§1.1.1 集合的含义与表示（1）
学习目标：
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征；
3. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
一、 基础知识梳理：
一）、集合的概念：
１、_____________________________________________叫做集合，集合常用______字母表示。集合中的各个对象称为___________；常用___________字母表示。
２、集合与元素关系的符合表示：
如果a 是集合A 的元素，就说_________________，记作____________；
如果a 不是集合A 的元素，就说_________________，记作____________（或________）。 ３、对于一个给定的集合来说，集合中的元素有三个重要的性质：
1） 集合中的元素是确定的，我们称为________性；
2） 集合中的元素是互不相同的，我们称为________性；
3） 集合中的元素是不管顺序的，我们称为_________性。
４、数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母来表示：
1） 全体自然数的集合简称_______________，记作______；
2） 全体整数数的集合简称______________，记作______；
3） 全体有理数的集合简称_______________，记作______；
4） 全体实数的集合简称_______________，记作______；
正整数集记作_______，负整数集记作_____；正有理数集记作_______，负有理数集记作____； 正实数集记作__________，负实数集记作_________。
５、集合的分类：
按集合所含元素的个数，我们可以把集合分为三类：
1）_______________________叫做有限集；
2）_______________________叫做无限集；
3）________________________叫做空集，用符号表示为_______ _。
二）、集合的表示方法：
1、列举法：
___________________________________________________________叫做列举法，
例如：方程x 2+3x =0的所有实数根构成的集合用列举法可以表示为；__________________；
2、描述法：
____________________________________________________________________叫做描述法，即A=___________________________________________
例如：方程x 2+3x =0的所有实数根构成的集合用描述法可以表示为：____________________； 抛物线y =x 2-1上的所有点组成的集合用描述法可以表示为：________________．
二、探究、合作、展示：
例题１、下列研究的对象能构成集合的是____________________________
○1某校个子较高的同学； ② 倒数等于本身的实数 ；③ 所有的无理数；
④ 讲台上的一盒白粉笔； ⑤中国的直辖市 ； ⑥中国的大城市；
7所有的正三角形； ○ ○8数学课本中的所有习题； ○9所有的数学难题
例题２、 设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，
则5 B ，0.5 B ， 0 B ， －1 B .
例题３、用列举法表示下列集合：
① 绝对值小于４的整数组成的集合；
② 方程x 2-2x +1=0的所有实数根组成的集合；
⎧y =x 3方程组⎨的解组成的集合. ○y =2x +1⎩
例题４、用描述法表示下列集合：
１ 被３整除的自然数全体构成的集合；
２、被３除余１的自然数全体构成的集合；
３、直角坐标平面上第３象限的点构成的集合、
例题５、 设x ∈R ，集合A ={3,x , x 2-2x }.
（1）求元素x 所应满足的条件；
（2）若-2∈A ，求实数x .
三、学习小结
§1.1.1 集合的含义与表示（2）
学习目标：
1、复习掌握方程的根多少的判断方法和求解方法；
2、 掌握集合的表示方法， 进一步理解描述法的含义
一、复习回顾练习：
1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市； ④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是
________________________________
2. “方程x 2-3x =0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.
3、已知集合A ={a 2-2a ,1}，若3∈A ，则a 的值为____
4、若集合M ={a , b , c }中的三个元素是某一个三角形的三条边长，则次三角形一定不是_________
A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形
5. 给出下列关系：
1① =R ；②
Q ；③-3∉
N +；④Q . 其中正确的个数为（ ）. 2
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6. 直线y =2x +1与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.
11 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {-,0} D. {(-,0)} 22
二、 探究、合作、展示：
例题1、若集合A=x ax +x +1=0，当 {2}a 为何值时，
（1） 集合A=φ; （2）集合A 只含一个元素；（3）集合A 含有2个元素。
例题2、下面三个集合：①{x|y=x2+2x-2}，②{y| y=x2+2x-2}，③{(x,y)| y=x2+2x-2}．
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们的区别在哪里？
例题3、将下列集合用列举法表示：
{
(2) 集合B ={(x ，y ) y =x 2x ≤2，x ∈Z (1)集合A =y y =x -12}-1x ≤2，x ∈Z }
⎧6⎫⎧6⎫例题4、已知集合M =⎨x ∈N ∈N ⎬，N =⎨∈N x ∈N ⎬，分别用列6-x ⎩6-x ⎭⎩⎭举法表示集合M 和集合N.
a ∈A ，a ≠1，则
例题5、若集合A 满足条件：若
（1） 若2∈A ，则集合A 中必有另外两个元素；
（2） 若a ∈R ，则集合A 不可能是单元素集合。
三、学习小结 1∈A 。求证：1-a
§1.1.2 集合间的基本关系（1）
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用维恩图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
一、复习回顾练习：
2，a 2，则a 的值为_____________________ 1、 若a ∈1，
2、 若集合M={(0，2)}，则下列写法正确的是______________
A 、0∈M B 、{0}∈M C 、(0,2) ∈M D 、{0,2}∈M
3、 试用列举法表示集合A=⎨x y ={}⎧
⎩6⎫，x ∈Z ，y ∈N ⎬=___________ x +1⎭
4、若集合x ax 2-2x +1=0中只有一个元素，则a =______
5、用列举法表示集合
二、基础知识梳理：
子集、相等、真子集、空集的概念.
