a
i
2a j 2
a in
=-a jn
a j 1a i 1
a j 2a i
2
a jn
(i ≠j ) . (1.8) a in
总结：利用性质1.6及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式. 步骤如下：
a 11a 21a n 1
a 12
a 22a n 2
→
''a 11
00
''a 12''a 220
性质．
交换i , j 两行(列) ：r i r j （c i c j ）； 第i 行(列) 提取公因子k ：r i ÷k （c i ÷k ）； 第j 行(列) 的k 倍加到第i 行(列) ：r i +kr j （c i +kc j ）.
0-1-1
1-10
例1.1 计算行列式D =
-12-1211
22. 00
0-1-11-10
解
D =
-12-121122 00
1-100-1-156
=2⨯（-1）⨯-12-+2⨯（-1）⨯-12-1
2
1
1
2
1
1
=-2⨯4+2⨯6=4.
或 D 例1.2解 D 或 D 或 D 1-12
12
=3⨯(-1) 5020=-6=6.
35
3-65
1182
例1.3 计算行列式D =
3-153
101-1
. 0-15-6
1182
解 D =
3-15310001-161
=
0-14-15-62-2101-1
=0-15-6
.
例1.4 计算n 阶行列式
12D n =
23n -1n n n +1
.
n -1n n n +12n -32n -2
2n -22n -1
，解
例解((=[a +(n -1) b ](a -b ) n -1．
例1.6(例1.11 P 16) 设行列式D =a ij 的阶数n 为奇数，且a ij =-a ji (i , j =1, 2, , n ) ，求D ．
n
解 分析：条件a ij =-a ji (i , j =1, 2, , n ) 表明a ii =0(i =1, 2, , n ) ， 0-a 12
D =-a 13
-a 1n
a 120-a 23 -a 2n
a 13a 230 -a 3n
a 1n a 2n
a 3n (称为反对称行列式) 0
(每行提取公因子-1，然后做转置运算，有)
0a 12
=(-1) n a 13
a 1n
0-a 12=--a 13
-a 1n
-a 120a 23a 2n a 120-a 23-a 2n
-a 13-a 230a 3n
a 13a 23
0-a 3n
-a 1n -a 2n -a 3
n 0a 1n a 2n
a 3n =-D , 0
从而D =0．
例1.7解 0．由于0元将D n 注意到M 111=3-2=1，首项D 1=2
降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法. 另解，
21121D n =1
2
1
210322r -r
1=1 21 212n 12n
2
1
2121032
032
3r 3-r =2
11
0434r 4-r =3
1⨯
1
0432⨯
3
164
2
12
11
2n
1
2n
21032=
=11
043(n -1)! ⨯n
1 =n +1. n n -1
n +1
例1.8(
记住
1. 求解特殊的线性方程组 考虑n 元线性方程组
⎧⎪
a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1, ⎪⎨
a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2,
⎪ ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n .
(1.11)
a 11a 12a 1n b 1a 12a 1n 记 D =
a 21a 22a 2n ，D b 2a 22a 2n 1=
，
a n 1
a n 2
a nn
b n
a n 2a nn
a 11b 1a 1n a 11a 12b 1D =
a 21b 2a 2n ，
，D a 21a 22b 22n =
.
a n 1b n
a nn
a n 1
a n 2
b n
定理(Cramer
法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式D ≠0，则该方程组有惟一解：
例解 1
D =2
1D 2=由于D ≠0x 1=D
对于齐次线性方程组
⎧⎪
a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0,
⎪⎨
a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =0,
⎪ (1.13) ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0,
有如下结论：
推论 当齐次线性方程组(1.13)的系数行列式不为零时，它只有零解．
该结论也可以表述为：若齐次线性方程组有非零解, 则方程组的系数行列式必为零.
2. 用行列式表示几何图形的面积和体积.
3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面. 4. 用行列式解决多项式函数的插值问题.
四、习题(P26-30) 选择题：
1.
1.
2.
3.(3) D n =aD n -1=
=a n -2D 2=a n -2
a 1
=a n -2(a 2-1) . 1a
a n
a 1d 1c 1b 1
c n
d n
=∏(a i b i -c i d i ).
i =1n
(4) D 2n =
b n
⎧1, n =1, ⎪=(5) D ⎨-7, n =2, c i -c 3
(
i = r i -r 3
(i =1,2,4, , n )
(6) D
c i -i =
(7) D
r i +i =
c i 100-n
(-n)
n -1
n -2n -10-n 0
-n 00
i =1n
+∑(i-1) n i =2
1c 1+c i
n 0=i =2, ,n 0
=(-1) =(-1)
(n-1)(n-2)
2
1n
(1+∑(i-1))
n i =2
n(n-1) 2
(n+1)n n -1
. 2
x 1a 1
(8) D =
a 2x a 20
a n a n
11
a 10x n 1
01
c i
-i =r n +1
i ==
0x 200
n
00x n
n
x 10=00=x 1
1111+∑(1+
i =1
a ) x i
x n (1+∑(1+
i =1
a )). x i
(9)方法一 左端按最后一行展开
方法二 左端按第一列展开，产生递推公式D n =xD n -1+a n . 方法三 左端产生下三角行列式. 从第二列开始，依次将前一列的
1
倍加到后一列上. x
方法四 左端从最后一列开始，依次将后一列的x 倍加到前一列，然后按第一列展开.
