第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分 1、 原函数：若∀x ∈I , F ′(x ) =f (x ) , 则称F (x ) 为f (x ) 在I 上的一个原函
数.
例如：(sinx ) ′=cos x ，sin x 是cos x 的原函数.
２、原函数性质
(1)原函数存在定理：设f (x ) ∈C (I ) , 则f (x ) 存在I 上的原函数F (x ) .
(2)若F (x ) 为f (x ) 在I 上的原函数，则F (x ) +C 都是f (x ) 的原函数,
其中C 为任意常数.
(3)若F (x ) 和G (x ) 都是f (x ) 的原函数，则∃C ∈R , s . t .
F (x ) −G (x ) =C . 证明：
[F (x ) −G (x ) ]′=F ′(x ) −G ′(x ) =
f (x ) −f (x ) =0.
∴∃C ∈R , s.t. F (x ) −G (x ) =C .
(4) 设F (x ) 为f (x ) 在I 上的原函数, 则f (x ) 在I 上全体原函数为
F (x ) +C , C ∈R .
3、不定积分：函数f (x ) 在I 上的全体原函数称为f (x ) 在I 上的不定积分,
记作 (1)
∫f (x ) dx . 其中：
称为积分号； (2) f (x ) 称为被积函数；
(3)f (x ) dx 称为被积表达式. (4)x 称为积分变量.
显然, 若F (x ) 为f (x ) 在I 上的原函数, 则
∫
∫f (x ) dx =F (x ) +C , C 为任意常数.
例1 求x 5dx .
∫
′ x 6 x 655
解: 6 =x , ∴∫x dx =6+C .
1
∫1+x 2dx .
′
解: (arctan x )=
例2 求
1
, ∴2
1+x 1
∫1+x 2dx =arctan x +C .
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解:设曲线为y =f (x ), 根据题意知
dy
=2x , dx
′
x 2=2x , ∴∫2xdx =x 2+C , 于是f (x ) =x 2+C ,
()
又 f (1) =2 ⇒C =1, 所求曲线方程为y =x 2+1.
4、积分曲线：函数f (x ) 原函数y =F (x ) 的图形称为f (x ) 的积分曲线. 注：f (x ) 的不定积分是一簇积分曲线F (x ) +C .
5、导数与不定积分的关系 (1) (2)
∫f ′(x ) dx =f (x ) +C .
d
f (x ) dx =f (x ) . ∫dx
(3) ∫df (x ) =f (x ) +C .
(4) d
∫f (x ) dx =f (x ) dx .
可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、基本积分表 1、问题提出
′
x µ+1 x µ+1µµ
例： µ+1 =x (µ≠−1) ⇒∫x dx =µ+1+C .
启示：能否根据求导公式得出积分公式？
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
2、基本积分表
(1)
∫kdx =kx +C (k 为常数) ；
µ
x µ+1
+C (µ≠−1); (2) ∫x dx =
µ+1
dx (3) ∫=ln |x |+C ;
x
dx 11
证明：①x >0, ⇒∫(−x ) ′=, =ln x +C , ② x
x −x x
dx
=ln |x |+C . ∴∫x 1
(4) ∫=arctan x +C ;
1+x 2
1
(5) ∫=arcsin x +C ;
2
−x
(6) ∫cos xdx =sin x +C ;
(7)
∫sin xdx =−cos x +C ;
(8)
dx 2
=sec 2∫cos x ∫xdx =tan x +C ; dx
(9) ∫2=∫csc 2xdx =−cot x +C ;
sin x
(10) ∫sec x tan xdx =sec x +C ; (11) (12)
∫csc x cot xdx =−csc x +C ; ∫e dx =e +C ;
x
x
a x
+C ; (13) ∫a dx =ln a
x
三、不定积分的性质
1、∫[f (x ) ±g (x )]dx =∫f (x ) dx ±∫g (x ) dx .
证明：
d d d
f (x ) dx ±g (x ) dx =f (x ) dx ±g (x ) dx ∫∫∫∫dx dx dx =f (x ) ±g (x ) ,
()
∴∫[f (x ) ±g (x )]dx =∫f (x ) dx ±∫g (x ) dx .
2、kf (x ) dx =k 证明：
∫
d d k ∫f (x ) dx =k f (x ) dx =kf (x ) , ∫dx dx
∴∫kf (x ) dx =k ∫f (x ) dx .