1子集：对于两个集合A 和B ，如果________________________________________， ○
我们称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：_______________，读作：___________
规定：空集是_____________________的子集
2在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图. 用维恩图.
○
A ⊆B (或B ⊇A ) .
{}{(x , y )|x ∈{1, 2}, y ∈{1, 2}}=________________________; 3集合相等：对于集合A 和集合B ，如果_________________________________，那么我们○
说集合A 和集合B 相等。
● 从定义上来看，如果两个集合相等，那么他们的元素应该是______________.
4真子集：对于两个集合A 和B ，若____________________________________，则称集合○A 是集合B 的真子集，记作：________________，读作：__________________
注：
● 要判定A ⊆B ，只要判定_____________________________________________________； ● 要判定A B ，只要判定_______________________________且____________________；
三、探究、合作、展示：
例题1、1）、写出集合{1}的所有子集：
子集个数为______，真子集个数_______，非空真子集个数__________
2）、写出集合{1，2}的所有子集：
子集个数为______，真子集个数_____，非空真子集个数__________
3）、写出集合{1，2，3}的所有子集：
子集个数为______，真子集个数_____，非空真子集个数__________
1，2，3， ，n }的所有子集的个数为____________， 猜测：集合{真子集个数为_______，
n 个元素
非空真子集个数__________
例题2、设集合A ={1, a , b }，B ＝{a , a 2, ab }，若A=B，求实数a ，b 的值
例题3、设集合M ={x x =k 1k 1+, k ∈Z },N ={x x =+, k ∈Z }，则（ ） 2442
(A ) M =N (B)MN (C)MN (D ) M ⊄N
（提示：参考课本例题2的方法）
例题4、写出满足{3，4}⊂P ⊆{01，，2，3，4}的所有集合P
例题5、设集合A =x 2a ，若集合A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ____________________。（提示：利用数轴进行研究）
{}{}
四、小结
§1.1.2 集合间的基本关系（2）
1. 进一步 理解子集、真子集的概念；
2. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 进一步了解空集的含义，在解决有关子集的问题时，不忘记空集的存在。
一、复习回顾练习：
1、满足条件M ⊂{1,2,3 }的M 有________个..
2、已知集合{2x , x +y }={7,6}，则整数．．x =，y =
3、已知集合A ={1, a }, B ={1, a 2}，且A=B，则实数a 的值为____
4、已知集合A ={-1,3, 2m -1}, B ={3, m 2}，且B ⊆A ，则实数m 的值为____
5、若集合M 满足{1,2}⊆M ⊂{1,2,3,4,5}，则这样的集合M 有____个
6、设集合A =x 2二、探究、合作、展示：
例题1、（1）设集合A =x 2≤x a ，若集合A ⊆B ，求实数a 的范围。
（2）设集合A =x 2≤x
⎧b ⎫例题2、已知集合A =⎨a , ,1⎬，B ={a 2, a +b ,0}，若A =B ，求a 2007+b 2008的值 ⎩a ⎭
例题3、集合M ={x x 2-4x +3=0},N ={x ax -6=0}，
（1） 用列举法表示集合M ；
（2） 若N ，求a 的值。
例题4、集合M ={x x 2-2x -3=0},
（1） 用列举法表示集合M ；
（2）若N ，求a 的值。
三、 小结
N ={x ax 2-6x +9=0}。
§1.1.3 集合的基本运算（1）
引。
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用维恩图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
一、复习回顾练习：
1、下列各式中，正确的个数是 （ ） ①∅={0}； ②∅⊆{0}； ③∅∈{0}； ④0={0}； ⑤0∈{0}；
⑥{1}∈{1，2，3}； ⑦{1，2}⊆{1，2，3}； ⑧{a，b}⊆{a，b}．
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2、若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 （ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
