1．从若干方面论述教师知识结构对于高中数学课程标准的适应性问题。 新课标对教师的知识结构提出了新的要求，数学教师应更新知识结构，以适应高中数学课程标准。一、教师一定要认真研读新课标，加强对新课程改革理念的学习。二、新课程增加了许多反映社会经济文化科技新进展、时代性较强的新内容。这就要求教师通过各种渠道不断学习，及时更新自己的知识结构。三、教师应注意通过报刊杂志、互联网、电视媒体、集中进修和培训、参加研讨会等各种渠道不断学习，尽量将新课程理念和目标内化为自己的教育信念和教育追求。四、新教材强调课程综合化，强调各科之间的沟通与综合，这就要求教师增加跨学科综合知识，全面拓展个人的各方面修养，淡化自己的学科角色。五、新教材强调充分利用现代网络技术，因此教师应熟练的掌握一些现代信息技术知识。总之。作为一名教师，应该根据时代的要求不断的完善自己的知识结构，提升自己的综合素质，以适应课程改革的变化。
2．用教学实例说明直观几何在中学几何课程中的地位和作用。
答：几何的直观性是一个有目共睹的事实，由于几何的直观性，使得几何在数学中（即使在数学家正在研究的高深的数学中）具有非常重要的地位。下面我们引用当代伟大的数学家Michael Atiyah（1929—，英国皇家学会会员，法国科学院、美国科学院、瑞典科学院外籍院士，菲尔兹奖获得者）的话：现代数学与传统数学的差别更多地是在方式上而不是在实质上。本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争，这些困难是由于研究高维问题而产生的。集合直观仍然是领悟数学的最有效的渠道，应当在各级学校尽可能广泛地利用几何思想。
现在各国中学几何课程中都加入了直观几何的内容。学生能够在直观几何课中遇到引人入胜的难题，例如，种种迷人的折纸与拼图游戏，观察和实验是直观几何的主要内容。学生能够通过生动的、富有想象力的活动，发展自己的空间想象力；通过实实在在的动手操作，了解什么是几何变换；通过折叠、拼合建立关于对称的直观概念。观察、实验、操作、想象等认知活动在直观几何中以形形色色、丰富多彩的方式表现出来。中学几何教学中有些“概念、习题”用直观的方法进行讲解、指导，能很好地帮助学生理解知识、掌握知识并顺利地解决具体问题。
我在教学中，对某些“概念”的教学，常常就运用运动的观点做一些小实验
来激发学生的求知欲，提高学生学习数学的兴趣，帮助学生对“概念”的加深理解。如：
讲解“三角形3个内角的和等于180°”这一知识时，我开始做了一个小实验：
用橡皮筋构成△ABC ，使顶点B 、C 固定，顶点A 可以移动（如图）。当顶点A 来回运动时就可以得到不同的三角形。
这时，我便问学生：这些三角形的内角和是多少度呢？
学生在讨论中发现：当顶点A 越靠近BC ，
∠BAC 越接近180°，
∠ABC 与∠ACB 越来越小，接近0°，
而当顶点A 落到BC 上时，这时∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。
于是，我让学生猜想，一般情形下，△ABC 的内角和确实是180°吗？
接着，课上学生又积极地探索了几种不同的方法证实这一结论。整个一节课，学生思维积极，学习气氛非常浓厚，对这一知识的理解也比较深刻。
几何图形是帮助我们进行数学想象的最有效的工具。本来，数学中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的对象是难以思考的，直观的几何图形是我们最容易利用的数学形象。因此，直观几何不但能够帮助初学者掌握基础知识，也能够帮助人们进行真正的数学研究与数学创造。
直观几何并不仅仅停留在直观操作的层面，经过教师的细心引导，直观几何中也可以包含丰富多彩的、严格的逻辑推理。
C A 12A
3．你能否理解代数中的模式直观，以实例说明。
答：模式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径。模式直观并不是如许多人所想象的那样，“直观”离不开几何图形。模式直观是一种在大多数场合不能利用几何图形并借助于视觉形象所产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、形象的推断和理解。有时模式直观表现为人们对复杂过程所发生的程序或秩序的理所当然的了解和理解。在上面的证法2中我们把“从n 个元素的集合中取m 个元素的过程分解为两种绝然不同的取法程序，其中一种在所取的m 个元素中不含固定元素a ，另中一种在所取的m 个元素中含固定元素a ，这样合在一起就是从n 个元素的集合中取m 个元素的所有可能的情形”。证法2 的合理性建立在这种“程序分划”的模式直观之上。
m m m -1=C n 一个非常典型的模式直观的实例是关于组合公式C n n ≥ 2）-1+C n -1（m ，
的证明。
证法1：
m m -1C n -1+C n -1=(n -1) (n -m ) (n -1) (n -m +1) +m ! (m -1)! n (n -1) (n -m +1) m ==C n m !