52
5+12
(
∫f (x ) dx . （k 是常数, k ≠0）.
)
7
µ x µ+122x
x dx C =+例4 ∫x x dx =∫x dx =+C =x +C . ∫ 1+µ7 +1
2
(x −1) 331x 3−3x 2+3x −1例5 ∫==(−3+−2) dx x 22∫∫x x x x
1x 2
=−3x +3ln |x |+2+C .
2x
2
例6 (e x −3cos x ) dx =e x −3sin x +C .
∫
x a x (2e ) x 2x e x
例7 ∫2e dx =∫(2e ) dx =a dx C =++C =+C . ∫ ln a ln(2e ) 1+ln 2
x
x
x
x +(1+x 2) 1+x +x 21 1
例8 ∫==+ dx 222∫∫x (1+x ) x (1+x ) x 1+x
=
11
dx +∫1+x 2∫x =arctan x +ln |x |+C .
x 4x 4−1+11 2
例9 ∫x dx 1==−+ 222 ∫∫1+x 1+x 1+x
x 3 =−x +arctan x +C .
3
例10 tan x dx =(secx −1) dx =tan x −x +C .
例11 sin 例12
∫
2
∫
2
∫
2
x 11
=∫(1−cos) dx =(x −sin x ) +C . 222
11111
tan x +C . dx =dx =dx =∫1+cos 2x ∫1+2cos 2x −12∫cos 2x 2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法
1、问题提出
问题：如何求 2cos 2x dx ？
分析： 2cos 2x =cos 2x ⋅(2x ) ′=(sin2x ) ′,
∫
∴∫2cos 2x dx =sin 2x +C .
解法：令u =2x , 由于cos u du =sin u +C ,
而 du =2dx , cos u =cos 2x ,
∫
∴∫2cos 2x dx =sin 2x +C .
2、第一类换元法
定理：设f (u ) 具有原函数，u =ϕ(x ) 可导，则有换元公式
∫f [ϕ(x )]ϕ′(x ) dx =[∫f (u ) du ]
证明：
u =ϕ(x )
.
du d d
⋅=f (u ) ϕ′(x ) =f [ϕ(x )]ϕ′(x ) , [∫f (u ) du ]=() du f u
dx dx du ∫
∴∫f [ϕ(x )]ϕ′(x ) dx =[∫f (u ) du ]u =ϕ(x ) .
u =3+2x 11111
例1 ∫====∫=ln |u |+C =ln |3+2x |+C .
3+2x du =2dx 2u 22
例2 2xe dx ====e u du =e u +C =e x +C .
∫
x 2
u =x 2
du =2xdx
∫
2
111u 23
(1) +C . =−+=−−u du C x
du =−2xdx 2∫332
2
sin x d cos x
例4 ∫tan x dx =∫=∫=ln |cos x |+C .
cos x cos x
例3 ∫x −x dx ====−
2
u =1−x
2
3
2
x x 1111() arctan ==+C . ∫a 2+x 2a ∫2a a a 1+() a
x x 11
例6 ∫=∫() =arcsin +C , (a >0) .
a a x a 2−x 2
1−() 2
a
例5
x x d () u =a
11====1du =1(1−1du 例7 ∫2=x −a 2a ∫(x ) 2−1adu =dx a ∫u 2−12a ∫u −1u +1
a
1d (u −1) 1d (u +1) 11 =−=ln |u −1|−ln |u +1|+C
2a ∫u −12a ∫u +12a 2a
x −1
111x −a u −1 =ln ln +C =+C =ln +C .
2a u +12a 2a x +a +1a
例8 例9
例10 sin x dx =−sin x d cos x =−(1−cos x ) d cos x
1d (1+2ln x ) 1dx d ln x
==∫x (1+2ln x ) ∫1+2ln x 2∫1+2ln x =2ln |1+2ln x |+C .
∫
e 3
x
dx ====2∫e 3u du =
dx
du =
2x 3
u =23u 23u 23
e d u e C e =+=(3) 3∫33
x
+C .
∫∫
2
∫
2
1
=−cos x +cos 3x +C .
3
例11 sin x cos x dx =sin x cos x d sin x =sin x (1−sin x ) d sin x
∫
25
∫
24
∫
222
121
=∫(sin2x −2sin 4x +sin 6x ) d sin x =sin 3x −sin 5x +sin 7x +C .