(10) 方法一
⇒ ⇒
⇒
D n =
a ab
1a +b ab =1
a +b ab
1a +b n
a 0
1a ab =1
a +b ab
1a +b n
a 1=a b ab
0a +b ab +1
a +b ab
1a +b n
+bD n -1
=a n +同理，
D n =b n +由(1)D n =(b
(12) 设 D =∏(x -a i )
i =1
n
n ≥i >j ≥1
n
∏
n
(a i -a j )
+a n )
=
n ≥i >j ≥1
∏
n
(a i -a j ) x -(a 1+a 2+
n ≥i >j ≥1
∏
n
(a i -a j ) x n -1+
=x n A n +1n +1+x n -1A n n +1++xA 2n +1+A 1n +1
1a 1
a 1n -2a 1n
1a 2a 1n -2
n a 2
1a 3a 1n -2
n a 3
n
1a n a 1n -2
n a n
n
=D 的元素x n -1的余子式M n n +1=-A n n +1 =(a 1+a 2+
+a n )
n ≥i >j ≥1
∏
(a i -a j ).
7. 提示：
8. 提示：
（2（3（4（5行列式法等 例1 解 分析：仔细观察之后发现，第2行为0的元素多且非0元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为0，然后按第2行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1行、第3行降阶.
-2-2 0 1 1
原式=
c 2+2c 1c 1-3c 2
0 0 0 0-1-2 3 2-5 1 -3 7-3 1 2-2 1 3 1 1
-2-201-232-52+5
=(-1) ⨯(-1)
-37-31-2131
例2 D n =
解 D n =(
=a n D n -1+(-1) n +(n-1) (-1) (n-1) +(n-1) b n -1c n -1D n -2=a n D n -1-b n -1c n -1D n -2.
令⎨
⎧x +y =a n
，则x, y 是方程z 2-a n z +b n -1c n -1=0的根，代入上式得
⎩xy =b n -1c n -1
D n =(x+y)D n -1-xyD n -2.
D n -xD n -1=y (D n -1-xD n -2) =
=y n -2(D 2-xD 1)
=y n -2r. (r=D2-xD 1)
D n =xD n -1+xy n -2
=x(xDn -2+xy n -3) +y n -2r =
=x n -1D 1+(xn -2+x n -3y +
+y n -2)r. (r=D2-xD 1)
对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.
例3 计算三对角行列式
D n
=解 D
+b b a +b n
b 0
c i -c i -1
=aD n -1+
i =2, ,n
a b 0 a b
b0 ab n
①
=aD n -1+b n .
考虑对称性，也有
D n =bD n -1+a n . ②
a n +1-b n +1
=a n +a n -1b +联立①、②，解之得D n =
a -b
+b n .
对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.
例4 计算三对角行列式
1-11 解 0，然后降阶.
原式=
r 1+
n +1
∑r i =2
==(-1) 1+(n+1) (-1) n =1.
例5 计算行列式
n a 1
n -1a 1b 1-1a n 2b 2
n -1
a 1b 1n -1a 2b 2
a n 2a n n
, (ai b i ≠0,i =1,
, n).
-1
a n n b n n -1
a n b n
解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果. 易见如果第1至第
n
n 行分别提取公因子a 1,
,a n n ，那么可将其化为范德蒙行列式.
1
b 1
a 1
⎛b 1⎫ ⎪⎝a 1⎭
n -1
原式=(a 1
a 2
a n )
n
b 12
a 2b 1n
a n
⎛b 2
⎫ ⎪⎝a 2⎭⎛b n ⎫ ⎪⎝a n ⎭
n -1
n -1
=1.
设
矩阵
A =(α1, α（2005 一）（答案: 2
2. 已知α1（2006B . 四）
3. 设矩阵案: 2）
提示: 一） （答
BA =B +2E ⇒B (A -E )=2E ⇒B =2(A -E )⇒B =2
方法二
-1
⎛11⎫⎛1-1⎫=2 ⎪= ⎪
-1111⎝⎭⎝⎭
-1
BA =B +2E ⇒B (A -E )=2E ⇒B ⋅A -E =4⇒B =2
Linear Algebra
-a
-1
4. 计算五阶行列式D 5=0
a 000a 000. （1996 四） 1-a a -11-a 00-101-a a -11-a
⎧(1+a )x 1+ x 2++ x n =0⎪⎪ 2x 1+(2+a )x 2++ 2x n =05. 设有齐次方程组⎨, 试问a 取何值时该方程组才能有非零⎪
⎪ nx 1+ nx 2++(n +a )x n =0⎩
解？ （
6. 已知x n =0, 证
明:-M j 1, 提示(- 21 -