伯努利方程的解法及其应用

编号

学士学位论文

学生姓名： 江倩 学 号： [1**********] 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2007级（2）班 指导教师： 胡爱莲 完成日期： 2011 年 5 月 14 日

中文摘要

在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用。

关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用．

I

The Solving Methods and the Applications

of Bernoulli equation

Abstract

In the foundation of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equations．

key words： Bernoulli equation； Variable substitution； Constant change；Integrating factor；Application ．

II

目 录

中文摘要 ........................................................... I ABSTRACT .......................................................... II 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如yyp(x)

y(x)

ydyq(x)(

y(x)

ydy)（

n

y(x)0

ydy存在

且不为零）方程中的应用 ......................................... 10 2.1.2在形如[f()xh()]yg()yx1h()方程中的应用 ........ 11

x

x

x

x

y

y

y

y

2.1.3在黎卡提方程中的应用 ..................................... 12

3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................................. 15

III

引言

在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如yP(x)yQ(x)yn，其中P(x)、Q(x)为x的连续函数，n为常数且n0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解14。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。

本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。

1.伯努利方程的解法

1.1变量代换法

1.1.1、变量代换法、常数变易法的混合运用 伯努利方程：

dydx

P(x)yQ(x)y（n0，1）………（1.0）

n

其一般解法步骤如下：

⑴ 方程两端同除以yn得：

y

n

dydx

p(x)y

1n

Q(x).

1

⑵ 变量代换

令zy1n即可化为一阶线性微分方程：

dzdx

(1n)P(x)z(1n)Q(x)

．

⑶ 常数变易

通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解．

⑷ 变量代换

最后将z代换y1n得原方程的通解：

(n1)p

y1n(1n)e

(x

d)x

[Q(x)e



(1n)p(x

[1]dx．]cC为任意常数

d)x

1.1.2函数变换法

设yu(x)v(x)是（1.0）式的解，则对yu(x)v(x)两边求导得：

yu(x)v(x)u(x)v(x)，

将上式代入方程得：

u(x)v(x)u(x)v(x)p(x)u(x)v(x)Q(x)u(x)v(x)，

n

n

整理得：

[x u(x)vx()ux(v)(p)xv(x)(Q)x]u

n

……… x(v)x(

n

（1.1）

令v(x)p(x)v(x)0解得：

p(x)dx

v(x)e

，将其代入（1.1）式得：

p(x)dxnp(x)dxn

， u(x)eQ(x)u(x)e

整理得：

u(x)u

n

(x)Q(x)e

(1n)

p(x)dx，

两边积分得：

u

1n

(x)(1n)[Q(x)e

(1n)

p(x)dxdxc]，

2

故伯努利方程的通解为：

y

1n

(1n)e

(n1)

p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．[2]C为任意常数



1.1.3 求导法 令zA(x)y1nB(x)， 对上式两边求导得：

zA(x)y

1n

A(x)(1n)y

n

yB(x)，

即有：

y

n

y[zB(x)A(x)y

1n

]

1(1n)A(x)

，

代入（1.0）式得：

z[(1n)A(x)p(x)A(x)]y

1n

B(x)(1n)Q(x)A(x)0．

令(1n)A(x)p(x)A(x)0 ， B(x)(1n)Q(x)A(x)0． 解得：

A(x)e

(1n)

(1n)

p(x)dx ， B(x)(n1)Q(x)e

p(x)dx

． dx

这时伯努利方程变为z0，解得zc.

于是得到伯努利方程的通解为：

y

1n

e

(n1)

p(x)dx[(1n)Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．[3]C为任意常数



1.1.4恰当导数法

p(x)dxp(x)dx

令u(x)e，有u(x)p(x)e，

即：

p(x)

u(x)u(x)

．

则（1.0）式变形为：

y

u(x)u(x)

yQ(x)u

n1

(x)

yu

n1

n

(x)

，

3

yy



u(x)u(x)

Q(x)u

n1

(x)[

yu(x)

y

]

n1

，

(lny)(lnu)Q(x)u

n1

(x)[

u(x)

n1

]

n1

，

(ln

yu

)Q(x)u

n1

(x)[

yu(x)

]

，

设y

uz

得：

(lnz)Q(x)u

n1

(x)z

n1

，

两边积分解之得：

z

1n

zz

n

Q(x)u

n1

． (x)（可分离变量微分方程）

(1n)[Q(x)u

n1

(x)dxc]，

用z

yu

p(x)dx

，u(x)e，回代得伯努利方程的通解为：

y

1n

(1n)e

(n1)

p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．4C为任意常数



1.2直接常数变易法

常数变易法一：

（1.0）式的齐次方程的通解为：

p(x)dx

yce．

设原方程（1.0）式的通解为：

p(x)dxyc(x)e，

代入（1.0）式得：

p(x)dxnp(x)dxn

c(x)ec(x)eQ(x)．

这是一个可分离变量的微分方程，可求出c1n(x)．

4

即： c1n(x)(1n)[Q(x)e则原方程的通解为:

y

1n

(n1)