证法2：在n 个元素中固定一个元a ，那么从n 个元中取m 个元可分为两种
1m 情形。一定不取a ，共有C n m -1种取法；一定取a ，共有C n m --1种取法，加起来共C n
个取法。
m 容易看出证法1依赖于组合符号C n 的定义及烦琐的数字计算，是一种对发
现公式本身丝毫无助的纯验证法。而证法2直观形象，通过这种途径我们不但能够证明公式，而且这是一种发现公式的真正途径。可是，令人不可思议的是，传统的教学观点甚至认为证法2不能算作逻辑证明，不少旧教材仅仅把证法1作为该公式的证明，而把证法2作为对公式的一种“直观理解”。现在我们暂时不对这些有分歧的观点做出过多的判断和评论，关于证法2是否是真正的数学证明这个问题，读完下文之后读者一定能够自行判断。
14．下面列举5个长期困扰中小学学生和教师的数学问题，请选择其中1-2个加以分析研究，讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题，以教师教学中的探究引导学生进行数学问题的探究与思考。
112+≠? 235
答：因为数学教学过程中存在心理学方面的问题。至少在不少幼童心里存在这样的直接想法：1.2+1.3=2.5，说明加法总是将同类的对象相加，为什么分数的加法违背大多数加法法则，不是把分子与分子、分母与分母这种同类东西相加，而是另外使用一套非常难以想象的复杂法则呢？
我们不能把这样的问题看得过分简单，可以强调分数加法自有一套法则，但是初学者心里难以将这样复杂而违背常规的法则转化为自己心里的直观形象。
下面是对于“通分”法则的解释：首先观察带分数的减法。
1）为什么1.2+1.3=2.5而
如果将小数看成十进制分数，那么是27-进位制的分数，同样是14-进位制的分数，而是7-进位制的分数。小数加减法只有当进位制相同时才能进行。在这样的理解之下，分数运算与小数运算具有统一的法则。而“为什么
1.2+1.3 = 2.5而
？”的问题就迎刃而解了。“通分”就是把不同进位制的分数化为相同进位制的分数，然后再进行运算。古埃及人十分重视，这类分数，把此类分数称为“分数单位”，实际上分数的运算是又“分数单位”决定的，“分数单位”也是分数的“位值”，自然地，不同位值的两个数无法简单地进行运算。
上面的解释表面上看起来好象不涉及心理学问题，但是“位值制”概念是比较
直观的概念，例如：（苹果）
+（香蕉）难以进行简单的运算，其主要的困难就在于被加的对象没有等同的“位值”。对于初学者来说，普通概念是他接受专业概念与专业法则的基础。
因此，简单地重复法则无法使学生摸去“心里的错误”。 教师纠正错误的第一步是让学生先做下面的问题：
教师心里必须明白，在各种各样的分数中有举足轻重的作用，特别是儿童，在儿童心目中分数是抽象的，但是是个例外，是一个最富有形象的分数。注意到这一点会对分数的教学有极大的帮助。 所以，小学生学习分数，第一步学的不应该是，而应该是。虽然从表面上看起来这两个分数加法运算没有太大的区别，但这仅仅是成年人的想法，儿童没有这样的心理。
只要有每次吃半个苹果经历的儿童都不难接受
的运算法则，但是与一样难。 第二步还到不了做的地步，应该通过适当的反复，尝试反复做
，
, 这类问题，通过同分母（不是一般的同分母运算，而是同分母的单位
分数运算）的运算让学生首先注意到的不是抽象的分数运算法则，而是单位分数（即）的重要概念。 与相仿，单位分数在分数中处于独特的地位。单位分数的运算基本上接近整数的运算，在儿童的心目中“形象”比较清晰。 几何形象也许是帮助儿童解决心理困惑的工具。
下面我们摘录一段著名的美国数学家David Mumford（1937—，哈佛大学教
