放缩法
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：
a 2+1>a ；n (n +1) >n ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶
log 3⋅lg 5
利用基本不等式，如：
lg 3+lg 52
) =lg
n (n +1)
n +(n +1)
2
Ⅰ、k +1-k =度大）
Ⅲ、
小）
例1. 若a , b , c , d ∈R +，求证：
1
a b c d
+++
a +b +d b +c +a c +d +b d +a +c
a b c d
+++【巧证】：记m =
a +b +d b +c +a c +d +b d +a +c
1k +1+k
12k
；
11111111=- ； k 2k (k -1) k -1k k 2k (k +1) k k +1
111111
(k -1)(k +1) 2k -1k +1k k -1
∵a , b , c , d ∈R + ∴m >
a b c d +++=1
a +b +c +d a +b +c +a c +d +a +b d +a +b +c
第 1 页 共 3 页
m
a b c d
+++=2 a +b a +b c +d d +c
∴1
例2. 当 n > 2 时，求证：log n (n -1) log n (n +1) 2 ∴log n (n -1) >0, log n (n +1) >0 ∴
⎡log n (n 2-1) ⎤⎡log n (n -1) +log n (n +1) ⎤log n (n -1) log n (n +1)
⎡log n n 2⎤
22
2
∴n > 2时, log n (n -1) log n (n +1)
1111
+++ +
1111
n (n -1) n -1n n
1111111111
+++ +
223n -1n n 123n
十二、放缩法:
巧练一：设x > 0, y > 0,a =
x +y x y
+, b =，求证：
1+x +y 1+x 1+y
a
巧练一：【巧证】：
x +y x y x y =+
1+x +y 1+x +y 1+x +y 1+x 1+y
巧练二：求证：lg9•lg11
lg 9+lg 11⎫⎛lg 99⎫⎛2⎫
巧练二：【巧证】：lg 9⋅lg 11≤⎛ ⎪= ⎪
2⎝⎭⎝2⎭⎝2⎭
2
2
2
巧练三：log n (n -1) log n (n +1)
练
三
：
【
巧
证
】
：
第 2 页 共 3 页
⎡log n (n 2-1) ⎤⎡log n n 2⎤
log n (n -1) log n (n +1) ≤⎢⎥
114
++≥0 巧练四：若a > b > c , 则
a -b b -c c -a
22
巧练四： 【巧
2
证】：
111
+≥2≥2a -b b -c (a -b )(b -c )
⎛⎫24
⎪= (a -b ) +(b -c ) ⎪a -c ⎝⎭
1111
++ +2>1(n ∈R +, n ≥2) 巧练五：+
n n +1n +2n
11111n 2-n
巧练五：【巧证】：左边>+2+2+ +2=+2=1
n n n n n n 111
++ +
11
⋅n
2n n +1
巧练六：≤
1
2
巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n
c n (n ≥3, n ∈R *)
a ⎫⎛b ⎫
巧练七：【巧证】： ∵⎛ ⎪+ ⎪=1，又
⎝c ⎭⎝c ⎭⎛a ⎫⎛a ⎫⎛b ⎫⎛b ⎫
a ⎫⎛b ⎫
∴⎛ ⎪+ ⎪=1
⎝c ⎭⎝c ⎭
n
n
n
2
n
2
22
a , b , c > 0, ∴
第 3 页 共 3 页