k 1M ={x |x =k +, k ∈Z }N ={x |x =1+, k ∈Z }223、设集合, ，则( )
A 、M=N B 、M N C 、N M D 、M ∩N=φ
4、集合A={x|ax−6=0}，B={x|3x2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a = ___________
5、 已知集合A ={x |a
二、知识点梳理：
1、设有集合A 与集合B ，_________________________________________________叫做A 、B 的交集，记作_________，读作_____________；用描述法可以写成_____________________。 集合A 与集合B 的交集用图示法可以画成：
1、设有集合A 与集合B ，_________________________________________________叫做A 、B 的并集，记作_________，读作_____________；用描述法可以写成_____________________。 集合A 与集合B 的并集用图示法可以画成：
三、探究、合作、展示：
例题1、设A=(x ，y x +2y =4，B ＝(x ，y x -y =1，求出A ⋂B ，并说明它的意义。
{}{}
从图像上来看，
x +2y =4的图像是_______________，因此，集合A 可以看成是由_________________________________所组成的集合。
x -y =1的图像是_______________ ，因此，集合B 可以看成是由_________________________________所组成的集合。
所以，求A ⋂B 可以看成是求___________________________________
例题2、（1）设A ＝x -3
出A ⋂B ，A ⋃B
（2） 设A ={x |-14或x
（3）若A ＝{x |-5≤x ≤8}，B =x x >4或x
注意：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究. {}
例题3、 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩
1B ={-}，求A B . 并求出p 和q 的值。 3
四、小结
§1.1.3 集合的基本运算（2）
使用说明：先仔细阅读课本P13的内容，重要的地方做上记号。然后完成下面学习导引。
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
一、复习回顾练习：
1. 设A ={x ∈Z x ≤5}, B ={x ∈Z x >1}, 那么A A ．{1,2,3,4,5}
B 等于（ ）.
B ．{2,3,4,5} C ．{2,3,4}
D ．{x
2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）. A. x =3, y =－1 B. (3，－1) C. ｛3，－1｝ D. ｛(3，－1) ｝
3. 设A ={0,1,2,3,4,5}, B ={1,3,6,9},C ={3,7,8}，则(A B ) C 等于（ ）. A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设A ={x |x >a }，B ={x |0
B =∅，求实数a 的取值范围是 .
5. 设A =x x 2-2x -3=0, B =x x 2-5x +6=0，则A
{}{}
B 二、知识梳理：
1、 全集定义：
1）_____________________________________________________________叫做全集，常用用符号_______表示；
2）全集含有______________________________________________________。 2、补集定义：
已知全集U ，集合A ⊆U ，则由____________________________________________组成的集合叫做集合A 在集合U 中的补集，记作________，读作____________，用描述法表示为________________。
补集可以用图形表示为：
说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限
制.
三、探究、合作、展示：
例题1、 设U =R ，A ＝{x |－1≤x
例题2、 已知全集I ={2,3,a 2+2a -3}，若A ={b ,2}，C I A ={5}，求实数a , b .
例题3、已知全集U =R ，集合A =x x 2+px +2=0，B =x x 2-5x +q =0, 若(C U A ) 试用列举法表示集合A
{}
{}
B ={2}，
例题4、设U ＝{x |x
（3） 求(C U A ) ∩(C U B ) 、(C U A ) ∪(C U B ) 、C U (A ∪B ) 、C U (A ∩B ).
从以上结果可以看出： （1） (C U A ) ∩(C U B )_______ CU (A ∪B ) ；
（2） (C U A ) ∪(C U B )____________ CU (A ∩B ).
