集合的含义和概念
在生活中，我们常常把具有相似性质的对象放在一起分析研究，例如，班上所有参加运动会的同学；图书馆中所有的工具书；网袋完好的篮球架。
在数学学习中，我们也接触过一些这样的处理方式，例如：对100进行因数分解，需要列举1-10所有的素数；到定点距离相等的点组成的图形是圆；介于1和3的实数，在数轴上是一条两个单位长的线段。
我们称被研究的个体对象，例如一个同学，2，圆上的一个点，为元素；这些元素组成的整体，例如运动会名单，{2,3,5,7},圆，为集合
显然4不是1到10的素数，圆外的点也不属于圆这个集合 集合中的元素应当是确定的，不能模棱两可。
含混不清的描述会导致在处理一些对象时不知所措，这种抽象便失去了意义。
1.下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．
2.下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有正三角形；
(2)必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生．
元素和集合的关系
也就是说给定一个集合，那么任意一个元素，要么在这个集合中，要么不在，不可能出现既在，又不在的情况，这也是集合的确定性的一种表述。
常用数集及表示符号
3.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或∉)． 答案 ∉ ∈
4.所给下列关系正确的个数是( ) 1**
①－∈R；②2∉Q；③0∈N；④|－3|∉N.
2A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B
5.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为 2或4 6
集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中元素有__________．
3－x答案 0,1,2
6.若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 3 5
解析 由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，
2∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
7.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则a的取值范围是________.5
8.集合A由方程x-
2
1010x+1=0的解组成，求A中所有元素之和________. 33
9.已知圆O,圆O上所有的点构成的集合为集合A,圆内所有点构成的集合为集合B,圆外所有点构成的集合为集合C，
又已知三点P,R,Q,其中P到圆心的距离等于圆的半径，R到圆心的距离小于圆的半径，Q到圆心的距离大于圆的半径，写出元素P,R,Q和集合A,B,C的关系
互异性（唯一性）
讲解：还是以运动会为例，肯定有同学报了2个，甚至更多项目，但在简单统计与会人员时，并不会重复对其进行登记，也就是说在抽象的过程中，重复的元素被省略掉，集合中的元素不会重复出现，既然如此，一个集合中的元素自然也是互不相同的。
31
10.1,0.5，组成的集合含有____个元素 3个
2211.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D
2
12.已知1∈{a，a}，则a＝________ -1
2
13.已知集合A中只含有1，a两个元素，则实数a不能取的值为________．
答案 ±1
14.
由a,-a,|a11
a+|a|,0组成的集合，最多有几个元素，最少有几个元素 最多3个，最少0个 22
集合性质综合问题
2
15.已知集合A是由0，m，m－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为 3 32
16.已知集合A是由a－2,2a＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. a＝－.
2
17.设a，b∈R，集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，b，且A＝B，则a＋b＝________ 0
2
18.已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b，且M＝N.求a，b的值
19.由-4,2a-1,a2可以构成一个有三个元素的集合A,则a不能取哪些值 20.由9,a-5,1-a可以构成一个有三个元素的集合B,则a不能取哪些值 21.已知9∈A,试求满足满足条件的所有a
5要排除 3要排除 -3可以留下
1
22.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则A(a≠1)．
1－a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能只有一个元素
集合的笛卡尔积
23.定义集合间的运算A⨯B={(x,y)|x∈A,y∈B}， 已知集合A={1,2,3},B={1,2,3},用列举法表示A⨯B
已知集合A中有10个元素，集合B中有20个元素，则A⨯B中有____个元素 如果认为数轴上的点是R中的元素，那么R⨯R中的元素是_____ 中的点
24.运算的封闭
如果某种二元运算，对于集合S，任取集合S中的两个元素进行该运算得到的结果仍然是集合S的元素，则称这种运算在集合S上是封闭的。例如加法在正整数集上是封闭的，任意两个正整数之和仍然是正整数，而减法对于正整数集就不是封闭的。
试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的
ba
Z }(1).加法 S={x|x=2k+1,k∈Z} (2).乘法 S={x|x=2k+1,k∈
(3).除法 Z (4).除法 Q
类似的，如果某种一元运算，对于集合S，任取集合S中的一个元素进行该运算得到的结果仍然是集合S的元素，
则称这种运算在集合S上是封闭的
试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的
(1)平方 N （2）开平方取正平方根 S={x|x=k2,k∈Z} (3)开平方取正平方根 N+ (4)开平方取正平方根 Q
25.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集。给出平面上4
个点集的图形如下（阴影区域及其边界），其中为凸集的是（ ）（写出所有凸集相应图形的序号）
悖论：
26.罗素悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我
将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
27.谎话悖论：假设世界上只有假话和真话，我说：现在我说的这句话是谎话，那么这句话是谎话还是真话呢？