(1n)

p(x)dxdxc]，

(1n)e

p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．5C为任意常数



常数变易法二：

dy

本方法的创新之处是先解方程dx

=Qxy

n

………（1.2）,

利用变量分离法解式（a）得：y1n=(1-n)[Qxdxc]，

现把常数c 变易为待定的函数c( x),即y

1n

=(1-n)[Qxdxc（x）]…

dcxdx

…(1.3),

y

n

dydx

对式(b)两边求微分得：

Qxdcx

……（1.4）,

由（1.0）、(1.3)、（1.4）式得dx性

cxe

n1pxQxdxcx



。利用一阶线式

得

方

n1pxdx

程的通解公

1npxdx

n1pxQxdxedxc………（1.5），

把

y

1n

式（1.5）

n1pxdx

代入式(1.3)

1npxdx

得

dxc]

(1n)Qxdx(1n)e[n1pxQxdxe

,

udvuvvduuQxdx

利用分部积分公式，令

y

1n

，ve

c

1npxdx

，则伯努利方

(1n)e

n1pxdx

程的通解为

当n>0时，方程还有解y=0.

(1n)pxdxQxedx

6

.C为任意常数。

5

1.3积分因子法

将（1.0）式两端同除以yn整理为：(p(x)y1nQ(x))dxyndy0………（1.6） 有

M

x,y

1

(

p(x)y

1n

Q(x),Nx,yy

n

．

M

x,y

y

则：

Nx,y



Nx,yx

)(1n)p(x)

，

只是关于x的函数，则其积分因子为u(x)，

u(x)e

(1n)

p(x)dx，

将u(x)e

(1n)

p(x)dx乘以(1.6)式得：

p(x)dxdxyne(1n)p(x)dxdyy1np(x)e(1n)p(x)dxdx

Q(x)e

(1n)

…………（1.7）

对（1.7）式右边进行凑微分得： 两边同时积分得：

(1n)Qxe

1npxdx

1n

dxdye

1npxdx

1nQxe

整理得：

令c=c1/(1-n)

y

1n

1npxdx

dxc1y

1n

e

1npxdx

，

e

1n

pxdx(

1nQxe

1npxdx

dxc1)

从而伯努利方程的通解为：

y1n(1n)e

(n1)

p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．7C为任意常数



6

1.4解法举例

利用上面各种求解方法求解方程

的通解

解：现将方程变为标准型的伯努利方程，即………

解法一（变量代换、常数变易法）：在两边同除以

得：

令，则

由的通解经

常数变

易得

的通解为

(C为任意常数)

解法二（函数变换法）：令y=u(x)v(x)为式的通解

由上述讲解知：令c=-c1，则

,

(C为任意常数)

解法三（求导法）：

7

令

由上述讲解知：

(C为任意常数)

方法四（恰当导数法）：

令

由上述讲解知：

令c=-c，则

(C为任意常数)

方法五（直接常数变易法）：

（一）、对式的其次方程的通解进行常数变易，从而得

式的通解

的通解为

为式的通解

经常数变易后设

8

，即

(C为任意常数)

（二）、先求的通解，然后再利用常数变易法求式的通解

由上述讲解知：

六（积分因子法）：

(C为任意常数)

化简题目中的方程为：………



,





式的积分因子为

9

为全微分方程

(C为任意常数)

注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于x的函数，再代回原方程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍

微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程简洁，方法简单。

2.伯努利方程的应用

2.1在一阶微分方程中的应用

2.1.1在形如yyp(x)在且不为零）方程中的应用

令y(x)=

y(x)0

y(x)

ydyq(x)(

y(x)

ydy)（

n

y(x)0

ydy存

ydy，有

dy(x)

dx

yy(x)，

则原方程化为：

10

dy(x)

dx

p(x)y(x)q(x)[y(x)]

n

．

此方程为伯努利方程，可求得1n(y(x))． 故原方程的通解为：



1n

(y(x))(1n)e

(n1)

p(x)dx[

q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．

例1：2yyxy22xy4． 解：令xy2，则dxdx

2yy．

代入原方程得：

dxdx

xx2x[x]

2

，

解得：

1

(x)ce

2x

2

2，

则原方程的通解为：

2

y2

(x)ce

12x

2．

2.1.2在形如[f(y

)xh(y

)]yg(y

x

x

x

)yx1h(y

x

)方程中的应用令y

xu

代入上方程中，然后整理把u取作自变量．

则得到一个伯努利方程：

[g(u)uf(u)]dxdu

xf(u)x

1

h(u) 求得（2.1）的通解为：



f(u)

g(u)uf(u)du

f(u)

x



(

1

h(u)



g(u)uf(u)du





e

g(u)uf(u)

duc)e

,

然后将u换成

yx

得到原方程的通解.