357
例12 cos x dx =
例13 cos x dx =
∫
2
1+cos 2x 11
=x +sin 2x +C . ∫224311
x −sin 2x +sin 4x +C . 8432
2
∫
4
111 1+cos 2x 2
其中：cos 4x =(cos2x ) 2= =+cos 2x +cos 2x
2424
1111+cos 4x 311=+cos 2x +⋅=+cos 2x +cos 4x . 4242828
例14 sec x dx =
∫
dx d sin x d sin x 1sin x −1
==−=−∫cos x ∫cos 2x ∫sin 2x −12ln sin x +1+C
1+sin x 1(1+sin x ) 2
=ln +C =ln +C =ln sec x +tan x +C . 221−sin x cos x
例15 cos 3x cos 2xdx =
111
x +x dx =x +sin 5x +C . (coscos 5) sin ∫∫22101
注意到：cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α−β)].
2
二、第二类换元法 1、问题提出 问题：如何求
∫
1−x 2dx ？
解法：如果令x =sin t , t ∈[−
, ], 那么 221122
−x dx =t dt =t +cos sin 2t +C ∫∫241111
=t +sin t cos t +C =arcsin x +x 1−x 2+C .
2222
ππ
2、第二类换元法
(1) 定理：设x =ψ(t ) 是单调的、可导的函数，并且ψ′(t ) ≠0，
又设f [ψ(t )]ψ′(t ) 具有原函数，则有换元公式
∫f (x ) dx =[∫f [ψ(t )]ψ′(t ) dt ]
其中(x ) 是x =ψ(t ) 的反函数. 证明：
t =(x )
.
d d dt [∫f [ψ(t )]ψ′(t ) dt ] =[∫f [ψ(t )]ψ′(t ) dt ] ⋅ dx dt dx
11
=f [ψ(t )]ψ′(t ) ⋅=f [ψ(t )]ψ′(t ) ⋅=f (x )
dx ψ′(t ) dt
∴∫f (x ) dx =[∫f [ψ(t )]ψ′(t ) dt ] t =(x ) .
(2)三角代换
一般规律：当被积函数中含有 ① a −x , 可令 x =a sin t ；
2
2
② a +x , 可令 x =a tan t ； ③ 例16
22
x 2−a 2, 可令 x =a sec t .
∫
dx a +x
2
2
=====∫
t ∈(−, )
22
x =a tan t
a sec t tan tdt a +tan t
2
ππ
=∫sec tdt =ln |sec t +tan t |+C 1 x a
x
+C 1 a
=ln |1+tan 2t +tan t |+C 1=ln 1+() 2+
=ln |x +a 2+x 2|+C . (a >0) 其中：C =C 1−ln a .
例17
∫
dx x −a
2
2
====∫
0
x =a sec t
a sec t tan tdt a sec t −1
2
π
=∫sec tdt =ln |sec t +tan t |+C 1
2
=ln |sec t +sec 2t −1|+C 1=ln
x x
+() 2−1+C 1 a a
=ln |x +x 2−a 2|+C . (x >a >0) 其中：C =C 1−ln a .
同时：
∫
dx x 2−a 2
=−∫
d (−x ) (−x ) 2−a 2
=−ln |−x +(−x ) 2−a 2|+C 2
x +x 2−a 2
=ln +C 2=ln +C 2 222a −x +x −a
1
=ln x +x 2−a 2+C . (x
总之：
∫
dx x 2−a 2
=ln |x +x 2−a 2|+C . (a >0)
(3)倒代换
当分母的阶较高时, 可采用倒代换:x =
1
. t
例18
∫
1−x 1214
dx ===t 1−() (−) dt =∫t t 2−1dt 42∫x t t
1
3
3
2
x =
1
t
111211=−∫(t 2−1) 2d (t 2−1) =−(t −1) 2+C =−(2−1) 2+C
223x
2
三、基本积分表(续)
(14) (15) (16) (17)
∫tan xdx =−ln |cos x |+C ； ∫cot xdx =ln |sin x |+C ；
∫sec xdx =ln |sec x +tan x |+C ； ∫csc xdx =ln |csc x −cot x |+C ；
1
=arcsin
x
+C ；∫a 2−x 2
a
11x
(19) ∫2=arctan +C ；
a +x 2a a 11x −a
(20) ∫2=ln +C ； 2
x −a 2a x +a 1
(21) ∫=ln |x +x 2±a 2|+C .