这个结果同学们可以尝试用维恩图解释：
四、小结
集合综合运算（1）
一、通过两集合的交集并集情况来判断两集合之间的关系： 1）若A ⋂B ＝A 如图：
则可以推出：A_____B
2）若A ⋃B ＝A 如图：
则 可以推出：A_____B
2
例题1、若集合A =x x -4x -12=0，B =x ax -1=0，且A B =A ，求所有满足
{}
{}
条件的实数a 组成的集合。
例题2、 已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B ={x|x2-mx+1=0}，且A ⋂B ＝B ，，求m 的值所构成的集合M ．
二、集合与两次函数值域问题：
[1]当a ＞0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口方向上，函数有最______值_____________，从图中可以观察，函数值y 的取值范围为______________________；
[2]当a
2
2
例题：
2
B =(x , y ) y =-x 2+2x +15, x ∈R ，例题1、已知集合A =(x , y ) y =x -2x -1, x ∈R ，
{}{}
求A ⋂B ；
22
例题2、已知集合A =y y =x -2x -1, x ∈R ，B =y y =-x +2x +15, x ∈R ，求
{}{}
A ⋂B ；
集合综合运算（2）
一、复习回顾练习：
2
1、已知集合集合A =x x -4x +3=0，B =x ax +3=0，若A ⋃B =A ，则实数a
{}
{}
的取值构成的集合为__________________。
2、已知集合A =y y =x +8, x ∈R ，B =y y =x -x , x ∈R ，则A B 为_______
A. {-2, 4} B. {(-2, 6), (4, 12) } C. ⎢-二、探究、合作、展示：
{}{
2
}
⎡1⎫
, +∞⎪ D. R ⎣4⎭
1、定义新运算：
例题1、定义集合运算:A *B ={z z =xy , x ∈A , y ∈B }. 设A ={1,2}, B ={0,2}, 则集合
A *B 的所有元素之和为 （ ）
A ．0 B ．2 C ．3 D ．6
例题2、定义A -B ={x |x ∈A , 且x ∉B }，若A ={1,3,5,7,9}, B ={2,3,5}, 则A -B = ______
A ．A B ．B C ．{1,2,7,9} D ．{1,7,9}
例题3、定义集合A 与B 的新运算:A *B =x x ∈A 或x ∈B 且x ∉A B , 则
{}
(A *B )*A =_________________
(A )A B (B )A B (C )A (D )B
2、图像问题：
例题1. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. （M P ) S B. （M P ) S
C. （M P ） （C U S ） D. （M P ） （C U S ）
例题2、设U 为全集，集合A ，B 是其子集，则图中阴影部分表示的集合为 __________ （A ）A ⋃C U B （B ）A ⋂C u B （C ） C U B （D ） C U A ⋂C U B
3、综合运算： 例题1、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax －b=0}，且A ∪B={2,3,5}，A ∩B={3}，求p,a,b 的值。
例题2、若非空数集A = {x ｜2a + 1≤x ≤3a －5 }，B = {x ｜3≤x ≤22 }，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是____________________________
例题3、设数集M=x m ≤x≤m +N ={x n -
{
341
≤x≤n }, 且M 、N 都是集合{x︱0≤x≤1}的子3
集, 如果把b －a 叫做集合{x a ≤x≤b}的“长度”.那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是_______
集合综合练习
一、填空题
1、设A={x x >-2}，B={x x
B 。
B
2、 设A={(x , y ) y =-4x +6}，B={(x , y ) y =5x -3}，则A 3、 若{a}⊆A ⊆{a,b,c}，则集合A 的个数有
4、设全集U=R，M={x|x≥1}， N ={x|0≤x
{
2，x ∈R ，N ={1，2，3，4}，则C U M ⋂N =_____
}
12⎧⎫
∈N ⎬, 用列举法表示集合6-x ⎩⎭
7、 已知U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ⋂(
C U B )={1, 8}, (C U A )⋂B ={2, 6},
(C U A )⋂(C U B )={4, 7}, 则集合8、已知集合A =x -2≤x ≤3，B =x x ≤a ,
{}{}
若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________，
若A ⋂B =x -2≤x ≤1，则实数a =____________， 若A ⋂B ={-2}，则实数a =___
若A ⋂B =φ，则实数a 的取值范围是____________
9、给定集合A 和B ，定义集合A ⊗B =x x =m -n , m ∈A , n ∈B ,
若A ={4,5,6}, B ={1,2,3}, 则集合A ⊗B 中的所有元素之和为___________________
{}
{}
}，则实数a 的值为10、设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，集合A ={1, a 2-1, 4}，ðU A ={2, a +3
_________________
11、右图中的阴影部分用集合表示为
12、设P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ※Q={(a , b ) |a ∈P , b ∈Q }，则P ※Q 中元素
的个数为 .
二、选择题
13、设A={x |x -x =0},B ={x |x +x =0},则A B 等于_________
2
2
（A ）0 （B ）{0}
（C ）φ
（D ）{－1，0，1}
14、设集合P ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，Q =x ∈R 2≤x ≤6，那么下列结 论正确的是____
A ． P Q =P B ．P 15、已知集合M ={x |x =（ ）
A ．M ＝N B ．M
{}
Q ⊃Q C ．P Q =Q D ．P Q ⊂P
k 1k 1
-, k ∈Z ｝，N ={x |x =-, k ∈ Z ｝，则 2442
N C ．N
M D ．M
N =∅
16、已知集合M , P 满足M P =M ，则一定有（ ）
(A) M =P (B)M ⊇P (C) M P =M (D) M ⊆P 三．解答题
2
17、设U =2, 4, a -a +1, B ={a +1, 2}, 若ðuB ={7}，求实数a 的值。
{}
22
18、已知集合A={x|x-3x+2=0}，B ＝{x|mx-2x+1=0}，且A ∩B=B，求实数m 范围。
19、已知集合A ={x|x2+px+q=0},B ={x|x2−x+r=0}，. 若A ∩B={−1},A ∪B={−1,2,3}求实数p,q,r 的值.