第2讲 函数与映射的概念
求抽象函数的定义域,如果没有弄清所给函数之间的关系,求解容易出错误
问题1:已知函数y =f (x ) 的定义域为[a ,b ],求y =f (x +2) 的定义域
问题2:已知y =f (x +2) 的定义域是[a ,b ],求函数y =f (x ) 的定义域
1. 求值域的几种常用方法
(1)配方法: y =-sin 2x -2cos x +4,
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数y =log 1(-x 2+2x +3) 就是利用函数y =log 1u 和u =-x 2+2x +3的值域来求。
22
2x +1的值域 x 2-2x +2
2x +11由y =2得yx 2-2(y +1) x +2y -1=0,若y =0,则得x =-,所以y =02x -2x +2(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y =
是函数值域中的一个值;若y ≠0,则由∆=[-2(y +1)]2-4y (2y -1) ≥0得3-3+3-3+≤y ≤且y ≠0,故所求值域是[, ] 2222
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y =2cos x -3的值域,因为 cos x +1
2cos x -3555y ==2-∈(-∞, -],故 ,而cos x +1∈(0, 2],所以-cos x +1cos x +1cos x +12
1y ∈(-∞, -] 2
考点一:判断两函数是否为同一个函数
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f (x ) =x 2,g (x ) =x 3;
x x ≥0, ⎧1(2)f (x ) =,g (x ) =⎨ x -1x
(3)f (x ) =2n x 2n +1,g (x ) =(2n x ) 2n -1(n ∈N *);
(4)f (x ) =x x +1,g (x ) =x 2+x ;
(5)f (x ) =x 2-2x -1,g (t ) =t 2-2t -1
[新题导练]
1.(2009·佛山) 下列函数中与函数y =x 相同的是( )
A .y = (x ) ; B. y
= 2 y =x 2 x 2
; D. y = x
2.(09年重庆南开中学) 与函数y =0. 1lg(2x -1) 的图象相同的函数是 ( )
A. y =2x -1(x >11111) ;B. y =(x >) ; D.y =|| ;C. y =22x -12x -122x -1
考点二:求函数的定义域、值域
题型1:求有解析式的函数的定义域
[例2].(08年湖北)函数f (x ) =1ln(x 2-3x +2+-x 2-3x +4) 的定义域为( ) x
A. (-∞, -4) [2, +∞) ;B. (-4, 0) (0, 1) ;C. [,-4, 0) (0, 1];D. [,-4, 0) (0, 1)
题型2:求抽象函数的定义域
2+x x ⎫⎛2⎫,则f ⎛ ⎪+f ⎪的定义域为( ) 2-x ⎝2⎭⎝x ⎭
A . (-4, 0) (0, 4);B . (-4, -1) (1, 4);C . (-2, -1) (1, 2);D . (-4, -2) (2, 4) [例3](2006·湖北)设f (x )=lg 题型3;求函数的值域
[例4]已知函数y =x -4ax +2a +6(a ∈R ) ,若y ≥0恒成立,求f (a ) =2-a a +3的值域
3. (2008
安徽文、理)函数f (x ) =22的定义域为 .
4.定义在R 上的函数y =f (x ) 的值域为[a , b ],则函数y =f (x -1) 的值域为( )
A .[a -1, b -1];B .[a , b ];C .[a +1, b +1];D .无法确定
5.(2008江西改) 若函数y =f (x ) 的定义域是[1, 3],则函数g (x ) =
f (2x ) 的定义域是 x -1
6.(2008江西理改) 若函数y =f (x ) 的值域是[, 3],则函数F (x )=f (x )+
是 231的值域 f (x )
考点三:映射的概念
[例5] (06陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a , b , c , d 对应密文
当接收方收到密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d . 例如,明文1,2,3,4对应密文5, 7,18,16.
14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A .7,6,1,4;B .6,4,1,7;C .4,6,1,7;D .1,6,4,7
[新题导练]
7.集合A ={3,4},B ={5,6,7},那么可建立从A 到B 的映射个数是__________,从B 到A 的映射个数是__________.
8.若f :y=3x +1是从集合A ={1,2,3,k }到集合B ={4,7,a 4,a 2+3a }的一个映射,求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
基础巩固训练:
1.(2007·广东改编) 已知函数f (x ) =1
-x 的定义域为N ,g (x ) =ln(1+x ) 的定义域为
M ,则M N =2.函数y =log 1(3x -2) 的定义域是3
2x -13.函数y =x 的值域是2+1
4.(广东从化中学09届月考)从集合A 到B 的映射中, 下列说法正确的是( )
A .B 中某一元素b 的原象可能不只一个;B .A 中某一元素a 的象可能不只一个
C .A 中两个不同元素的象必不相同; D .B 中两个不同元素的原象可能相同
5.法则f 中,构成从集合A 到集合B 的映射是
A .A ={x |x >0},B =R , f :x →|y |=x 2 B .A ={-2, 0, 2},B ={4},f :x →y =x 2 C .A =R , B ={y |y >0},f :x →y =D .A ={0, 2},B ={0, 1},f :x →y =1 x 2x 2
25,-4],则m 的取值46.(09年执信中学)若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ], 值域为[-
范围是( )
+∞)3]; C.[,4];D .[,A .(0, 4];B .[,
综合提高训练:
8.(05天津改)设函数f (x ) =ln
29.设函数f (x ) =x +x +3232322+x x 1,则函数g (x ) =f () +f () 的定义域是2-x 2x 1的定义域是[n , n +1](n 是正整数) ,那么f (x ) 的值域中共有 2
个整数