x 2±a 2(18)
例19 例20 例21
1dx d (x +1) x +1arctan ==+C . ∫x 2+2x +3∫(x +1) 2+(2) 222
∫∫
dx 4x 2+9dx
=
1d (2x ) 1
=ln(2x +4x 2+9) +C . ∫2(2x ) 2+332=∫(
dx
1152
) −x 2+2⋅x ⋅−() 2
222
+x −x 2
=∫
11
d (x −) x −
+C =arcsin 2x −1+C . =arcsin 5515
() 2−(x −) 2
222
第三节 分部积分法
一、分部积分法
1、问题提出
由于(x sin x ) ′=x cos x +sin x , 那么
∫x cos xdx +∫sin x dx =∫(x cos x +sin x ) dx =x sin x +C ,
从而
∫x cos xdx =x sin x −∫sin x dx +C =x sin x +cos x +C .
2、分部积分公式
证明： (uv ) ′=u ′v +u v ′, u v ′=(uv ) ′−u ′v
x x x x
′′例1 xe dx ====−=−=−+C . u v dx uv u v dx xe e dx xe e x
∫u v ′dx =uv −∫u ′v dx 或 ∫udv =uv −∫v du
∴∫u v ′dx =∫(uv ) ′dx −∫u ′v dx =uv −∫u ′v dx .
∫
x
u =x
v ′=e
∫∫∫
例2 x e dx =x de =x e −e dx =x e −2xe dx
∫
2x
∫
2x 2x
∫
x 22x
∫
x
=x 2e x −2e x (x −1) +C =e x (x 2−2x +2) +C .
3、u 与v 的选择要求 (1) v 易求出； (2)
一般地： 被积函数为x e 、x sin x 与x cos x 时, 选择u =x .
例如：
n x
n
n
n
∫v du 比∫udv 容易积出.
(1) 而
∫xe dx ===∫u v ′dx =uv −∫u ′v dx =xe −∫e dx =xe
v ′=e x
x
u =e x v ′=x
x
u =x
x x x
−e x +C .
(2)xe dx ===u v ′dx =uv −u ′v dx = 显然, 例3
2x
x
∫∫∫
12x 12x
x e −∫x e dx . 22
∫x e dx 比∫xe dx 更难积出.
1
ln xdx 2 ∫211
=x 2ln x −∫x 2d ln x 22111=x 2ln x −∫x 2⋅ 22x 11
=x 2ln x −∫x dx 22
11
=x 2ln x −x 2+C . 24
∫x ln xdx =
例4
∫arccos xdx =x arccos x −∫xd arccos x
x
=x arccos x +∫dx
−x
2
1d (1−x 2)
=x arccos x −∫
22−x
−+111
(1−x 2) 2+C =x arccos x −
2−+1
2
1
=x arccos x −1−x 2+C .
例4
∫x arctan xdx =
12
arctan xdx ∫2
x 21
=arctan x −∫x 2d arctan x 22
1x 2x 2
=arctan x −∫dx 221+x 2x 211+x 2−1=arctan x −∫dx 2
221+x x 211dx
=arctan x −∫dx +∫2
2221+x x 2x 1
=arctan x −+arctan x +C 222
x 1
=(x 2+1) arctan x −+C . 22
二、间接计算方法
例5 e x sin xdx =−e x d cos x
∫∫
=−e x cos x +cos xde x
=−e x =−e x =−e x =−e x
∫
cos x +∫e cos xdx cos x +∫e d sin x
cos x +e sin x −∫sin xde cos x +e sin x −∫e sin xdx
x x x
x
x
x
∴∫e x sin xdx =
1x
e (sinx −cos x ) +C . 2
例6 sec 3xdx =sec xd tan x
∫∫
=sec x tan x −tan xd sec x
∴∫sec 3
∫
=sec x tan x −∫tan x sec x tan xdx =sec x tan x −∫sec x (secx −1) dx =sec x tan x −∫sec xdx +∫sec xdx 11
xdx =sec x tan x +∫sec xdx
22
2
3
=
11
sec x tan x +ln |sec x +tan x |+C . 22
dx +
∫(x 2+a 2) n , n ∈N , (a ≠0) .