授，1974获菲尔兹奖，1995—1999任国际数学家联盟主席）讨论大学微积分课程改革的一篇论文（载美国数学会刊物Notices of AMS，1997第44卷）中对数学课程中“公理证明”与“图形直观”的看法和意见，Mumford 说：
“通常图形是促进交流的办法，在小学里，当你接受1/(1/n)=n时，你可能像我一样困惑。当然，现代教科书中程度不同地摆弄公理的办法去„证明‟这一公式，但是用下面的对比图形不是一样清楚吗。（参见下图）”
总共6块饼，每人2块，可以分给几个人？
6/2=3.结论：6包含3个2
总共1块饼，包含几个1/4块？
结论：1包含4个1/4，因此1/(1/4)=4
Mumford 评论：“介绍一个实例，观察一个图形，导出一个解释，难道不比去介绍形式化证明更好吗。”
2）为什么“负负得正”？
答：“有理数负负得正法则”教学设计”
在初中数学课堂教学中，与教科书中呈现有理数乘法法则的基本模式相对应，“负负得正法则”的教案设计方式通常有“变号法则模式”、“运动模式”以及“合情推理模式”三种基本模式，而且，分别对应于当前使用率最高的三套初中数学课程标准实验教科书的相应版本：
设计方式之一：变号模式
首先，将本节课的教学目标拟定为：培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识；理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律，会正确运算。 其次，将教学环节拟定为如下三个环节：
①导入：根据乘法的意义，由“正数乘法2+2+2+2=2×4=8”引入被乘数是负数的乘法，进而提出问题：（－2）×（－4）、2×（－4）意义何在？得数是多少？
②新授内容：
探究：先给出一组式子：
4×2＝8； 3×2＝6； 2×2＝4；1×2＝2. 即正×正＝正。
然后，让学生按照规律继续往下写，得出：
（－4）×2＝－8； （－3）×2＝－6；
（－2）×2＝－4； （－1）×2＝－2.
即负×正＝负。
对比两个方阵，得出规律：
两数相乘，若其中一个数变成它的相反数，则它的积也变成原来积的相反数。 建立模型：在默认有理数乘法满足乘法交换律的前提下，利用上述规律，推出“负×负、正×负、正×0、负×0、0×正、0×负”等几种类型的算式，并结合上面的两个方阵，让学生观察、对比、归纳，得出有理数乘法法则。
③巩固、强化：出示练习，在此基础上得出乘法运算律在有理数范围内同样适用。
设计方式之二：合情推理模式
首先，将本节课的教学目标拟定为：经历有理数乘法法则的推导过程，会运用有理数乘法法则进行运算；掌握有理数乘法的交换律。
其中，法则的推导过程是教学的重点，而其中“负有理数乘负有理数”则是教学的难点。
在导入新课的环节中，教师通过让学生回忆小学学过的四种类型的乘法，即“正有理数乘正有理数，正有理数乘0，0乘0，0乘正有理数”，从而引导学生讨论引进有理数之后还应该学习哪些类型的乘法，即“负有理数乘负有理数，负有理数乘0，0乘负有理数，正有理数乘负有理数，负有理数乘正有理数”。当学生归纳发现还有以上四种类型的乘法需要研究时，教师很巧妙地引出学习有理数乘法法则的重要意义。
在“合情推理的过程”教学环节，任课教师认为，这个环节主要是学生在教师的引导下寻求有理数乘法的规律，主要解决“正有理数乘负有理数，0乘负有理数，负有理数乘负有理数，负有理数乘正有理数”等问题。因而，教师通过逐步分析四种新类型的有理数乘法，再加上小学学过的四种类型，也就是把有理数乘法的所有类型都进行了梳理，这就为下一步归纳总结有理数乘法法则的规律做好铺垫。
在“总结规律”的环节中，进行完八种类型的乘法推理之后，顺理成章地得出需要寻找一种更加简便的法则，以便于指导今后的运算，进而引导学生自己总结出有理数乘法的法则，总结出“确定积的符号与积的绝对值”的要点。
