二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点. 以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直; 以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一：如图，抛物线y =mx -2mx -3m (m >0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点. 2
（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A 、B 两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.
例二、
如图，抛物线y=-x+mx+n与x
轴分别交于点A （4，0），B （-2，0），与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ACM 的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得△PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2. 如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0) 与x 轴的另一个交点为A ，过P(1，-m) 作PM ⊥x 轴与点M ，交抛物线于点B ．点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．
（1）若m=2，求点A 和点C 的坐标；
（2）令m ＞1，连接CA ，若△ACP 为直角三角形，求m 的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E ，使得△PEC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，抛物线y=ax+bx+2与x 轴交于点A(1，0) 和B(4，0) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点F 是位于x 轴上方对称轴上一点，FC ∥x 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF 是平行四边形，求点C 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△OCP
是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x+( k-1)x -k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x+( k-1)x -k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？
若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．
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1525、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A （2，2）和B(4，m) ，点P 是线
段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．
6、如图，抛物线y=ax+bx+c经过A(-3，0) 、C(0，4) ，点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角
三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．
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