dx 1x
解：(1) I 1=∫2=arctan +C ; 2
x +a a a
dx
(2) 由于I n −1=∫2=∫(x 2+a 2) 1−n dx 2n −1
(x +a )
例7 I n =
=x (x 2+a 2) 1−n −xd (x 2+a 2) 1−n
∫
=x (x +a ) =x (x +a ) =
2
221−n
x 2
dx −2(1−n ) ∫2
(x +a 2) n
21−n
(x 2+a 2) −a 2
dx +2(n −1) ∫22n
(x +a )
x
+2(n −1) I n −1−2(n −1) a 2I n , 22n −1
(x +a )
1x
那么 I n =+−(23) n I n −1 , n =2, 3, . 22n −1
+2(n −1) a 2 () x a
例8 e
∫
x
dt === e t ⋅2tdt =2∫te t dt =2e t (t −1) +C =2e x (x −1) +C . 2∫
x =t
t =
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分
1、有理函数的化简
P n (x ) a 0x n +a 1x n −1+ +a n −1x +a n
, (1) 有理函数：F (x ) ==
Q m (x ) b 0x m +b 1x m −1+ +b m −1x +b m
其中m , n 都是非负整数, a i 及b j 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0.
(2) 假定F (x ) 分子与分母之间没有公因式
① 若n
(3) 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
x 5+x 4−8x 2+x −82
例如 =(x +x +1) +3
3
x −x x −x
2
x +x +1
2、真分式
x 3−x x 5+x 4 −8 53 x 4+x 3 −8 x 4 −x 2 x 3+x 2 −8 P n (x )
(n
Q m (x )
(1) 在实数范围内, 多项式Q m (x ) 可分解为
Q m (x ) =b 0(x −a ) α (x −b ) β(x 2+px +q ) λ (x 2+rx +s ) µ 其中 p 2−4q
P n (x ) A αA 1A 2
=++++ + αα−1
Q m (x ) (x −a ) x −a (x −a )
B βB 1B 2
++ ++ +
(x −b ) β(x −b ) β−1x −b
M λx +N λM x +N 1M 2x +N 2
++ ++ + +21
22λλ−1
x +px +q (x +px +q ) (x +px +q )
R µx +S µR x +S 1R 2x +S 2
+21+++µµ−122
(x +rx +s ) (x +rx +s ) x +rx +s
例如
x +3x +3A B −56
. ==+=+
x 2−5x +6(x −2)(x −3) x −2x −3x −2x −3 ⇒x +3=A (x −3) +B (x −2) =(A +B ) x −(3A +2B ) ⇒A +B =1, −(3A +2B ) =3 ⇒A =−5, B =6.
①
A B C 1111
. =++=+−
x (x −1) 2x (x −1) 2x −1x (x −1) 2x −1⇒ 1=A (x −1) 2+Bx +Cx (x −1) ，那么
取x =0⇒A =1；取x =1⇒B =1；取x =2⇒C =−1.
②
421
−x +
1A Bx +C +. ③ =+=
(1+2x )(1+x 2) 1+2x 1+x 21+2x 1+x 2⇒1=A (1+x 2) +(Bx +C )(1+2x ) ，即 1=(A +2B ) x 2+(B +2C ) x +C +A ,
421
⇒A +2B =0, B +2C =0, A +C =1 ⇒A =, B =−, C =.
555
3、有理函数的积分
(1) 有理函数积分可以化成一个多项式的积分和一个真分式的积分；
(2) 真分式的积分可归结为以下四种类型的积分： ① ②
dx
∫x −a =ln |x −a |+C ；
dx 1+
, ； C =+n >1, n ∈N n n −1∫(x −a ) (1−n )(x −a )
t =x +
p
2
Mx +N M ③ ∫2dx ==========
p 2Mp 2x +px +q a =q −, b =N −
4
2
d (t 2+a 2) dt
b +∫t 2+a 2∫t 2+a 2
=
M b t
ln(t 2+a 2) +arctan +C ； 2a a
p p 2
其中：x +px +q = x + +q −=t 2+a 2，
2 4 M Mp M
(Mx +N ) dx =d (x 2+px +q ) +(N −) dx =d (t 2+a 2) +bdt
222
2
2
.