在“例题讲解、巩固练习”阶段，教师没有给学生讲解“乘积为1的两个有理数互为倒数”这一小规律，而是把乘法交换律加入到有理数的乘法法则这节课中来。
设计方式之三：运动模式
本节课的教学目标为：培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的意识；理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律，会正确运算。
教学过程包含三个环节：
① 导入：首先利用一个有关运动的现实情景，借助数轴研究有理数的乘法（+2）×（+3）=？，（-2）×（+3）=？，（+2）×（-3）=？，（-2）×（-3）=？四个问题，借助现实意义得出有关的结果（而不是利用有理数乘法的意义得出结果）。
② 新授内容：
* 观察、分析、归纳四个算式（+2）×（+3）=+6，（-2）×（+3）=-6，（+2）×（-3）=-6，（-2）×（-3）=+6，进而引出有理数乘法的一般法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
* 通过如下例子说明如何运用有理数乘法法则进行计算：
（－5）×（-3）；（－5）×（+4）；（－3）×9；（－）×（-2）
* 通过一个登山的实际情景（即“登山”简单应用题），体现有理数乘法法则的现实性。其中的算式为（－6）×3
③ 巩固、强化：出示练习，强化训练，内容为：
计算：6×（-9）； （－4）× 6； （－6）×（-1）；
（－6）×0；
简单应用题（与例题2类似）：写出1，-1，等数的倒数。
对比实验显示，负负得正法则的不同的教案设计风格，对于实际的课堂教学效果影响显著：“运动模式”从已有的算式出发导出乘法法则，可以减少“硬性规定”的痕迹，增加学生的认同感；同时，重视学生对有理数乘法法则实际运用的熟练程度；但是，“运动模型”中“负乘负”的实际意义并不能被为数甚多的学生所理解。
“合情推理模式”从若干算式中寻找规律，归纳出乘法法则，更容易被程度较好的同学所认同；同时，该模式重视学生对有理数乘法法则运用的熟练程度。但是，这种模式对于学生的接受能力要求较高，即使在办学水平比较高的城市重点中学的相应班级，仍有超过半数的学生理解有困难。
“变号法则模式”关注发展学生的归纳、概括能力，各类学生的认同率高。但是，在这种模式下，有理数乘法法则的现实性欠缺，不少学生感到啰嗦甚至枯燥，乏味。
4）算术运算中为什么“先做乘除而后做加减”？
答：因为我们说：数学容许利用直觉进行推理！
图1
观察图1，竖数=2′3，横数=3′2。著名的英国数理逻辑学家I.Lakatos 在他的名著《证明与反驳》中列举了大量的论据说明上面仅仅求助于“观察与想象”的过程也是真正的数学证明。如果执意地认为这样的直觉推理不是证明，那么许多非常复杂的数学定理的证明将会受到同样的质疑。
现在再回到“先乘除、后加减”的运算法则。我们已经知道了整数运算的“算术公理系统”，没有公理对于运算顺序作出任何“先验性”的要求，原则上运算顺序需要用括号来确定，从这个角度来说“先做乘除而后做加减”确是一约定，但是，我们有很多生动的例证说明这样的约定并不是完全是人为的，它们也是在使用过程中自然形成的。
下面我们以非常浅近的“羊的计算”为例，证明这一法则的“自然形成性”。假定一个村子有10户人家，其中2户各养12只羊，3户各养8只，4户各养4只，另外1户养10只羊，问全村共养几只羊。
不必列出算式我们就能够设想到计算的顺序应该是“先乘、后加”，简单的算式是：2′12+3′8+4′4+10=76，而运算顺序是先乘、后加。
事实上自然数的乘法最初是作为相同加数加法的速算法而引入的，在许多数相加时，相同加数的加法优先运算，并且多个数相加被两个数的乘法所代替，因此最后形成了“先乘除而后加减”的运算法则。