例2：x(4xy)y2y2xxy2. 解：方程中2,f(y

y

2yx

)4,g(x

)

x2,h(

yx)

yx

．

11

2.1）

（

设u

yx

得：

(22u)

dxdu

3

4xxu，

把u取作自变量，解这个伯努利方程得：

x

2

13144

(uuc)(1u)， 34

将u换成

yx

得原方程的通解为：

x

2

1y31y4y4

[()()c](1)3x4xx

．

2.1.3在黎卡提方程中的应用 黎卡提方程：数。

如果已知黎卡提方程的一个特解为：yy1(x)， 作变量替换y(x)z(x)y1(x)， 则

dydx

dzdx

2

dydx

p(x)yQ(x)yR(x)

2

，其中p(x),Q(x),R(x)都是连续函



dy1dx

，

代入原方程得：

dzdxdy1dx

p(x)(zy1)Q(x)(zy1)R(x)

p(x)z2[2p(x)y1Q(x)]zp(x)y12Q(x)y1R(x). 由于yy1(x)是原方程的特解，因而满足:

dy1dx

p(x)y1Q(x)y1R(x)

2

，

所以

dzdx

[2p(x)y1Q(x)]zp(x)z

2

．

容易知道这是一个关于z的伯努利方程且n2，则由伯努利方程通解：

y

1n

(1n)e

(n1)

p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]，



12

可求得：

z

1

[2p(x)y1Q(x)]dx(2p(x)Q(x))dx

e[p(x)edxc]，

即：

1y(x)y1(x)

(2p(x)y1Q(x))dx(2p(x)Q(x))dx

e[p(x)edxc]，

从而原方程的通解为：

y(x)y1(x)e

[2p(x)y1Q(x)]dx

[p(x)e

(2p(x)Q(x))dx

1

（其中c是常数） dxc]．

例3：yxy22xy3x．

解：易知原方程的一个特解为y11， 作变量代换yz(x)1， 有

dydx

dzdxd1dx

代入原方程得：

dydx

x(z(x)1)2x(z(x)1)3x，

整理得：

dzdx

4xzxz为伯努利方程，

2

解得：

z

1

ce

2x

2



14

．

又由yz(x)1得原方程的通解为：

1y1

ce

2x

2



14

．[6]

3．总结

文中所给解法对一般伯努利方程都行得通。在使用变量代换法时，可根据实际采用合适的变量替换。由于常数变易法我们在初学伯努利方程时就已经熟

13

练掌握如何用常数变易法解一阶线性非齐次方程，从而用常数变易法解伯努利方程也就比较容易。对于积分因子法，它对伯努利方程来说是一种独特的方法，具有较好的实际应用价值。总之，在求解方程时，可采用简单的解法或你熟练掌握的解法。关于应用方面，本文只是给出了在一些微分方程中的应用，但在实际生活中，伯努利方程或许还有更多的应用，这有待于我们进一步去探讨。

参考文献

[1] 王克，潘家齐.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005：27. [2] 常季芳，李高．关于伯努利方程的几种新解法[J]．雁北师范学院学报：2007，

23（2）：89-91．

[3] 李宏飞．一阶非齐次线性微分方程的齐次解法[J]．榆林高专：1997，8（2）：

23．

[4] 张志典．用常数变易法求一阶非线性微分方程的解[J]．焦作大学学报：

1996，7（2）：24-25．

[5] 胡劲松，郑克龙．用“积分因子法”求解Bernoulli方程[J]．四川理工学

院学报：2005，18（3）：86-87．

[6] 张玉平．用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程[J]．企业家天地（理

论版）：2010，129（4）：199．

[7] 邹明辉，刘会民．二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件[J]．鞍山

师范学院学报：2004，6（4）：4-5．

[8] 胡爱莲．一类三阶非线性微分方程的可积条件[J]．喀什师范学院学报：

2005，26（6）：8-10．

14

致谢

“不积跬步无以至千里”，这次毕业论文能够最终顺利完成，归功于指导老师胡爱莲老师认真负责，使我能够很好的掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现。也正是您长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成。

最后，我向喀什师范学院数学系全体老师们表示衷心感谢：谢谢你们，谢谢你们四年的辛勤栽培！

江 倩 2011年5月14日

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