同③M dt Mx +N d (t 2+a 2)
④ ∫2 dx ===+b n 22n 22n ∫∫(x +px +q ) 2(t +a ) (t +a )
M
=+bI n , n >1, n ∈N +. 22n −12(1−n )(t +a )
(3) 定理：有理函数的原函数都是初等函数. 例1 例
6 x +3 −5
dx dx =−5ln |x −2|+6ln |x −3|+C . =+ ∫x 2−5x +6∫ x −2x −3
2
x −2(x +1) −31d [(x +1) 2+2]d (x +1)
dx dx 3==−∫x 2+2x +3∫(x +1) 2+22∫(x +1) 2+2∫(x +1) 2+(2) 2
13x +1=ln(x 2+2x +3) −arctan +C . 222
例3
1111
dx =[−+∫x (x −1) 2∫x x −1(x −1) 2]dx
1d (x −1) d (x −1) 1=∫dx −∫+∫=ln |x |−ln |x −1|−+C . 2
x −1x x −1(x −1)
21 4
−x + 1+ dx 例4 ∫dx =∫ 1+2x 1+x 2 (1+2x )(1+x 2)
4d (1+2x ) 1d (1+x 2) 1dx
=∫−∫+∫22
101+2x 51+x 51+x
=
411
ln |1+2x |−ln(1+x 2) +arctan x +C . 1055
二、可化为有理函数的积分 1、三角函数有理式的积分
2t 1−t 22
∫R (sinx , cos x ) dx ====∫R (1+t 2, 1+t 2) 1+t 2dt ,
x
其中：R (u , v ) 为u , v 的有理式. 而 t =tan 称为万能代换.
2
2x
证明：由于 t =tan , 那么 x =2arctan t , 从而dx =dt , 且 2
1+t 2
x x 2tan 2tan
x x ==2t , sin x =2sin cos =22sec 2x 1+tan 2x 1+t 2
22
x x
1−tan 21−tan 2
1−t 22x 2x , cos x =cos −sin ===2
22t +122sec 1+tan
222t 1−t 22
那么∫R (sinx , cos x ) dx =∫R () , dt .
1+t 21+t 21+t 2
例5
t =tan
x 2
sin x 2t
dx ====∫1+sin x +cos x ∫(1+t )(1+t 2)
t =tan
x
2
2t +1+t 2−1−t 2(1+t ) 2−(1+t 2)
=∫ =∫22
(1+t )(1+t ) (1+t )(1+t )
11+t 12
=arctan t +ln(1+t ) −ln |1+t |+C =∫−2∫21+t 1+t x x x
=+ln |sec |−ln |1+tan |+C . 222
2、简单无理函数n
ax +b
有理式的积分
cx +d
t =n
ax +b cx +d
′n
dt n −b ax b dt b +−
dt , , t ) R (n n ∫R (x , n cx +d ) dx x dt n −b ∫a −ct = a −ct a −ct
其中：R (u , v ) 为u , v 的有理式.
n t n −b n −1
特别地, ∫R (x , ax +b ) dx ====R t t dt . (, )
t n −b a ∫a x =
n
t =n ax b
a
t =x −1x −1t t 2+1−1dt dt
例6 ∫dx ==== 2t dt =2=2dt −22∫t 2+1∫∫t 2+1 x =t 2+1∫t +1x
=2t −2arctan t +C =2x −1−2arctan x −1+C .
t =x +2dx 3t 2dt 1
例7 ∫t 31=====−+ dt ∫∫33x t =−21+t 1+t 1+x +2
33
=t 2−3t +3ln |1+t |+C =(x +2) 2−3x +2+3ln |1+x +2|+C .
22
3
例
t =x dx dx 6t 5dt (1+t 2) −1
dt =6 ∫ 3
2∫(1+x ) x =∫(x ) 3[1+(x ) 2]===x =t 6∫t (1+t ) 1+t 2
dt
=6 ∫dt −=6 ∫=6t −6arctan t +C =66x −6arctan 6x +C . 2
1+t
6
8
11+x 2t t 2dt 2
例9 ∫ dx ==== −∫t −1t =−2∫2
212x x t −1x =t −1t −1
t =
1+x
x
()
1 t −1
+C =−2t +2ln |t +1|−ln |t 2−1|+C =−2∫ 1+2 dt =−2t −ln t +1 t −1
=−2
1+x 1+x
+2ln +1 +ln |x |+C .
x x
本章最后说明：
初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.
例如：e
∫
−x 2
dx ,
sin x ∫x dx , 1
∫ln x dx ,
∫
dx 1+x
4
等等.