[键入文字]
线性代数论文
题目： 行列式的性质
学院： 计算机科学与技术学院
班级： 2013级网络工程本四
姓名：
指导教师： 职称：
完成日期： 2014 年 10 月 30 日
行列式的性质
摘 要：通过学习n 阶行列式的定义，我们知道了n 阶行列式共有n ！项，所以直
接用定义来计算n 阶行列式的计算量相当大，即使是用目前最快的计算机也很难实现。如果用定义计算一个25阶行列式，需做超过25！≈1.5*1025次的乘法运算，若一个超级计算机每秒钟能够完成1万亿次乘法运算。用这种方法计算一个25阶行列式，也将需要运算50万年。因此如何快速的计算行列式是我们急需解决的问题，为此，我们先来研究行列式的性质。
关键词：行列式；行列式的性质；计算
The Properties of Determinant
Abstract ：Through the definition of learning n order determinant, we know there are n n
order determinant! A calculation directly, so to calculate the n order determinant definition is quite large, even if it is also very difficult to achieve by far the fastest computer. If the calculation of a 25 order determinant by definition, need to do more than 25! About multiplication of 1.5*1025 times, if a super computer to complete 1 trillion times per second multiplication. The calculation of a 25 order determinant in this way, will also need to be operational in 500000 years. Therefore, to compute the determinant of how fast we need to solve the problems, therefore, we first study the properties of determinant.
Keywords ：determinant; determinant property; calculation
目录
1.1 引言 ................................................................................................................................. 1 1.1.1性质1 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.2性质2 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.3性质3 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.4性质4 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.5性质5 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.6性质6 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3 1.1.7性质7 . ....................................................................................................................................2 例题 . ............................................................................................................................................3
1.1 引言
设：
a 11a 12 a 1n a 11a 21 a n 1
D =a 21a 22 a 2n , D T =a 12a 22 a n 2,
n 1a n 2 a nn 1n a 2n a nn
则行列式DT 称为行列式D 的转置行列式。 1.1.1 性质1
行列式与它的转置行列式相等。 例题：
1234
=-2,
1324
=-2
1.1.2 性质2
交换行列式的两行（列），行列式变号。 例题：
-
3412
=-2
推论：若行列式的两行（列）完全相同，则行列式为0。
a 11a 12a 13a 11a 12a 13
D =a 11a 12a 13 -D =-a 11a 12a 13
a 31a 32a 33a 31a 32a 33
D=-D,2D=0，D=0
1.1.3 性质3
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 例题：
元素都乘2，D 2 是用2*D。由二阶行列式的定义可得，D 1 =2*1-4*3=-10，D 2=2（1*1-2*3）
, D 1=, D 2=2, 这里，D 1是把D 的第一行的两个 设31
31
31
122412
=-10，即D 1= D2
推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
1.1.4 性质4
行列式中如果有两行（列）对应元素成比例，则此行列式等于0。 例题：
设D =, 这里D 的第二行与第一行对应元素之比为3，即两行成
1236
比例，由定义得 D=1*6-2*3=0
1.1.5 性质5
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和。 例题：
第i 列的元素都是两数之和：
D =
a 11a 12 (a 1i +a 1, i ) a 1n
,
a 21a 22 (a 2i +a 2i ) a 2n
a n 1a n 2 (a ni
, +a ni ) a nn
,
则D 等于下列两个行列式之和：
D =
1.1.6 性质6
a 11a 12 a 1i a 1n
a 21a 22 a 2i a 2n
+
a 11a 12 a 1, i a 1n
,
a 21a 22 a 2 a 2n i
, n 1a n 2 a ni a nn
,
n 1a n 2 a ni a nn
把行列式的某一列（行）的各元素乘同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 例题：
以数k 乘以第j 行加到第i 行上，记做r i +krj ，有
a 11 a 1i a 1j a 1n
a 21 a 2i a 2j a 2n
a n 1 a ni a nj a nn
a 11 （a 1i +ka 1j ) a 1j a 1n
c i +kcj
a 21 (a 2i +ka 2j ) a 2j a 2n
i ≠j )
a n 1 (a ni +ka nj ) a nj a nn
1.1.7 性质7
（行列式展开定理）行列式等于它的任意行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
推论：一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除
a ij 外都为0，那么这个行
列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积，即：D=a ij A ij
例题： 31-1251 D =-513-4C4+C3 -111 201-1C1-2C3 00 1-53-3-5-5 511
=1*（-1）
3+3
∙-111-1=40 -5-50
参考文献：
【1】方文波，线性代数及其应用. 高等教育出版社，2011.2
-113-11030